人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式一等奖第2课时2课时教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式一等奖第2课时2课时教案，共15页。教案主要包含了变更论证的方法．常用定义法，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。







1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程．


2．运用公式五、六进行有关计算与证明．


3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．











1．在△ABC中，角eq \f(A,2)与角eq \f(B＋C,2)的三角函数值满足哪些等量关系？


[答案] ∵A＋B＋C＝π，


∴eq \f(A,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(B＋C,2)，


∴sineq \f(A,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B＋C,2)))＝cseq \f(B＋C,2)，


cseq \f(A,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B＋C,2)))＝sineq \f(B＋C,2)


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)诱导公式五、六中的角α可以是任意角．( )


(2)sin(90°＋α)＝－csα.( )


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝csα.( )


(4)若α＋β＝90°，则sinα＝csβ.( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√





题型一 利用诱导公式化简求值


【典例1】 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的结果是( )


A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)


(2)化简：eq \f(sin2π＋αcsπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)),csπ－αsin3π－αsin－π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))＝________.


[思路导引] 利用诱导公式先化简再求值．


[解析] (1)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq \f(3,5)


∴sinα＝eq \f(3,5)，且α是第二象限角


∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).


而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))


＝－(－csα)＝csα＝－eq \f(4,5)


(2)原式＝eq \f(sinα·－csα·sinα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),－csα·sinα·[－sinπ－α]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))


＝eq \f(sinα·－sinα,－sinα·csα)＝tanα


[答案] (1)B (2)tanα








用诱导公式进行化简时的注意点


(1)化简后项数尽可能的少．


(2)函数的种类尽可能的少．


(3)分母不含三角函数的符号．


(4)能求值的一定要求值．


(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．





[针对训练]


1．已知csθ＝－eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝________.


[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝csθ＝－eq \f(3,5).


[答案] －eq \f(3,5)


2．化简：eq \f(csα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)).


[解] 原式＝eq \f(cs[－π－α],sinα)·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))(－sinα)


＝eq \f(csπ－α,sinα)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))(－sinα)


＝eq \f(－csα,sinα)·(－csα)(－sinα)＝－cs2α.


题型二 利用诱导公式证明三角恒等式


【典例2】 求证：eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tanα.


[思路导引] 应先利用诱导公式化简较复杂的左边的式子，使其等于右边．


[证明] 左边＝eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))


＝eq \f(tan－α－sinαcsα,－csαsinα)


＝eq \f(－tanαsinαcsα,csαsinα)＝－tanα＝右边，


所以原等式成立．











三角式恒等证明的原则


对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．





[针对训练]


3．求证：eq \f(sinθ＋csθ,sinθ－csθ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).


[证明] 右边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sinθ－1,1－2sin2θ)


＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sinθ－1,1－2sin2θ)


＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)


＝eq \f(－2csθsinθ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)


＝eq \f(sinθ＋csθ2,sin2θ－cs2θ)＝eq \f(sinθ＋csθ,sinθ－csθ)＝左边，


所以原等式成立.


题型三 诱导公式的综合应用


【典例3】 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))的值．


(2)已知csα＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值．


[思路导引] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝π；eq \f(2π,3)－α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(π,2).可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．


[解] (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))


＝－eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,9).


(2)因为csα＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角，


所以sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).


所以f(α)＝eq \f(－tanα·sinα·csα,－csα)＝tanαsinα＝eq \f(sinα,csα)·sinα


＝eq \f(－\f(3,5),－\f(4,5))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(9,20).











(1)整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值(式)求值问题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．


①常见的互余关系有：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等．


②常见的互补关系有：eq \f(π,3)＋α与eq \f(2,3)π－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(3,4)π－α等．


(2)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．


(3)对于π±α和eq \f(π,2)±α这两组诱导公式，切记运用前一组公式不变名，而运用后一组公式必须变名．


[针对训练]


4．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)


C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2,3)


[解析] sin(α－15°)＋cs(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cs[180°－(75°＋α)]＝－cs(75°＋α)－cs(75°＋α)＝－2cs(75°＋α)＝－eq \f(2,3).故选D.


[答案] D


5．已知f(α)＝


eq \f(sinπ－αcs2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin－π－α).


(1)化简f(α)；


(2)若α为第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；


(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．


[解] (1)f(α)＝eq \f(sinαcsα－sinα,sinα[－sinπ＋α])


＝eq \f(csα－sinα,sinα)＝－csα


(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sinα＝eq \f(1,5)，∴sinα＝－eq \f(1,5)，


又∵α为第三象限角，


∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5).


(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－cseq \f(5π,3)


＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).


课堂归纳小结


1．诱导公式五、六反映的是角eq \f(π,2)±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．


2．诱导公式一～六可归纳为k·eq \f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”


(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.


(2)“奇”、“偶”是对诱导公式k·eq \f(π,2)±α中的整数k来讲的．


(3)“象限”指k·eq \f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq \f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.





1．sin165°等于( )


A．－sin15° B．cs15°


C．sin75° D．cs75°


[解析] ∵sin165°＝sin(90°＋75°)＝cs75°.∴选D.


