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    第2章 2.2.1 第2课时 不等式及其性质 教案
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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质精品第2课时2课时教案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质精品第2课时2课时教案,共8页。







    不等式的基本性质


    (1)对称性:a>b⇔b<a.


    (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.


    (3)可加性:a>b⇔a+c>b+c.


    (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc.


    (5)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d.


    (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.


    (7)乘方法则:a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n≥2).





    1.若a>b,c>d,则下列不等关系中不一定成立的是( )


    A.a-b>d-c B.a+d>b+c


    C.a-c>b-c D.a-c<a-d


    B [根据不等式的性质判断.]


    2.与a>b等价的不等式是( )


    A.|a|>|b| B.a2>b2


    C.eq \f(a,b)>1 D.a3>b3


    D [可利用赋值法.令a=-5,b=0,则A,B正确而不满足a>b.再令a=-3,b=-1,则C正确而不满足a>b,故选D.]


    3.设x

    A.x2ax>a2


    C.x2a2>ax


    B [∵xa2.


    ∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.


    又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.


    ∴x2>ax>a2.]





    【例1】 对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是( )


    A.若a>b,则ac2>bc2


    B.若a>b>0,则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)


    C.若a<b<0,则eq \f(b,a)>eq \f(a,b)


    D.若a>b,eq \f(1,a)>eq \f(1,b),则a>0,b<0


    [思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假,也可以采用特殊值法判断.


    D [法一:∵c2≥0,∴c=0时,


    有ac2=bc2,故A为假命题;


    由a>b>0,有ab>0⇒eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)>eq \f(1,a),


    故B为假命题;


    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a<b<0⇒-a>-b>0⇒-\f(1,b)>-\f(1,a)>0,a<b<0⇒-a>-b>0))


    ⇒eq \f(a,b)>eq \f(b,a),


    故C为假命题;


    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b⇒b-a<0,,\f(1,a)>\f(1,b)⇒\f(1,a)-\f(1,b)>0⇒\f(b-a,ab)>0))ab<0.


    ∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题.


    法二:特殊值排除法.


    取c=0,则ac2=bc2,故A错.


    取a=2,b=1,则eq \f(1,a)=eq \f(1,2),eq \f(1,b)=1.


    有eq \f(1,a)<eq \f(1,b),故B错.取a=-2,b=-1,


    则eq \f(b,a)=eq \f(1,2),eq \f(a,b)=2,有eq \f(b,a)<eq \f(a,b),故C错.]





    运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.








    1.下列命题正确的是( )


    A.若a2>b2,则a>b


    B.若eq \f(1,a)>eq \f(1,b),则a<b


    C.若ac>bc,则a>b


    D.若eq \r(a)<eq \r(b),则a<b


    D [A错,例如(-3)2>22;B错,例如eq \f(1,2)>eq \f(1,-3);C错,例如当c=-2,a=-3,b=2时,有ac>bc,但a<b.]





    【例2】 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:eq \f(e,a-c2)>eq \f(e,b-d2).


    [思路点拨] 可结合不等式的基本性质,分析所证不等式的结构,有理有据地导出证明结果.


    [证明] ∵c<d<0,∴-c>-d>0.


    又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.


    ∴(a-c)2>(b-d)2>0.


    两边同乘以eq \f(1,a-c2b-d2),


    得eq \f(1,a-c2)<eq \f(1,b-d2).


    又e<0,∴eq \f(e,a-c2)>eq \f(e,b-d2).





    本例条件不变的情况下,求证:eq \f(e,a-c)>eq \f(e,b-d).


    [证明] ∵c<d<0,∴-c>-d>0.


    ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,


    ∴0<eq \f(1,a-c)<eq \f(1,b-d).


    又∵e<0,∴eq \f(e,a-c)>eq \f(e,b-d).





    利用不等式的性质证明不等式的注意事项


    1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.


    2应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,切不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.








    2.已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac

    [证明] ∵a>b,c>0,∴ac>bc.


