人教版（2024）九年级上册（2024）30.3 正多边形与圆课时训练

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）30.3 正多边形与圆课时训练，共19页。试卷主要包含了正多边形的概念，正多边形与圆的关系，正多边形的核心要素，正多边形的相关计算等内容，欢迎下载使用。

知识点01
正多边形的相关概念及计算
1.正多边形的概念
相等， 也相等的多边形是正多边形。
2.判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件
(1)各边相等；
(2)各角相等；缺一不可。
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形)。
3.正多边形与圆的关系
(1)内接正多边形：把圆分成相等的一些弧，依次连接各分点，得到的多边形是这个圆的内接正多边形。这个圆是该正多边形的 。
(2)外切正多边形：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。这个圆是该正多边形的 。
4.正多边形的核心要素
以圆内接正多边形为例，如图。
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 。
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 。
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ；正n边形的中心角度数为 。
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 。
5.正多边形的相关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 。
重要关系：正n边形的中心角与外角的大小相等，均为360°n 。
【即学即练】
1．已知一个正多边形的中心角等于60°，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ）
A．边数为6B．每个外角都等于60°
C．边长与半径长的比为1:2D．既是轴对称图形也是中心对称图形
2．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正________边形．
3．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（ ）
A．36°B．72°C．90°D．180°
4．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接AD、BD，∠ADB=20°，则这个正多边形是边数为____________．
5．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A．2πB．4πC．3πD．3π
6．如图，正五边形ABCDE的边长为10，点B、E在⊙A上，则BE的长是_______．
7．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为（ ）
A．8B．10C．12D．20
8．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，⊙O的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可求得π的估计值是（ ）
A．3B．33C．3.14D．3.142
9．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而9002=45是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．
图2中的图案外轮廓周长是_____；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．
知识点02
正多边形的性质
1.正多边形都 外接圆，圆有 个内接正多边形。
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 个全等的直角三角形。
3.正多边形都是 图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；
当边数是偶数时，它也是 图形，它的 就是对称中心。
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
5.任何正多边形都有 外接圆和 内切圆，这两个圆是 。
【即学即练】
10．下列关于正多边形说法错误的是（ ）
A．正多边形不一定是中心对称图形
B．中心对称图形一定是正多边形
C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形．
D．关于中心对称的两个图形是全等形
11．中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画． 如图，太极图内切于正六边形ABCDEF中，则图中黑色部分的面积与正六边形ABCDEF的面积之比是（ ）
A．3π12B．312C．3π6D．36
知识点03
正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 ；根据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。
①正四、八边形
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分。
【即学即练】
12．使用量角器画出圆的内接正九边形．
13．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形．
(1)请在图2中利用尺规作出正六边形ABCDEF（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求地基的面积（答案保留根号）．
知识点04
正多边形的实际应用与拓展
1.生活应用
（1）六角螺帽（螺母）、八角宝塔（如延安宝塔）、五角星、齿轮。
（2）亭子基座、圆形铁片截正方形、篱笆围场地（最大面积问题：周长相等的正多边形，边数越多 ，圆面积最大）。
2.图案设计与平面镶嵌
（1）镶嵌条件
用多边形镶嵌平面，必须满足：共顶点的各多边形的内角之和等于 。
（2）单一正多边形的镶嵌
只有三种正多边形能单独镶嵌平面：正三角形（内角60∘）、正方形（内角90∘）、正六边形（内角120∘）。
原因：这些内角度数均可以整除360∘。
（3）组合镶嵌
如果用多种正多边形进行组合，能够镶嵌的组合形式有很多（如利用正方形与正八边形、正三角形与正六边形等组合镶嵌）。
据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形。
【即学即练】
14．如图，边长为23cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=15cm，用扳手拧动螺帽旋转120°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．
15．小斌家买了一套新房正在进行装修，星期天小斌陪父母一起到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设客厅地面（需无缝），则购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．三角形地砖B．正方形地砖C．正六边形地砖D．正五边形地砖
16．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列两种正多边形中，可以镶嵌平面的是（ ）
A．正四边形和正五边形B．正四边形和正六边形
C．正四边形和正七边形D．正四边形和正八边形
题型01 正多边形的相关计算
【典例1】北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，则正六边形中心角∠AOF的度数为___________．
【典例2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．18D．20
【典例3】如图所示的风车，绕着它的中心点O旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（ ）
A．18°B．36°C．72°D．144°
（1）考查方向：考查正多边形中心角/内角/外角互求及利用圆周角反求边数，重点考察半径、边心距、半边长在直角三角形中的勾股计算。
（2）核心方法：核心为熟记中心角=360°/n，将正多边形分割为n个等腰三角形，结合30°/60°特殊角比例关系求值。

