高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式获奖第1课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式获奖第1课时教学设计，共14页。教案主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第1课时 诱导公式二、三、四








1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．


2．理解诱导公式的推导过程．


3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．





1．诱导公式二





(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．


(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，


cs(π＋α)＝－csα，


tan(π＋α)＝tanα.


2．诱导公式三


(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．





如右图所示．


(2)公式：sin(－α)＝－sinα.


cs(－α)＝csα.


tan(－α)＝－tanα.





3．诱导公式四





(1)角π－α与角α的终边关于


_y__轴对称．如右图所示．


(2)公式：sin(π－α)＝sinα.


cs(π－α)＝－csα.


tan(π－α)＝－tanα.


4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．





1．设α为锐角，则180°－α，180°＋α，360°－α分别是第几象限角？


[答案] 分别为第二、三、四象限角


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)诱导公式中角α是任意角. ( )


(2)公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立．( )


(3)公式tan(π＋α)＝tanα中，α＝eq \f(π,2)不成立．( )


(4)在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√








题型一 给角求值问题


【典例1】 求下列三角函数值：


(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cseq \f(119π,6).


[思路导引] 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．


[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq \f(\r(3),2).


(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)


＝tan225°＝tan(180°＋45°)


＝tan45°＝1.


(3)cseq \f(119π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20π－\f(π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).











利用诱导公式解决给角求值问题的步骤





[针对训练]


1．计算：(1)taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)＋taneq \f(3π,5)＋taneq \f(4π,5)；


(2)sin(－60°)＋cs225°＋tan135°.


[解] (1)原式＝taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))＋


taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))＝taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)－taneq \f(2π,5)－taneq \f(π,5)＝0.


(2)原式＝－sin60°＋cs(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－eq \f(\r(3),2)－cs45°－tan45°＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)－1＝－eq \f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).


题型二 化简求值问题


【典例2】 化简：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)；


(2)eq \f(sin1440°＋α·csα－1080°,cs－180°－α·sin－α－180°).


[思路导引] 利用诱导公式一～四化简．


[解] (1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)


＝eq \f(csαtanπ＋α,sinα)＝eq \f(csα·tanα,sinα)＝eq \f(sinα,sinα)＝1.


(2)原式


＝eq \f(sin4×360°＋α·cs3×360°－α,cs180°＋α·[－sin180°＋α])


＝eq \f(sinα·cs－α,－csα·sinα)＝eq \f(csα,－csα)＝－1.











利用诱导公式一～四化简应注意的问题


(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；


(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；


(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．


[针对训练]


2．化简下列各式．


(1)eq \f(csπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cs－π－α)；


(2)eq \f(cs190°·sin－210°,cs－350°·tan－585°).


[解] (1)原式＝eq \f(－csα·sinα,－sinπ＋α·csπ＋α)


＝eq \f(csα·sinα,sinα·csα)＝1.


(2)原式＝eq \f(cs180°＋10°·[－sin180°＋30°],cs－360°＋10°·[－tan360°＋225°])


＝eq \f(－cs10°·sin30°,cs10°·[－tan180°＋45°])＝eq \f(－sin30°,－tan45°)＝eq \f(1,2).


题型三 给值(式)求值问题


【典例3】 若sin(π＋α)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan(π－α)等于( )


A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)


C．－eq \r(3) D.eq \f(\r(3),3)


[思路导引] 要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．


[解析] 因为sin(π＋α)＝－sinα，


根据条件得sinα＝－eq \f(1,2)，


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴csα>0，


所以csα＝eq \r(1－sin2\f(α,2))＝eq \f(\r(3),2).


所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(1,\r(3))＝－eq \f(\r(3),3).


所以tan(π－α)＝－tanα＝eq \f(\r(3),3).故选D.


[答案] D


[变式] (1)若本例把条件变为cs(2π－α)＝eq \f(\r(5),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan(π－α)＝________.


(2)若本例改为已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))的值为________．


[解析] (1)因为cs(2π－α)＝csα＝eq \f(\r(5),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2,3)，


则tan(π－α)＝－tanα＝－eq \f(sinα,csα)


＝－eq \f(－\f(2,3),\f(\r(5),3))＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2).


[答案] (1)eq \f(2\r(5),5) (2)eq \f(\r(3),2)











解决条件求值问题的策略


(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．


(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．





[针对训练]


3．已知α为第二象限角，且sinα＝eq \f(3,5)，则tan(π＋α)的值是( )


A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)


C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4)


[解析] 因为sinα＝eq \f(3,5)且α为第二象限角，


所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，


所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4).所以tan(π＋α)＝tanα＝－eq \f(3,4).故选D.


[答案] D


课堂归纳小结


1.四组诱导公式的记忆


四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.


2.四组诱导公式的作用


公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范


围内的角；


公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；


公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；


公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.








1．若cs(π＋α)＝－eq \f(1,3)，则csα的值为( )


A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)


C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)


[解析] cs(π＋α)＝－csα，所以csα＝eq \f(1,3).故选A.


[答案] A


2．sin585°的值为( )


A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)


[解析] sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°


＝－eq \f(\r(2),2).故选A.


[答案] A


3．以下四种化简过程，其中正确的有( )


①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°；③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


[解析] 由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．


[答案] B


4．已知sin(π＋α)＝eq \f(4,5)，且α是第四象限角，则cs(α－2π)的值是( )


A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C．±eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)


[解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα＝eq \f(4,5)，∴sinα＝－eq \f(4,5)，


且α为第四象限角，∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5).


又∵cs(α－2π)＝cs(2π－α)＝csα＝eq \f(3,5)，∴选B.


