人教版新课标B必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数本节综合第2课时学案设计

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第2课时　零点的存在性及其近似值的求法
学习目标　1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．

知识点一　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
思考　所有函数的图像都是连续不断的吗？试举例说明．
答案　不是，如反比例函数y＝.
知识点二　二分法的概念
对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
知识点三　用二分法求函数零点近似值的一般步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是_连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：
第一步：_检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步： 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f ＝0，取x1＝，计算结束；若f ≠0，转到第三步．
第三步： 若f(a)·f <0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有f ·f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步．

1．所有函数的零点都可以用二分法来求．(　×　)
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　×　)
3．用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　×　)
4．二分法求出的函数的零点都是近似值．(　×　)

一、二分法的适用条件
例1　下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)

答案　A
解析　按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.
反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图像在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
跟踪训练1　已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为(　　)

A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案　D
解析　由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解．
二、判断函数零点所在的区间
例2　(多选)已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88

则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B．函数y＝f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C．函数y＝f(x)在区间[1,6]上可能多于3个零点
D．函数y＝f(x)在区间[1,2]上可能有零点
答案　BCD
解析　由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．虽然f(1)·f(2)>0，但函数y＝f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点．故BCD都正确．
反思感悟　判断函数零点所在区间的方法
(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)<0，也不能说函数无零点，如f(x)＝x2，f(－1)f(1)＝1>0，但0是f(x)的零点．
跟踪训练2　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6

不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案　A
解析　因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．
三、用二分法求函数零点的近似解
例3　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
解　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
|0.625－0.75|＝0.125<0.1×2

由于|0.625－0.75|＝0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解．
延伸探究　若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”，结论又如何？
解　在本例的基础上，取区间(0.625,0.75)的中点x＝0.687 5，因为f(0.687 5)＜0，f(0.75)>0且|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.05×2，所以x＝0.718 75可作为方程的一个近似解．
反思感悟　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－x－2，用二分法求它的一个正实数零点的近似值．(精确度0.06)
解　由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表.
零点所在区间
区间中点
中点对应的函数值
[1,2]
x0＝＝1.5
f(x0)＝－0.125<0
[1.5,2]
x1＝＝1.75
f(x1)≈1.609 4>0
[1.5,1.75]
x2＝＝1.625
f(x2)≈0.666 0>0
[1.5,1.625]
x3＝＝1.562 5
f(x3)≈0.252 2>0
[1.5,1.562 5]
x4＝＝1.531 25


由表中数据可知，|1.562 5－1.5|＝0.062 5<2×0.06，
所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.

1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
答案　A
解析　由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故可以取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．
2．(多选) 已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是(　　)
x
1
2
3
5
f(x)
3
－1
2
0

A.(1,2) B．[1,3] C．[2,5) D．(3,5)
答案　ABC
解析　由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)＜0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点；则函数f(x)在[1,3]上一定有零点；由f(2)·f(3)＜0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点；则函数f(x)在[2,5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点．所以函数f(x)在 (3,5) 上不一定存在零点．
3．设用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内的近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)>0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
答案　B
解析　∵f(1.5)f(1.25)＜0，
∴方程的根落在区间(1.25,1.5)上．
4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
答案　a2＝4b
解析　∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
5．若方程x2－2kx＋k2－1＝0有两个不相等的实数根介于－2与4之间，则k的取值范围为________．
答案　(－1,3)
解析　令f(x)＝x2－2kx＋k2－1，则二次函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝k，由题意可得
解得－1 即所求的k的取值范围是(－1,3)．

1．知识清单：
(1)函数零点存在定理．
(2)二分法的概念．
(3)求方程的近似解．
2．常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似解时精确度理解不准确．


1．(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是(　　)

A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
答案　ABD
解析　由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出．
2．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
14
8
－2
2
7
3
－2
－1
8

则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　C
解析　∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0，
f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，
∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，
∴至少有4个零点，故选C.
3．(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A. B．[－2,1]
C. D.
答案　ACD
解析　∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
4．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812 5
f(x)
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3

