初中数学正多边形和圆同步练习题

这是一份初中数学正多边形和圆同步练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值.其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°
2.每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形.若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转( )
A. 360°B. 180°C. 120°D. 60°
3.正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接等边三角形EFG的边长为( )
A. 6B. 2 2C. 2 6D. 4 2
4.如图，边长为2 3cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=12cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为( )cm．
A. 7.5
B. 15π
C. 15
D. 7.5π
5.正多边形的一部分如图所示，若∠ACB=20°，则该正多边形的边数为( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
6.苯(分子式为C6H6)的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形(如图1)，图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF−∠COD的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是( )
A. 90°
B. 99°
C. 108°
D. 135°
8.如图，在圆内接正五边形ABCDE中，连接AC，AD，则∠CAD的度数是( )
A. 36∘B. 44∘C. 48∘D. 52∘
二、填空题：
9.如果过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形的每个内角为______°.
10.如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n=_____．
11.正多边形的一个内角等于144°，则该正多边形的边数为______．
12.一个半径为5cm的圆内接正六边形的周长等于____cm．
13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD= ______．
14.如图，正六边形ABCDEF，对角线AE、BF交于点G，EF=2，则正六边形ABCDEF的半径为______．
15.如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则AE的度数为______．
三、解答题：
16. 如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
如图，正六边形ABCDEF的半径为5．
(1)求对角线AC的长；
(2)求这个正六边形的周长与面积．
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
(1)求∠AED的度数；
(2)当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
20.如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)如图1，过点A求作此正五边形的对称轴；
(2)如图2，点M在AB上，且AM=2BM，在AE边上求作一点N，使AN=2EN．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵正方形有4条边，
∴正方形的中心角为360°4=90°，
故选：B．
先确定正方形的边数为4，再根据正n边形的中心角的度数是360°的n分之一求出正方形的中心角的度数即可．
此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的求法等知识与方法，正确理解正多边形的中心角的概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：正六边形可以被经过中心的半径平分成6个全等的部分，
则旋转至少360°÷6=60°，能够与本身重合．
故选：D．
正六边形被经过中心的半径平分成6个全等的部分，则旋转的角度由此即可确定．
本题考查旋转对称图形的知识，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．
3.【答案】C
【解析】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=4 2，
∴OE=OF=2 2，∵OM⊥EF，
∴EM=MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，
在Rt△OME中，∵OE=2 2，∠OEM=12∠GEF=30°，
∴OM= 2，EM= 3OM= 6，
∴EF=2 6．
故选：C．
连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．
本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】D
【解析】解：连接OD，OC．
∵∠DOC=60°，OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD=OC=DC=2 3cm，
∵OB⊥CD，
∴BC=BD= 3cm，
∴OB= 3BC=3cm，
∵AB=12cm，
∴OA=OB+AB=15cm，
∴点A在该过程中所经过的路径长=90⋅π⋅15180=7.5π(cm)．
故选：D．
利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠ACB=20°，
∴∠AOB=2∠ACB=40°，
∴正多边形的边数=36040=9，
故选：B．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图2，六边形ABCDEF是正六边形，
∠A=∠ABC=(6−2)×180°6=120°，
∵AB=AF=EF，
∠ABF=180°−120°2=30°，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=120°−30°=90°，
∵∠COD=16×360°=60°，
∴∠CBF−∠COD=90°−60°=30°．
故选：A．
根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形以及三角形内角和定理，解题关键是掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
7.【答案】B
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE=∠E=(5−2)×180°5=108°，
∵四边形CDFG为正方形，
∴∠CDF=90°，∠CFD=45°，
∴∠FDE=108°−90°=18°，∠DFM=180°−45°=135°，
∴∠FME=360°−18°−135°−108°=99°，
故选：B．
根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可．
本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形与圆，全等三角形的判定与性质有关知识，根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，即可求出∠CAD的度数．