[答案] B


5．化简：eq \f(tan2π－θsin－2π－θcs6π－θ,csθ－πsin5π＋θ).


[解] 原式＝eq \f(tan－θsin－θcs－θ,－csθ－sinθ)


＝eq \f(－tanθ－sinθcsθ,csθsinθ)＝tanθ.


课后作业(四十一)


复习巩固


一、选择题


1．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(79π,6)))的值为( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)


[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(79π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－12π－\f(7π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝cseq \f(7π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故选C.


[答案] C


2．sin2(π＋α)－cs(π＋α)cs(－α)＋1的值为( )


A．1 B．2sin2α


C．0 D．2


[解析] ∵原式＝sin2α－(－csα·csα)＋1


＝sin2α＋cs2α＋1＝2，∴选D.


[答案] D


3．若cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，eq \f(3,2)π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )


A.eq \f(1,2) B．±eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


[解析] 由cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，得csα＝eq \f(1,2)，故sin(2π＋α)＝sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(3),2)(α为第四象限角)．


[答案] D


4．已知a＝cseq \f(23π,4)，b＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33π,4)))，则a，b的大小关系是( )


A．a

C．a>b D．不能确定


[解析] ∵a＝cseq \f(23π,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,4)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，


b＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,4)))＝－sineq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，


∴a>b.


[答案] C


5．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )


A．sinα＝sinβ B．sin(α－2π)＝sinβ


C．csα＝csβ D．cs(2π－α)＝－csβ


[解析] 由α和β的终边关于x轴对称，故β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故csα＝csβ.


[答案] C


二、填空题


6．sin600°＋tan240°＝________.


[解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2).


[答案] eq \f(\r(3),2)


7．化简：eq \r(1＋2sinπ－2·csπ－2)＝________.


[解析] eq \r(1＋2sinπ－2·csπ－2)＝eq \r(1－2sin2cs2)＝eq \r(sin2－cs22)＝|sin2－cs2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cs2，所以原式＝sin2－cs2.


[答案] sin2－cs2


8．已知sineq \f(5π,7)＝m，则cseq \f(2π,7)＝________.


[解析] 因为sineq \f(5π,7)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,7)))


＝sineq \f(2π,7)＝m，且eq \f(2π,7)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以cseq \f(2π,7)＝eq \r(1－m2).


[答案] eq \r(1－m2)


三、解答题


9．计算下列各式的值：


(1)cseq \f(π,5)＋cseq \f(2π,5)＋cseq \f(3π,5)＋cseq \f(4π,5)；


(2)sin420°cs330°＋sin(－690°)cs(－660°)．


[解] (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\f(4π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\f(3π,5)))


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)－cs\f(π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)－cs\f(2π,5)))＝0.


(2)原式＝sin(360°＋60°)cs(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cs(－2×360°＋60°)＝sin60°cs30°＋sin30°cs60°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.


10．化简：(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)；


(2)eq \f(csθ＋4π·cs2θ＋π·sin2θ＋3π,sinθ－4πsin5π＋θcs2－π＋θ).


[解] (1)原式＝eq \f(sin[360°＋180°＋α],－tan180°－α)·csα


＝eq \f(sin180°＋αcsα,tanα)＝eq \f(－sinαcsα,\f(sinα,csα))＝－cs2α.


(2)原式＝eq \f(csθ·cs2θ·sin2θ,sinθ·－sinθ·cs2θ)＝－csθ.


综合运用


11．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))等于( )


A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)


C.eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3)


[解析] 因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝－eq \f(1,3).故选B.


[答案] B


12．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( )


A．－eq \f(2,3)m B．－eq \f(3,2)m


C.eq \f(2,3)m D.eq \f(3,2)m


[解析] 因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，


所以sinα＝eq \f(m,2)，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)


＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq \f(3,2)m.故选B.


[答案] B


13．已知cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)，且α为第四象限角，则sin(105°＋α)＝________.


[解析] 因为a是第四象限角且cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)<0，


所以α－75°是第三象限角，


所以sin(α－75°)＝－eq \f(2\r(2),3)，


所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]


＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3).


[答案] eq \f(2\r(2),3)


14．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则eq \f(2csπ－α－3sinπ＋α,4csα－2π＋sin4π－α)＝


________.


[解析] tan(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则tanα＝－eq \f(1,2)，


原式＝eq \f(－2csα－3－sinα,4csα＋sin－α)


＝eq \f(－2csα＋3sinα,4csα－sinα)＝eq \f(－2＋3tanα,4－tanα)


＝eq \f(－2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(7,9).


[答案] －eq \f(7,9)


15．化简：eq \f(sin[k＋1π＋θ]·cs[k＋1π－θ],sinkπ－θ·cskπ＋θ)(k∈Z)．


[解] 当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝eq \f(sin[2n＋2π＋θ]·cs[2n＋2π－θ],sin2nπ＋π－θ·cs2nπ＋π＋θ)


＝eq \f(sinθ·csθ,sinπ－θ·csπ＋θ)＝eq \f(sinθ·csθ,sinθ·－csθ)＝－1；


当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z.


则原式＝eq \f(sin[2n＋1π＋θ]·cs[2n＋1π－θ],sin2nπ－θ·cs2nπ＋θ)


＝eq \f(sinπ＋θ·csπ－θ,sin－θ·csθ)


＝eq \f(－sinθ·－csθ,－sinθ·csθ)＝－1.


综上，eq \f(sin[k＋1π＋θ]·cs[k＋1π－θ],sinkπ－θ·cskπ＋θ)＝－1.