高中数学第五章 三角函数本章综合与测试精品教学设计

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考点一 三角函数的概念


设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则x＝csα，y＝sinα，eq \f(y,x)＝tanα.三角函数的概念是研究三角函数的基础．


【典例1】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，csα，tanα的值．


[解] ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，


∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，


则x＝4t，y＝－3t，r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(4t2＋－3t2)


＝5|t|，


当t>0时，r＝5t，


sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,5t)＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,5t)＝eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)；


当t<0时，r＝－5t，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,－5t)＝eq \f(3,5)，


csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,－5t)＝－eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4).


综上可知，t>0时，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4)；


t<0时，sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4).











(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：


①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．


②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．


(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．


[针对训练]


1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝_____.


[解析] r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(16＋y2)，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以θ为第四角限角，解得y＝－8.


[答案] －8


考点二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式


由三角函数的概念不难得出同角三角函数的基本关系式、诱导公式，这是化简求值的基础．


【典例2】 已知f(α)＝


eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).


(1)化简f(α)；


(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α

(3)若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值．


[解] (1)f(α)＝eq \f(sin2α·csα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·csα.


(2)由f(α)＝sinα·csα＝eq \f(1,8)可知，


(csα－sinα)2＝cs2α－2sinα·csα＋sin2α


＝1－2sinα·csα＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，


又∵eq \f(π,4)<α

即csα－sinα<0.


∴csα－sinα＝－eq \f(\r(3),2).


(3)∵α＝－eq \f(47π,4)＝－6×2π＋eq \f(π,4)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))


＝cseq \f(π,4)·sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).











(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sinα,csα)＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±csα的值，可求csαsinα.注意应用(csα±sinα)2＝1±2sinαcsα.


(2)诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．


[针对训练]


2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ等于( )


A．－eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)


[解析] sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ


＝eq \f(sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，


又tanθ＝2，故原式＝eq \f(4＋2－2,4＋1)＝eq \f(4,5).


[答案] D


3．若sinθ＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋


eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．


[解析] 原式＝eq \f(－csθ,csθ－csθ－1)＋eq \f(csθ,－csθ·csθ＋csθ)


＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(2,1－csθ·1＋csθ)


＝eq \f(2,sin2θ)＝eq \f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝6.


[答案] 6


考点三 三角函数的图象与性质


函数y＝sinx，y＝csx的图象可用“五点法”作出，而识别函数的图象可考虑特殊点及三角函数的性质，要熟记y＝sinx、y＝csx的单调性，区分y＝sinx及y＝tanx的周期及单调增区间，以图助数，数形结合．


【典例3】 (1)函数f(x)＝eq \f(sinx,|csx|)在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )





(2)若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________.


(3)已知f(x)＝sin2x＋csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，则f(x)的值域为________．


[解析] (1)x∈[－π，π]故排除B，D，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))时，csx<0，f(x)＝eq \f(sinx,－csx)＝－tanx，故选C.


(2)∵T＝2π，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π＋2π×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝cs(－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2).


(3)f(x)＝1－cs2x＋csx＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴csx∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，


∴f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,4))).


[答案] (1)C (2)eq \f(\r(2),2) (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,4)))





(1)研究三角函数的图象可结合三角函数的定义域、值域、单调区间、特殊点等研究．


(2)研究三角函数的奇偶性、单调性、最值等要注意定义域的限制．


[针对训练]


4．函数f(x)＝eq \f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既是奇函数又偶函数 D．非奇非偶函数


[解析] 由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．


[答案] D


5．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间是___________．


[解析] 由csx>0得－eq \f(π,2)＋2kπ

故函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)．


[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)


课后作业(四十七)


复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，周期为4π的是( )


A．y＝sin4x B．y＝cs2x


C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝sineq \f(x,2)


[解析] D中：T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故选D.


[答案] D


2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )


A．－4eq \r(3) B．±4eq \r(3)


C.eq \r(3) D．4eq \r(3)


[解析] ∵tan600°＝eq \f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq \r(3)，∴a＝－4eq \r(3).


