高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀教学设计，共14页。

5．2.1 三角函数的概念








1．能用三角函数的定义进行计算．


2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．


3．会利用诱导公式一进行有关计算．





1．任意角的三角函数的定义


温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．


(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．


(3)要明确sinx是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cs”“tan”等是没有意义的．


2．三角函数值的符号


如图所示：





正弦：一二象限正，三四象限负；


余弦：一四象限正，二三象限负；


正切：一三象限正，二四象限负．


简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．


3．诱导公式一





即终边相同的角的同一三角函数值相等．





1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，csα与csβ，tanα与tanβ之间有什么关系？


[答案] sinα＝sinβ，csα＝csβ，tanα＝tanβ


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)若α＝β＋720°，则csα＝csβ.( )


(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )


(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )


(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值csα、正切值tanα都有意义．( )


[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×





题型一 任意角的三角函数的定义及其应用


【典例1】 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，csα＝________，tanα＝________.


(2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sinα，csα，tanα的值．


[思路导引] 利用三角函数的定义求解．


[解析] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋－122)＝13，


则sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tanα＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5).


(2)直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sinα＝eq \f(\r(3),2)，csα＝－eq \f(1,2)，tanα＝－eq \r(3)；在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq \f(\r(3),2)，csα＝eq \f(1,2)，tanα＝－eq \r(3).


[答案] (1)－eq \f(12,13) eq \f(5,13) －eq \f(12,5) (2)见解析








求任意角的三角函数值的2种方法


方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．


方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；


第二步，计算r：r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)；


第三步，求值：由sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)求值．


在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．


[针对训练]


1．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)


[解析] ∵α的终边经过点P(1，－1)，


∴sinα＝eq \f(－1,\r(12＋－12))＝－eq \f(\r(2),2).


[答案] D


2．已知角α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))(y<0)，则sinαtanα＝________.


[解析] ∵α的终边与单位圆的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y))，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋y2＝1，即y2＝eq \f(3,4).


又∵y<0，∴y＝－eq \f(\r(3),2).


∴sinα＝－eq \f(\r(3),2)，tanα＝eq \r(3)，


sinαtanα＝－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝－eq \f(3,2).


[答案] －eq \f(3,2)


题型二 三角函数在各象限的符号问题


【典例2】 判断下列各式的符号：


(1)sin105°·cs230°；


(2)cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3))).


[思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．


[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cs230°<0.于是sin105°·cs230°<0.


(2)因为eq \f(π,2)<3<π，所以3是第二象限角，所以cs3<0，又因为－eq \f(2π,3)是第三象限角，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))>0，所以cs3·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))<0.








判断三角函数值正负的2个步骤


(1)定象限：确定角α所在的象限．


(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．


注意：若sinα>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．


[针对训练]


3．设θ是第三象限角，且满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)))＝－sineq \f(θ,2)，则角eq \f(θ,2)为第________象限角．


[解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ

所以sineq \f(θ,2)<0，所以eq \f(θ,2)为第四象限角．


[答案] 四


题型三 诱导公式一的应用


【典例3】 求下列各式的值：


(1)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))；


(2)sin810°＋tan1125°＋cs420°.


[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．


[解] (1)原式＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))


＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).


(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋


cs(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cs60°＝1＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).








(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．


(2)熟记一些特殊角的三角函数值．





[针对训练]


4．计算下列各式的值：


(1)sin(－1395°)cs1110°＋cs(－1020°)sin750°；


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12π,5)·tan4π.


[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cs30°＋cs60°sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4).


(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2).





课堂归纳小结


1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．


2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．


3．公式一的理解


(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相


等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．


(2)公式一的作用


利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.





1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则csα＝( )


A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)


C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)


[解析] ∵x＝－4，y＝3，∴r＝eq \r(－42＋32)＝5，


∴csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4,5)＝－eq \f(4,5)，故选D.


[答案] D


2．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))的值等于( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


[解析] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(35π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，∴选A.


[答案] A


3．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


[解析] 由于sinα<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．


[答案] C


4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且csα＝－eq \f(4,5)，则m＝________.


[解析] ∵csα＝－eq \f(4,5)<0，∴α角应为第二或第三象限角，又∵y＝－6<0，∴α为第三象限角，∴m<0


又∵－eq \f(4,5)＝eq \f(m,\r(m2＋－62))，∴m＝－8.


[答案] －8


5．求值：tan405°－sin450°＋cs750°.


[解] tan405°－sin450°＋cs750°


＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cs(720°＋30°)


＝tan45°－sin90°＋cs30°


＝1－1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)


课后作业(三十九)


复习巩固


一、选择题


1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则tanα的值为( )


A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)


C．－eq \f(4,5) D．－eq \f(3,5)


[解析] 由正切函数的定义可得，tanα＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).