【变式1】如图，点A,B,C,D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的中心，若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6B．9C．10D．12
【变式2】正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为1:2，则这个多边形的内角和为（ ）
A．720°B．360°C．240°D．180°
【中考链接1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【中考链接2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为4 m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________m2（计算结果保留根号）．
【中考链接3】如图，已知正六边形ABCDEF的中心为O、边心距OM=3，分别以F、C为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB，DE所围成的阴影部分面积是________．
题型02 正多边形与圆的综合
【典例1】如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，OA=1，若∠ACB=15°，则这个正多边形的面积为（ ）
A．1B．3C．πD．3π
【典例2】作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
(2)连接BF，CE．判断四边形BCEF的形状并加以证明．
【典例3】如图五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN交于点P．则∠APN的度数是（ ）
A．72°B．108°C．120°D．没有确定值
（1）考查方向：考查内接/外切多边形的转化、组合图形不规则阴影面积、弧长及尺规作图原理。
（2）核心方法：连接圆心构建中心三角形，运用扇形面积“割补法”（扇形±三角形）求解阴影，并熟记等分圆周（正六边边长为半径、正方形垂直平分线）的尺规构造逻辑。

【变式1】如图所示，正六边形ABCDEF为一个机械零件的截面图，已测得AB=1，则四边形GCHF的面积是（ ）
A．233B．3C．23D．33
【变式2】如图，正九边形的两条邻边分别与⊙O相切于点B、C，点P在BC上，连接PB、PC，则∠BPC的度数为__________°．
【变式3】如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，FA1，A1B1，C1B1，C1D1，D1B1，E1F1，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB=1时，FA1的长度为________，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是________
【变式4】用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知AB为⊙O的直径．
步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O分别交于E，F两点，垂足为D．
步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次截取BG=GH=HM=MN=NP=PQ=ED．
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ．
动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ．要求：不写作法，但保留作图痕迹．
【中考链接1】我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．43π−3B．43π−32C．23π−3D．23π−32
【中考链接2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．36°B．45°C．60°D．72°
【中考链接3】如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．2D．3
题型03 正多边形的实际应用
【典例1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．22B．3C．10D．π
【典例2】如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为L，中心大圆周长为l，则L与l的数量关系是（ ）
A． L=l B． L=2l C．2L=3l D．3L=4l
【典例3】在一个边长为10m的正六边形地面，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖_______块．
（1）考查方向：考查工程建筑（基座/螺帽）建模、铺砖镶嵌数量计算及“割圆术”（正多边形面积逼近圆面积）相关估算。
（2）核心方法：抽象几何建模并利用顶角和或面积比算铺砖，处理组合图案时运用对称性，采用“整体面积减去空白面积”或面积分割法进行计算。
【变式1】南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率π”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若⊙O的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____．
【变式2】平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形ABCDEF的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8π−18B．8π−123C．4π−33D．4π−63
【变式3】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【中考链接1】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332．若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为_________．
【中考链接2】如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．
【中考链接3】图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．
A组·基础过关
1．如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（ ）
A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形
2．如图，BC是⊙O的内接正n边形的一边，点A在⊙O上，∠BAC=20°，则n的值为（ ）
A．6B．8C．9D．18
3．半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．33cm2B．63cm2C．6cm2D．4πcm2
4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，半径为10，若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________．
5．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB．
(1)填空：∠AOB的度数为_____．
(2)若正六边形ABCDEF的边心距为23，求图中阴影部分的周长．
B组·能力提升
6．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形ABCDEF为正六边形，连接AC,CF，则∠ACF的度数为（ ）
A．35°B．32°C．25°D．30°
7．如图，⊙O为正五边形的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）．
A．60°B．54°C．66°D．72°
8．如图，C，D是AB⏜上两点，BD=CD，∠A=40°．若BD，CD是正n边形的两条邻边，则n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________．
10．如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH=FG．
(1)证明：四边形BGEH为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
C组·拓展延伸
11．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（ ）
A．36°B．35°C．34°D．33°
12．如图，用单位长度为1cm的数轴测量正十二边形的对角线CD的长时，顶点C，D恰好分别与数轴上的−1和2对齐，则对角线AB的长为（ ）
A．22cmB．23cmC．33cmD．6cm
13．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3:2，则这个多边形的内角和为（ ）
A．720°B．360°C．240°D．180°
14．如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________．
15．【给出问题】如图1，正方形ABCD内接于⊙ O，P是BC的中点，连接AP，DP．求证：AP=DP；
【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于⊙ O，点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC=45°，PA=1，PD=2，试求矩形ABCD的面积．
教学目标
1.掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各元素。
2.掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟练应用。
3.掌握正多边形的画法；能够熟练的画出正多边形。
教学重难点
1.重点
（1）正多边形及其相关概念；
（2）正多边形的有关计算及实际应用；
（3）正多边形的画法。
2.难点
（1）利用正多边形计算相关计算；
（2）正多边形在计算时对隐藏条件的应用。