[答案] A


3．若将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )


A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))


C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))


[解析] 因为T＝eq \f(2π,2)＝π，eq \f(T,4)＝eq \f(π,4)，





y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))，


所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).故选D.


[答案] D


4．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )


A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的


B．f(x)的图象关于原点对称


C．f(x)的最小正周期为2π


D．f(x)的最大值为2


[解析] 因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，选B.


[答案] B


5．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))


[解析] y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，


可得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5,6)π＋kπ(k∈Z)，


∵x∈[0，π]，∴单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).


[答案] C


二、填空题


6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则csα＝_____________.


[解析] 由tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2，sin2α＋cs2α＝1，联立得cs2α＝eq \f(1,5)，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))知csα<0，所以csα＝－eq \f(\r(5),5).


[答案] －eq \f(\r(5),5)


7．函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx)的定义域为______________．


[解析] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－x2≥0，,sinx≥0.))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.))


如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．





[答案] [－4，－π]∪[0，π]


8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．


[解析] 任取x<0，则－x>0，


∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函数，


∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))


[答案] f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))


三、解答题


9．已知tanα＝－eq \f(3,4).


(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；


(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))


的值．


[解] (1)2＋sinαcsα－cs2α


＝eq \f(2sin2α＋cs2α＋sinαcsα－cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα＋cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(2tan2α＋tanα＋1,1＋tan2α)，


把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得


原式＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＋1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2)


＝eq \f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq \f(22,25).


(2)原式＝


eq \f(－sinα－csα－sinαcs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinπ－α[－sinπ＋α]sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))


＝eq \f(－sin2αcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinα[－－sinα]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))


＝eq \f(sin2αcsαsinα,－csαsin2αcsα)＝－eq \f(sinα,csα)＝－tanα，


把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得原式＝eq \f(3,4).


10．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：


(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．


①y>1；②y<1.


(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．


[解] 列表如下：


描点并将它们用光滑的曲线连接起来：





(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，


所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.


(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1

所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．


综合运用


11．化简eq \r(1－2sinπ＋4csπ＋4)等于( )


A．sin4－cs4 B．cs4－sin4


C．－sin4－cs4 D．sin4＋cs4


[解析] 原式＝eq \r(1－2sin4cs4)＝eq \r(sin4－cs42)＝


|sin4－cs4|，因为eq \f(5,4)π<4sin4.


所以|sin4－cs4|＝cs4－sin4.故选B.


[答案] B


12．函数y＝lncsxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)




[解析] ∵lncseq \f(π,4)＝lncseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝lneq \f(\r(2),2)

[答案] A


13．在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )


A．f(csA)>f(csB)


B．f(sinA)>f(sinB)


C．f(sinA)>f(csB)


D．f(sinA)

[解析] 由题意，在△ABC中，由C>eq \f(π,2)，可得0f(csB)，即C正确．


[答案] C


14．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，sinx≥csx，,csx，sinx

A．该函数的值域是[－1,1]


B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1


C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1


D．当且仅当2kπ＋π

[解析] 画出此函数的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z时，函数取得最小值－eq \f(\r(2),2)；当且仅当2kπ＋π

[答案] D


15．函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．


(1)求g(a)；


(2)若g(a)＝eq \f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．


[解] (1)∵f(x)＝2cs2x－2acsx－2a－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(a,2)))2－eq \f(a2,2)－2a－1，且csx∈[－1,1]．


当eq \f(a,2)<－1时，则a<－2时，g(a)＝1；


当－1≤eq \f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，


g(a)＝－eq \f(a2,2)－2a－1；


当eq \f(a,2)>1，即a>2时，g(a)＝－4a＋1.


∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a<－2，,－\f(a2,2)－2a－1，－2≤a≤2，,－4a＋1，a>2.))


(2)g(a)＝eq \f(1,2)，则a＝－1.


∴f(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，∴f(x)max＝5.


x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
－1
0
1
0
1－2sinx
1
3
1
－1
1