    又∵e>f,∴e+ac>f+bc,


    ∴e-bc>f-ac,


    ∴f-ac




    [探究问题]


    1.小明同学做题时进行如下变形:


    ∵2

    ∴eq \f(1,3)

    又∵-6

    ∴-2

    你认为正确吗?为什么?


    提示:不正确.因为不等式两边同乘以一个正数,不等号的方向不变,但同乘以一个负数,不等号方向改变,在本题中只知道-6

    2.由-6

    提示:不正确.因为同向不等式具有可加性.但不能相减,解题时要充分利用条件,运用不等式的性质进行等价变形,而不可随意“创造”性质.


    3.你知道下面的推理、变形错在哪儿吗?


    ∵2

    ∴-4

    又∵-2

    ∴0

    ∴-3

    这怎么与-2

    提示:利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意:同向不等式两边可以相加(相乘),这种转化不是等价变形.本题中将2

    【例3】 已知1<a<4,2<b<8,试求a-b与eq \f(a,b)的取值范围.


    [思路点拨] 依据不等式的性质,找到-b与eq \f(1,b)的范围,进而求出a-b与eq \f(a,b)的取值范围.


    [解] 因为1<a<4,2<b<8,


    所以-8<-b<-2.


    所以1-8<a-b<4-2,即-7<a-b<2.


    又因为eq \f(1,8)<eq \f(1,b)<eq \f(1,2),所以eq \f(1,8)<eq \f(a,b)<eq \f(4,2)=2,


    即eq \f(1,8)<eq \f(a,b)<2.





    求含字母的数或式子的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘不可除.








    3.已知-eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2),求eq \f(α+β,2),eq \f(α-β,2)的取值范围.


    [解] ∵-eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2),


    ∴-eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)<eq \f(π,4),-eq \f(π,4)<eq \f(β,2)≤eq \f(π,4),


    两式相加,得-eq \f(π,2)<eq \f(α+β,2)<eq \f(π,2).


    ∵-eq \f(π,4)<eq \f(β,2)≤eq \f(π,4),


    ∴-eq \f(π,4)≤-eq \f(β,2)<eq \f(π,4).


    ∴-eq \f(π,2)≤eq \f(α-β,2)<eq \f(π,2),


    又知α<β,∴eq \f(α-β,2)<0.


    故-eq \f(π,2)≤eq \f(α-β,2)<0.





    1.在应用不等式性质时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.


    2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.





    1.思考辨析


    (1)若a>b,则ac>bc一定成立.( )


    (2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.( )


    [提示] (1)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个负数时,不等号方向改变,因此若a>b,则ac>bc不一定成立.


    (2)错误.取a=4,c=5,b=6,d=2.满足a+c>b+d,但不满足a>b.


    [答案] (1)× (2)×


    2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( )


    A.a-d>b-c B.-eq \f(a,d)<-eq \f(b,c)


    C.a+d>b+c D.ac>bd


    C [由已知及不等式的性质可得a+c>b+d,


    即a-d>b-c,所以A正确;


    由c>d>0,得eq \f(1,d)>eq \f(1,c)>0.


    又a>b>0,所以eq \f(a,d)>eq \f(b,c),-eq \f(a,d)<-eq \f(b,c),


    即B正确;


    显然D正确,因此不正确的选项是C.]


    3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )


    A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1


    C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1


    A [由-1<α<1,-1<β<1,


    得-1<-β<1.


    ∴-2<α-β<2,但α<β.


    故知-2<α-β<0.]


    4.若bc-ad≥0,bd>0.求证:eq \f(a+b,b)≤eq \f(c+d,d).


    [证明] 因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,


    因为bd>0,所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d),所以eq \f(a,b)+1≤eq \f(c,d)+1,所以eq \f(a+b,b)≤eq \f(c+d,d).





    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.掌握不等式的性质.(重点)


    2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明.(难点)


    3.通过类比等式与不等式的性质,探索两者之间的共性与差异.
    1.通过不等式性质的判断与证明,培养逻辑推理能力.


    2.借助不等式性质求范围问题,提升数学运算素养.
    利用不等式性质判断命题真假
    利用不等式性质证明简单不等式
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