[答案] D


2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么csα＝( )


A．－eq \f(2,5) B．－eq \f(1,5)


C.eq \f(1,5) D.eq \f(2,5)


[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα＝eq \f(1,5).


[答案] C


3．如果cs(π＋A)＝－eq \f(1,2)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)


[解析] ∵cs(π＋A)＝－csA＝－eq \f(1,2)，∴csA＝eq \f(1,2)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝csA＝eq \f(1,2)，故选B.


[答案] B


4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为( )


A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)


C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


[解析] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3).∴选C.


[答案] C


5．已知tanθ＝2，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)的值．


[解] eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)


＝eq \f(csθ－－csθ,csθ－sinθ)＝eq \f(2csθ,csθ－sinθ)＝eq \f(2,1－tanθ)＝eq \f(2,1－2)＝－2.


课后作业(四十二)


复习巩固


一、选择题


1．下列各式中，不正确的是( )


A．sin(180°－α)＝sinα


B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝sineq \f(α,2)


C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα


D．tan(－α)＝－tanα


[解析] 由诱导公式知A、D正确．


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－α))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sinα，故C正确．


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°＋\f(α,2)))


＝－sineq \f(α,2)，故B不正确．


[答案] B


2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )


A．第一象限角 B．第二象限角


C．第三象限角 D．第四象限角


[解析] 由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝csθ<0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.


[答案] B


3．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


[解析] 因为sin(3π＋α)＝－sinα＝－eq \f(1,2)，所以sinα＝eq \f(1,2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq \f(1,2).


[答案] A


4．已知cs31°＝m，则sin239°tan149°的值是( )


A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)


[解析] sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)


＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)


＝－cs31°·(－tan31°)＝sin31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).


[答案] B


5.eq \f(sin2π－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))csπ－α,tanα－3πsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－2α)))等于( )


A．－csα B．csα


C．sinα D．－sinα


[解析] 原式＝eq \f(sin－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))·－csα,tanα·csα·sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)))))


＝eq \f(sinαcsα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)),tanαcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)))))＝－csα.故选A.


[答案] A


二、填空题


6．化简eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)的结果为________．


[解析] eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)＝


eq \f(sin360°＋40°[－sin180°＋50°],cs720°＋90°＋40°－tan50°)＝eq \f(sin40°sin50°,sin40°tan50°)


＝eq \f(sin50°,\f(sin50°,cs50°))＝cs50°.


[答案] cs50°


7．已知csα＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)＝________.


[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)


＝－csαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cs2α


＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,9).


[答案] eq \f(8,9)


8．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.


[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝－eq \f(1,3).


[答案] －eq \f(1,3)


三、解答题


9．求证：eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋


eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq \f(2,sin2θ).


[证明] 左边＝eq \f(－csθ,csθ－csθ－1)＋eq \f(csθ,－csθcsθ＋csθ)


＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(1－csθ＋1＋csθ,1＋csθ1－csθ)


＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝右边．


∴原式成立．


10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．


[解] 原式＝


eq \f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－α)),sinαcsα)·tan2α


＝eq \f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinαcsα)·tan2α


＝eq \f(－csαsinα,sinαcsα)·tan2α＝－tan2α.


方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，∴tanα＝eq \f(3,4)，故原式＝－tan2α＝－eq \f(9,16).


综合运用


11．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )


A．89 B．90 C.eq \f(89,2) D．45


[解析] ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cs21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cs22°＝1，…


∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cs244°＋cs243°＋…＋cs23°＋cs22°＋cs21°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).


[答案] C


12．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且csA＝－eq \r(3)cs(π－B)，则C＝________.


[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)csA＝3sinA， ①,csA＝\r(3)csB， ②))


由①得tanA＝eq \f(\r(3),3)，故A＝eq \f(π,6).


由②得csB＝eq \f(cs\f(π,6),\r(3))＝eq \f(1,2)，故B＝eq \f(π,3).故C＝eq \f(π,2).


[答案] eq \f(π,2)


13．已知f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))的值为________．


[解析] ∵f(α)＝eq \f(－sinα－csα,－csα－tanα)＝csα，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))＝cseq \f(25,3)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)


14．若f(csx)＝cs2x，则f(sin15°)＝________.


[解析] f(sin15°)＝f(cs75°)＝cs150°＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2).


[答案] －eq \f(\r(3),2)


15．已知cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，α为锐角，求eq \f(tan435°－α＋sinα－165°,cs195°＋α·sin105°＋α)的值．


[解] 原式＝eq \f(tan360°＋75°－α－sinα＋15°,cs180°＋15°＋α·sin[180°＋α－75°])


＝eq \f(tan75°－α－sinα＋15°,－cs15°＋α·[－sinα－75°])


＝－eq \f(1,cs15°＋α·sin15°＋α)＋


eq \f(sinα＋15°,cs15°＋α·cs15°＋α).


因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以15°<α＋15°<105°.


又cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，所以sin(15°＋α)＝eq \f(4,5)，


故原式＝－eq \f(1,\f(3,5)×\f(4,5))＋eq \f(\f(4,5),\f(3,5)×\f(3,5))＝eq \f(5,36).