则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取(　　)
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9
答案　C
解析　由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在(1.75，1.875)之间，
结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(精确度为0.1)1.8.
5．用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确度0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是(　　)
A．已经达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)
答案　A
解析　由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)，|1.375－1.5|＝0.125<0.1×2，达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值．
6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案　(0,0.5)　f(0.25)
解析　∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ＝f(0.25)．
7．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
答案　④
解析　∵f(1)f(2)f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．又∵f(0)>0，
∴函数的图像与x轴相交有多种可能，如图所示：


∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.
8．设f(x)＝x2－3x＋a，若函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　显然函数f(x)图像的对称轴是直线x＝，
根据二次函数的性质可知f(1) 因为函数f(x)在区间(1,3)内有零点，
所以f(3)·f <0或f ＝0，
解得0 9．用二分法求方程x2－5＝0的一个正零点近似值．(精确度0.05)
解　令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间[2.2,2.4]的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，
所以x0∈[2.2,2.3]．
再取区间[2.2,2.3]的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，
所以x0∈[2.2,2.25]．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜2×0.05，
因此原方程的正零点近似值可取为＝2.225.
10．求函数f(x)＝x5－x3－3x2＋3最右边的一个零点．(精确度0.01)
解　∵f(x)＝x5－x3－3x2＋3
＝x3(x2－1)－3(x2－1)
＝(x＋1)(x－1)(x3－3)，
∴f(x)最右边的一个零点就是方程x3－3＝0的根．
令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．
由于g(1)＝1－3＝－2<0，g(2)＝23－3＝5>0，
故可取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：
零点所在区间
区间中点
中点函数近似值
[1,2]
1.5
g(1.5)＝0.375>0
[1,1.5]
1.25
g(1.25)≈－1.046 9<0
[1.25,1.5]
1.375
g(1.375)≈－0.400 4<0
[1.375,1.5]
1.437 5
g(1.437 5)≈－0.029 5<0
[1.437 5，1.5]
1.468 75
g(1.468 75)≈0.168 4>0
[1.437 5，1.468 75]
1.453 125
g(1.453 125)≈0.068 4>0
[1.437 5，1.453 125]
1.445 312 5


∵|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<2×0.01，
∴方程x3＝3的根的近似值可取为1.445 312 5.
故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.

11．已知函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　)
x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
－0.530
3.451
4.890
5.241
6.892

A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
答案　B
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，
因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)
＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，
F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，
F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，
F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，
F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，
于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．
12．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
答案　
解析　令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，f ＝>0，所以f f(1)<0，
故可断定该实数根所在的区间为.
13．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
答案　4
解析　设等分的最少次数为n，则由<0.01，
得2n>10，∴n的最小值为4.
14．设方程2x＋x3＝10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
答案　1
解析　设f(x)＝2x＋x3－10，
又f(0)＝－10，f(1)＝－7，f(2)＝2，
∴f(1)·f(2)＜0，∴β∈(1,2)，n＝1.

15．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
答案　4
解析　 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
16．学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？
解　设x(1≤x≤29，x∈N＋)名木工制作课桌，(30－x)名木工制作椅子．一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，所以x名木工制作100张课桌所需要的时间P(x)＝，(30－x)名木工制作200把椅子所需要的时间Q(x)＝＝，要想任务完成最快，则应求y＝max|P(x)，Q(x)|的最小值，该函数图像是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值．假设P(x)＝Q(x)，下面用二分法的思想求x0.

令f(x)＝P(x)－Q(x)＝＋，则f(1)＝－≈13.60>0，f(29)＝－20≈－19.51<0，所以x0∈(1,29)；取区间(1,29)的中点x1＝＝15，f(15)≈－0.38<0，所以x0∈(1,15)；同理可得，x0∈(8,15)，x0∈(11.5,15)，x0∈(11.5,13.25)，x0∈(12.375,13.25)，x0∈(12.375,12.812 5)．又x0∈N＋，所以x0＝12或x0＝13.当|f(x)|取最小值时，表示木工分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短．当x0＝12时，f(x)≈0.079；当x0＝13时，f(x)≈－0.078.因为|0.079|>|－0.078|，所以取x0＝13，即安排13名木工制作课桌，17名木工制作椅子，可使任务完成最快．