[答案] A


2．若－eq \f(π,2)<α<0，则点Q(csα，sinα)位于( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


[解析] 因为－eq \f(π,2)<α<0，


所以csα>0，且sinα<0，


所以点Q(csα，sinα)在第四象限，选D.


[答案] D


3．若角α的终边过点(2sin30°，－2cs30°)，则sinα的值等于( )


A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)


C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),3)


[解析] ∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cs30°＝－eq \r(3)，


∴r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2)，选C.


[答案] C


4．若sinθ

A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


[解析] 由条件可知csθ>0，sinθ<0，则θ为第四象限角，故选D.


[答案] D


5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))；③tan2，其中符号为负的个数为( )


A．0 B．1


C．2 D．3


[解析] ①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)


＝sin80°>0


②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))>0


③∵eq \f(π,2)<2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选B.


[答案] B


二、填空题


6．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))等于________．


[解析] taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).


[答案] eq \r(3)


7．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2csα的值等于________．


[解析] ∵a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sinα＝－eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，∴sinα＋2csα＝eq \f(2,5).


[答案] eq \f(2,5)


8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝________.


[解析] ∵角α的终边在直线x＋y＝0上


∴角α的终边落在二、四象限角平分线上，


且|sinα|＝|csα|


若α在第二象限，sinα>0，csα<0


∴eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,－csα)＋eq \f(sinα,csα)＝0


若α在第四象限，sinα<0，csα>0


∴eq \f(sinα,|csα|)＋eq \f(|sinα|,csα)＝eq \f(sinα,csα)＋eq \f(－sinα,csα)＝0.


[答案] 0


三、解答题


9．化简下列各式：


(1)sineq \f(7,2)π＋cseq \f(5,2)π＋cs(－5π)＋taneq \f(π,4)；


(2)a2sin810°－b2cs900°＋2abtan1125°.


[解] (1)原式＝sineq \f(3,2)π＋cseq \f(π,2)＋csπ＋1


＝－1＋0－1＋1＝－1.


(2)原式＝a2sin90°－b2cs180°＋2abtan(3×360°＋45°)


＝a2＋b2＋2abtan45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.


10．已知角θ的终边上一点P(－eq \r(3)，m)，且sinθ＝eq \f(\r(2),4)m.求csθ与tanθ.


[解] 由题意得sinθ＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(2),4)m，


若m＝0，则csθ＝－1，tanθ＝0.


若m≠0，则m＝±eq \r(5).


当m＝eq \r(5)时，csθ＝－eq \f(\r(6),4)，tanθ＝－eq \f(\r(15),3)；


当m＝－eq \r(5)时，csθ＝－eq \f(\r(6),4)，tanθ＝eq \f(\r(15),3).


综合运用


11．sin2·cs3·tan5的值( )


A．大于0 B．小于0


C．等于0 D．不能确定


[解析] ∵2 rad为第二象限角，∴sin2>0；3 rad为第二象限角，∴cs3<0；5 rad为第四象限角，∴tan5<0，


∴sin2·cs3·tan5>0，选A.


[答案] A


12．若△ABC的两内角A，B满足sinA·csB<0，则此三角形的形状为( )


A．锐角三角形 B．钝角三角形


C．直角三角形 D．不能确定


[解析] 由题意知00.又sinAcsB<0，∴csB<0，∴eq \f(π,2)

[答案] B


13．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，csα≤0，则实数a的取值范围是________．


[解析] ∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα>0，csα≤0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2>0,3a－9≤0))解得－2

[答案] (－2,3]


14．sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))的值为________．


[解析] sineq \f(13π,6)＋cseq \f(13π,3)－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,4)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(π,4)))


＝sineq \f(π,6)＋cseq \f(π,3)－taneq \f(π,4)


＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－1＝0.


[答案] 0


15．已知eq \f(1,|sinα|)＝－eq \f(1,sinα)，且lgcsα有意义．


(1)试判断角α是第几象限角；


(2)若角α的终边上一点是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．


[解] (1)因为eq \f(1,|sinα|)＝－eq \f(1,sinα)，得|sinα|＝－sinα，且sinα≠0，所以sinα<0.


由lgcsα有意义可知csα>0，


所以角α是第四象限角．


(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).


又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5).


由正弦函数的定义可知，


sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).


前提






如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα
余弦
点P的横坐标x叫做α的余弦，记作csα，即x＝csα
正切
把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角


函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为


正弦函数y＝sinx(x∈R)


余弦函数y＝csx(x∈R)


正切函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))