必修 第一册5.2 三角函数的概念教案

这是一份必修 第一册5.2 三角函数的概念教案，共6页。教案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《5.2.2同角三角函数的基本关系》，是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，为后续学习三角函数的诱导公式，三角恒等变换等知识奠定基础，在教材中起着承上启下的作用，在三角函数的学习中占有重要地位，是本章的重点内容．
学情分析
学生已经学习三角函数的定义以及三角函数在各个象限的符号，为本节内容的学习做了知识的铺垫.本节内容学生容易忽略角的象限，不注意分类讨论，书写不规范，在灵活运用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式时存在困难.
教学目标分析
能根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养数学抽象的核心素养;
掌握同角三角函数的基本关系式，并能根据一个角的三角函数值，求其它三角函数值，进一步培养学生分类讨论的数学思想；
灵活运用同角三角函数的基本关系式证明三角恒等式，发展数学运算、逻辑推理的核心素养.
教学重点难点分析
重点：同角三角函数基本关系的推导并能“知一求二”.
难点：灵活运用同角三角函数基本关系证明三角恒等式.
教法学法分析
1.教法分析
本节课整体上以教师为主导，采用启发式、探究式、互动式的教学方法.通过设问，启发诱导学生发现同角三角函数基本关系，紧接着设置“刮刮乐”环节，在深入理解新内容的同时，充分调动学生学习积极性，活跃课堂气氛.在新知应用部分，教师将课堂充分留给学生做题、展示、讨论、交流，让学生主动思考、积极参与，真正成为课堂主人.
2.学法分析
学生采用自主探究、合作学习、互动交流等学习方法.在新知探究部分，以学生自主探究为主，充分发挥学生主观能动性，课堂上教师进行适当点评和补充.在新知应用部分，以学生展示、合作交流、小组讨论为主，进一步培养学生的解决问题的能力．在“同桌考一考”课堂活动中，充分调动学生积极性，发挥创造性.
教学媒体
希沃白板辅助教学
七、教学过程
复习回顾
问题1：上节课我们在单位圆中学习了任意角的三角函数的定义，那么三角函数是如何定义的？三角函数在各个象限的符号又是怎样的？
已知任意角的终边与单位圆的交点为，则
【师生活动】教师提问，学生集体回答.
【设计意图】复习三角函数的定义,为同角三角函数基本关系的推导做铺垫，进而提出本节需要研究学习的内容，建立知识间的联系.
（二）新知探究
问题2：在哲学中我们知道事物的联系具有普遍性，那么同一个角的三角函数值之间有什么关系？你能从定义出发推导出它们之间的关系吗？
设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于,则是直角三角形，而且,由勾股定理有：
因此，，即
思考1：当角的终边在坐标轴上时，上式是否依然成立？成立
思考2：与之间有什么关系？
因此得出同角三角函数的基本关系：
平方关系：
商数关系：
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
【师生活动】学生代表讲解同角三角函数基本关系的推导，不足之处教师补充.
【设计意图】用哲学中联系的观点引入本节新课，使得引入恰当自然.此处以学生自主探究发现为主，但学生思考可能不全面，所以需要教师追问：当角的终边在坐标轴上时，上式是否依然成立？
【刮刮乐】判断下列结论是否正确
（1）存在角，使得 （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
【师生活动】教师利用希沃白板蒙层功能设置“刮刮乐”，课堂上利用“梦畅语音点名软件”随机抽取一名学生，利用电脑希沃白板中的橡皮擦功能随机选择一个“刮开”，并判断正误，错误的要说出原因.然后抽到的第一位同学再随机抽取下一位同学，直到第四位同学为止.
【设计意图】通过游戏活动，进一步深入理解同角三角函数基本关系.课堂进行到这里，学生可能精力不集中，通过游戏的方式，制造课堂紧张感，同学们跃跃欲试，振奋精神，活跃课堂气氛.
（三）新知应用
例1. 已知角是第三象限角，，求的值.
【解析】
因为是第三象限角，
，
变式1：若去掉“是第三象限角”这个条件，求的值.
【解析】因为且，所以是第三或第四象限.
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，，.
变式：已知，求的值.
【解析】
所以角为第一象限角或第三象限角
又
当为第一象限角时，
当为第三象限角时，
【师生活动】学生思考后规范作答．教师巡视学生答题情况，找出书写不规范的同学，利用希沃白板进行投影，并让其余同学点评。对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，思考是否需要分类讨论，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．
【设计意图】例1对教材例6进行了改编，先降低了难度，通过变式再进行分类讨论.进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解与应用．
例2.（教材例7） 求证
证法一：由，知，所以，于是
左边=右边
所以，原式成立.
证法二：
且，
思考：你还有其它证明方式吗？
证法三：作差法证明
故成立.
【师生活动】学生先独立思考作答，然后小组交流讨论不同的解法，小组代表发言.学生讲解不足的地方其他同学可以补充发言，教师进行适当点评.
【设计意图】本题是课本例题，实际上是的变形，解法较多，学生交流讨论能够碰撞思维的火花，让学生积极发言，真正成为课堂的主人.
（四）【课堂活动】同桌考一考
同桌相互出题考对方，已知中的某个值或者一个三角函数式，求三角函数（式）的值，可以是加减乘除等混合运算.
出题人____________做题人_____________
试题：已知_______________________,求__________________________.
【师生活动】学生先独立思考出题，3分钟后同桌交换做题，做题后再交换批改.选取一组代表到黑板上进行现场出题、答题、做题.教师挑选部分同学的出题和答题情况，利用希沃白板进行展示，出题的同学对同桌的答题情况进行点评，教师适当补充.
【设计意图】在完成课本教学任务后，学生对同角三角函数的基本关系已经有了一定的理解和认识.让学生相互出题，充分给予学生自由发挥的空间，进一步深化本节知识的理解和应用.
预测出题：
1.已知为第二象限角，，则
2.已知为第三象限角，，则
3.若，则________．
4.已知,则
5.若，则———————.
（五）归纳总结
本节课我们学习了什么内容？在应用时要注意哪些？有哪些常见变形形式？
的变形公式

应注意：①角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论．
【设计意图】通过学生自己归纳总结，实现课堂核心知识的凝练和提升，体会知识发生与生长的脉络，更系统深刻地认识同角三角函数的关系.在小结中，要注意引导学生体会研究和发现三角函数性质的过程，为后续诱导公式二～五的学习做好铺垫．
作业布置
（1）书面作业：习题5.2
必做题：课本185页第11、12、14（1）（2）、15题 选做题：课本186页第16题
（2）探究作业
三角学发展史告诉我们，三角函数的研究长期在圆中进行，数学史上曾把三角函数称为“圆函数”.三角函数的本质是对单位圆上一点运动的“动态描述”，同角三角函数的基本关系实则找到了运动中的不变性，由此可见单位圆在研究三角函数中的重要意义.下图中隐含着我们已证恒等式的一种证明方法，请同学们课后小组合作探究.

【设计意图】回归单位圆和三角函数的发展史，不仅激发学生的数学学习兴趣，感受数学之美、探究之趣，更促其形成科学和完整的知识体系，为建立知识间更加广泛的联系奠定基础。