【解答】
解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，
∴∠CAB=∠DAE=12(180°−108°)=36°，
∴∠CAD=108°−36°−36°=36°
故选：A
9.【答案】135
【解析】解：如果过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形是正八边形，
所以它的每个内角为(8−2)×180°8=135°，
故答案为：135．
根据过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线求出这个多边形是正八边形，再根据多边形内角和定理以及正多边形的每个内角相等即可求出这个正多边形的每个内角．
本题考查了正多边形和圆，多边形的对角线，熟知正多边形的每个内角相等、多边形内角和定理以及过n边形的一个顶点可以画出(n−3)条对角线是解题的关键．
10.【答案】9
【解析】【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．
【详解】∵正n边形的中心角=360∘n=40°，
n=360∘40∘=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边形的边数之间的关系是关键．
11.【答案】10
【解析】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
(n−2)×180°n=144°，
解得，n=10，
即这个正多边形为正十边形．
故答案为：10．
根据正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．
12.【答案】30
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆内接正六边形的边长等于半径是解题的关键．
根据圆内接正六边形的边长等于半径，即可求得边长，进而求得周长．
【解答】
解：∵圆的半径为5cm，
∴圆内接正六边形的半径为5cm，即边长是5cm，
∴正六边形的周长是：5×6=30(cm) ．
故答案是：30．
13.【答案】36°
【解析】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=AE=DE，∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴∠CAB=∠DAE=12(180°−108°)=36°，
∴∠CAD=108°−36°−36°=36°．
故答案为：36°．
根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，即可求出∠CAD的度数．
本题考查了正多边形与圆，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：如图，正六边形ABCDEF的外接圆的圆心为O，连接OE，OF，则OE=OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠EOF=360°6=60°，
∵OE=OF，
∴△EOF是正三角形，
∴OE=OF=EF=2，
即正六边形ABCDEF的半径为2，
故答案为：2．
根据正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，等边三角形的判定和性质是正确解答的关键．
15.【答案】135°
【解析】解：如图，连接OA、OE，
∵⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，
∴∠OAH=∠OEF=90°，
∵六边形AHGFEO的内角和为(6−2)×180°=720°，∠H=∠G=∠F=(8−2)×180÷8=135°，
∴∠AOE=720°−90°×2−135°×3=135°，
∴AE的度数为135°，
故答案为：135°．
连接OA、OE、OD，根据切线的性质得出∠OAH=∠OEF=90°，分别计算出六边形与八边形的内角和，即可推出结果．
本题考查了正多边形与圆，切线的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
16.【答案】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°6=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5m，
∴正六边形ABCDEF的周长=6×5=30(m)，
答：这个正六边形地基的周长为30m．
【解析】根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
17.【答案】解：连接OB，OG⊥CB于G，
∵∠COB=60°，OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC=OB=6cm，
即R=6cm，
∵OC=OB=6，OG⊥CB，
∴CG=BG=12CB=12×6=3cm，
在Rt△COG中，r6=OG= OC2−CG2=3 3(cm)，
∴S6=12×6×6×3 3=54 3(cm2).
【解析】连接OB，OG⊥CB于G，易得△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6S△OBC求得答案．
此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
18.【答案】解：(1)连接AD，AC，

∵AB=BC=CD=5，∠B=∠BCD=120°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=90°，
∵∠CDA=∠EDA=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=2CD=10，
∴AC= 3CD=5 3；
(2)连接AO，BO，作OG⊥AB于点G，

∵AB=OA=5；
∴正六边形的周长=6AB=30；
∴OG=OA⋅sin60°= 32×5=5 32，
∴S=6×12×5×5 32=752 3．
【解析】(1)连接AD，AC，根据正六边形的性质推出∠ACD=90°，∠CAD=30°，再利用直角三角形的性质即可得到结论；
(2)由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积．
本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
19.【答案】解：(1)连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
(2)∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD−∠DOE=30°，
∴n=360°30∘=12．
【解析】(1)首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；
(2)首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．
此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，直线AT即为所求；
(2)如图，点N即为所求．

【解析】(1)连接BD，CE交于点T，作直线AT即可；
(2)连接BD，CE交于点T，作直线AT，连接DM交直线AT于点J，连接CJ，延长CJ交AE于点N，点N即为所求，
本题考查作图−轴对称变换，正五边形等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．