数学3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀教学设计

这是一份数学3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀教学设计，共6页。







1．对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．


2．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．





1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )





A．分段函数 B．一次函数


C．二次函数 D．反函数


A [根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．]


2．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为( )


A．y＝eq \f(c－a,c－b)·x B．y＝eq \f(c－a,b－c)·x


C．y＝eq \f(a－c,b－c)·x D．y＝eq \f(b－c,c－a)·x


B [据题意有eq \f(a%x＋b%y,x＋y)＝c%，


所以eq \f(ax＋by,x＋y)＝c，即ax＋by＝cx＋cy，


所以(b－c)y＝(c－a)x，所以y＝eq \f(c－a,b－c)·x.]


3．某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：


(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)


则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )


A．6升 B．8升


C．10升 D．12升


B [由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8(升)，故选B.]


4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售 (即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．


108 [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.]





【例】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．


(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；


(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？


[解] (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x).


由已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2，


所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．


(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得


y＝f(x)＋g(20－x)＝eq \f(1,8)x＋eq \f(1,2)eq \r(20－x)(0≤x≤20)．


令t＝eq \r(20－x)(0≤t≤2eq \r(5))，


则y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(1,2)t＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3，


所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．





解决此类问题过程：如下图所示．











某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：


(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；


(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？





[解] (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))


∴y＝－3x＋150(x∈N)．


经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N)．


(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)


＝－3(x－40)2＋300，


∴当x＝40时，P有最大值300.


故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.





1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4时，利润y等于( )


A．4元 B．16元


C．85元 D．不确定


B [当x＝4时，y＝12＋4＝16.]


2．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )


A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)


B．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t≤3.5,150－50t3.5＜t≤6.5))


C．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,150－50tt＞3.5))


D．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5＜t≤3.5,150－50t－3.53.5＜t≤6.5))


D [根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]


3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x＜A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．


已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，.


60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟，


所以eq \f(c,\r(A))＝15，①


所以必有4＜A，且eq \f(c,\r(4))＝eq \f(c,2)＝30，②


联立①②解得c＝60，A＝16.]


4．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．





甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．


乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．


请你根据提供的信息说明：


(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；


(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；


(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？


[解] (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.


∴y甲＝0.2(x＋4)．


同理可得y乙＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(17,2))).


当x＝2时，y甲＝1.2，y乙＝26，


故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．


(2)规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．


(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4－x＋eq \f(17,2)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．


函数图像的对称轴为x＝－eq \f(3.6,2×－0.8)＝2eq \f(1,4)，


因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2，


即第二年规模最大，为31.2万只．





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)


2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点)
1.通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养．


2．理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(公里)
2017年11月16日
12
32 000
2017年11月21日
48
32 600
数学建模—建立函数模型解决实际问题
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…