人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀教案，共14页。







1．了解弧度制．


2．能进行角度与弧度的互化．


3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．





1．角的单位制


(1)角度制


规定1度的角等于周角的eq \f(1,360)，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．


(2)弧度制


我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．


在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝eq \f(l,r).


一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.


2．角度与弧度的换算








3．扇形的弧长公式及面积公式





温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．


(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：


①l＝|α|·r，|α|＝eq \f(l,r)，r＝eq \f(l,|α|)；②S＝eq \f(1,2)|α|r2，|α|＝eq \f(2S,r2).





1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？


[答案] 不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同


2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？


[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高


3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)1弧度＝1°.( )


(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )


(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( )


(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2kπ＋45°，k∈Z.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×








题型一 角度与弧度的互化


【典例1】 将下列角度与弧度进行互化．


(1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5).


[思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.


[解] (1)20°＝eq \f(20π,180)＝eq \f(π,9).


(2)－15°＝－eq \f(15π,180)＝－eq \f(π,12).


(3)eq \f(7π,12)＝eq \f(7,12)×180°＝105°.


(4)－eq \f(11π,5)＝－eq \f(11,5)×180°＝－396°.











角度制与弧度制互化的原则


牢记180°＝π rad，充分利用1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°进行换算．








[针对训练]


1．－630°化为弧度为________．


[解析] －630°＝－630×eq \f(π,180)＝－eq \f(7,2)π.


[答案] －eq \f(7,2)π


2．α＝－3 rad，它是第________象限角．


[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°，则α＝－3 rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(540,π)))°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．


[答案] 三


题型二 用弧度制表示终边相同的角


【典例2】 已知角α＝2010°.


(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；


(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．


[思路导引] 利用终边相同的角的集合表示．


[解] (1)2010°＝2010×eq \f(π,180)＝eq \f(67π,6)＝5×2π＋eq \f(7π,6)，


又π

∴α与eq \f(7π,6)终边相同，是第三象限的角．


(2)与α终边相同的角可以写成


γ＝eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ<0，


∴当k＝－3时，γ＝－eq \f(29,6)π；


当k＝－2时，γ＝－eq \f(17,6)π；


当k＝－1时，γ＝－eq \f(5,6)π.











用弧度制表示终边相同的角


所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数．





[针对训练]


3．已知α＝－800°.


(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；


(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).


[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq \f(14,9)π，


∴α＝－800°＝eq \f(14π,9)＋(－3)×2π.


∵α与角eq \f(14π,9)终边相同，∴α是第四象限角．


(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，


∴γ＝2kπ＋eq \f(14π,9)，k∈Z，


又γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴－eq \f(π,2)<2kπ＋eq \f(14π,9)

解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq \f(14π,9)＝－eq \f(4π,9).


题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用


【典例3】 已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．


[思路导引] 利用扇形的弧长公式l＝|α|·r及面积公式S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2求解．


[解] 设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，所在圆的半径为r.依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝10，,\f(1,2)lr＝4，))消去l，得r2－5r＋4＝0，


解得r＝1或r＝4.


当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，故舍去；


当r＝4时，l＝2，此时θ＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2) rad，满足题意．


故θ＝eq \f(1,2) rad.


[变式] 若本例条件改为：“已知扇形AOB的周长为10 cm”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．


[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，


由l＋2r＝10得l＝10－2r，


S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(10－2r)·r＝5r－r2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(5,2)))2＋eq \f(25,4)，


0

当r＝eq \f(5,2)时，S取得最大值eq \f(25,4)，


这时l＝10－2×eq \f(5,2)＝5，∴θ＝eq \f(l,r)＝eq \f(5,\f(5,2))＝2.


故该扇形的面积的最大值为eq \f(25,4)cm2，取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.











弧度制下涉及扇形问题的攻略


(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．


(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．





[针对训练]


4．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm，求扇形的弧长和面积．


[解] ∵108°＝108×eq \f(π,180)＝eq \f(3π,5)，


所以扇形的弧长为eq \f(3π,5)×10＝6π(cm)，


扇形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(3π,5)×302＝270π(cm2)．


课堂归纳小结


1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．


2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°


＝π rad”这一关系式．


易知：度数×eq \f(π,180)rad＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数．


3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.














1．下列说法中，错误的是( )


A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位


B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)


C．1 rad的角比1°的角要大


D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关


[解析] “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确.1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)，所以B正确．因为1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°>1°，所以C正确．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D错误．


[答案] D


2．2100°化成弧度是( )


A.eq \f(35π,3)B．10π


C.eq \f(28π,3) D.eq \f(25π,3)


[解析] 2100°＝2100×eq \f(π,180)＝eq \f(35π,3).


[答案] A


3．角－eq \f(29,12)π的终边所在的象限是( )


A．第一象限B．第二象限


C．第三象限D．第四象限


[解析] －eq \f(29,12)π＝－4π＋eq \f(19,12)π，eq \f(19,12)π的终边位于第四象限，故选D.


[答案] D


4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.


[解析] 根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为eq \f(4,2)＝2 rad.


[答案] 2


5．已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm2.


[解析] 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.


故扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4×2＝4 cm2.


[答案] 4


课后作业(三十八)


复习巩固


一、选择题


1．－eq \f(10π,3)转化为角度是( )


A．－300° B．－600°


C．－900° D．－1200°


[解析] 由于－eq \f(10π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10π,3)×\f(180,π)))°＝－600°，所以选B.


[答案] B


2．与30°角终边相同的角的集合是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ＋30°，k∈Z))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))


[解析] ∵与30°角终边相同的角表示为α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度为α＝2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，∴选D.


[答案] D


3．下列说法正确的是( )


A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系


B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应


C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同


D．－120°的弧度数是eq \f(2π,3)


[解析] A项中，零角的弧度数为0，故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C项错误；－120°对应的弧度数是－eq \f(2π,3)，故D项错误．故选B.


[答案] B


4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )


A．2 B．4


C．6 D．8


[解析] 设扇形所在圆的半径为R，则2＝eq \f(1,2)×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.


[答案] C


5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )





[解析] 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq \f(π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq \f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq \f(3π,2)，m∈Z.故选C.


[答案] C


二、填空题


6．将－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．


[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝eq \f(7,4)π，


∴应填－10π＋eq \f(7,4)π.


[答案] －10π＋eq \f(7,4)π


7．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．


[解析] 由于扇形面积S＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×3×12＝eq \f(3,2)，故扇形的面积为eq \f(3,2).


[答案] eq \f(3,2)


8．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．


[解析] 设两个角的弧度数分别为x，y.因为1°＝eq \f(π,180) rad，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1,x－y＝\f(π,180).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)＋\f(π,360),y＝\f(1,2)－\f(π,360)，))所以所求两角的弧度数分别为eq \f(1,2)＋eq \f(π,360)，eq \f(1,2)－eq \f(π,360).


[答案] eq \f(1,2)＋eq \f(π,360)，eq \f(1,2)－eq \f(π,360)


三、解答题


9．已知α＝1690°.


(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；


(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．


[解] (1)1690°＝1440°＋250°


＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq \f(25,18)π.


(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋eq \f(25,18)π(k∈Z)．


又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq \f(25,18)π<4π，


∴－eq \f(97,36)

∴θ的值是－eq \f(47,18)π，－eq \f(11,18)π，eq \f(25,18)π，eq \f(61,18)π.


10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3).求：


(1)这个圆心角所对的弧长；


(2)这个扇形的面积．


[解] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq \f(2π,3)，所以半径r＝eq \f(1,sin\f(π,3))＝eq \f(2\r(3),3)，


所以这个圆心角所对的弧长l＝eq \f(2\r(3),3)×eq \f(2π,3)＝eq \f(4\r(3)π,9).


(2)由(1)得扇形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3),3)×eq \f(4\r(3)π,9)＝eq \f(4π,9).


综合运用


11．把－eq \f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )


A．－eq \f(3π,4) B．－eq \f(π,4)


C.eq \f(π,4) D.eq \f(3π,4)


[解析] ∵－eq \f(11π,4)＝－2π－eq \f(3π,4)，∴－eq \f(11π,4)与－eq \f(3π,4)是终边相同的角，且此时eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝eq \f(3π,4)是最小的．


[答案] A


12．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )


A．∅


B．{α|－4≤α≤π}


C．{α|0≤α≤π}


D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}


[解析] A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．故选D.


[答案] D


13．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝eq \f(π,6)，则在0～4π内满足要求的β＝________.


[解析] 由角α，β的终边关于直线y＝x对称，及α＝eq \f(π,6)，可得β＝－α＋eq \f(π,2)＋2kπ＝eq \f(π,3)＋2kπ，令k＝0,1可得结果．


[答案] eq \f(π,3)，eq \f(7π,3)


14．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．


[解析] 设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r弧长为l，设弧所对的圆心角为β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq \f(1,3)α.


[答案] eq \f(1,3)


15．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．





[解] 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，


则t·eq \f(π,3)＋t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π.解得t＝4.


所以第一次相遇时所用的时间是4秒．


第一次相遇时点P已经运动到角eq \f(π,3)·4＝eq \f(4π,3)的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－eq \f(2π,3)的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为eq \f(4π,3)×4＝eq \f(16π,3)，


点Q走过的弧长为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))×4＝eq \f(2π,3)×4＝eq \f(8π,3).