初中人教版（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.3 正多边形与圆教案

这是一份初中人教版（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.3 正多边形与圆教案，共21页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●情景导入 (1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为 eq \f(157,50)≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．
(2)在同圆或等圆中，等弧所对的弦__相等__，所对的圆周角__相等__.
(3)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？
【教学与建议】教学：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：先让学生自己归纳前面所学的圆的有关概念性质．
●置疑导入 问题(1)：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？
问题(2)：观看大屏幕上这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的，你能从这些图案中找出正多边形来吗？
【教学与建议】教学：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系．建议：让学生举例生活中的正多边形．
命题角度1 正多边形的有关概念
正多边形有各边相等、各角相等、边心距相等等特征．
【例1】(1)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 (B)
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦，顺次连接各点得到的多边形是__正六边形__．
命题角度2 与正多边形有关的计算
正多边形问题中常涉及求正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积等．
【例2】(1)正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(A)
A．3∶2∶1 B．4∶3∶2
C．4∶2∶1 D．6∶4∶3
(2)同圆的内接正三角形的面积与内接正六边形的面积之比是(B)
A．1∶ eq \r(2) B．1∶2 C． eq \r(2)∶ eq \r(3) D．1∶3
(3)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的长度分别为__3 eq \r(2)，3__．
命题角度3 画正多边形
圆内接正多边形的两种画法：(1)用量角器等分圆周法作正多边形；(2)用尺规作图法作特殊正多边形．
【例3】利用手中的工具求作一个边长为3 cm的正六边形．(不写作法)
解：
eq \(\s\up7(),\s\d5(图①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图②))
高效课堂 教学设计
1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．
2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．
▲重点
探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．
▲难点
探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．
◆活动1 新课导入
1．前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？
2．谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？
3．正多边形和圆有什么关系呢？

◆活动2 探究新知
1．教材P161.
提出问题：
(1)如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
(2)各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？
(3)正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？填空：
(4)正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P162 例．
提出问题：
(1)例题中正多边形的中心角是如何计算的？
(2)例题中正多边形的面积是如何计算的？
学生完成并交流展示．
3．教材P163.
提出问题：
(1)如何画正多边形？
(2)画正三角形、正方形还有哪些方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的正多边形就是这个圆的__内接正多边形__，这个圆叫作这个正多边形的__外接圆__．
2．正多边形的__外接圆的圆心__叫作正多边形的中心．
3．__外接圆的半径__叫作正多边形的半径．
4．正多边形每一边所对的__圆心角__叫作正多边形的中心角．
5．__中心__到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．
解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下：
在⊙O中，∵ eq \(AB,\s\up8(︵))＝ eq \(BC,\s\up8(︵))＝ eq \(CD,\s\up8(︵))＝ eq \(DE,\s\up8(︵))＝ eq \(EA,\s\up8(︵))，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， eq \(BCE,\s\up8(︵))＝ eq \(CDA,\s\up8(︵))＝3 eq \(AB,\s\up8(︵))，
∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是正五边形．
例2 已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．
解：如图．
∵∠AOB＝360°÷6＝60°，又OA＝OB，
∴△OBA是等边三角形．∴AB＝OA＝R.
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝ eq \f(1,2)R.
在Rt△OAM中，OM＝ eq \r(R2－(\f(1,2)R)2)＝ eq \f(\r(3),2)R.
∴S正六边形＝6S△OBA＝6× eq \f(1,2)AB·OM＝3R· eq \f(\r(3),2)R＝ eq \f(3\r(3),2)R2.
练习
1．教材P164 练习第1，2题．
2．正三角形的边心距、半径和高的比为( D )
A．1∶2∶ eq \r(3) B．1∶ eq \r(2)∶3
C．1∶ eq \r(2)∶ eq \r(3) D．1∶2∶3
3．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ eq \r(3) cm，则它的中心角∠AOB＝__60°__，边长AB＝__2__cm，正六边形的面积S＝__6 eq \r(3)__cm2.
◆活动5 课堂小结
1．正多边形与圆的关系．
2．正多边形的半径、中心角、边长、边心距的计算及其之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
1．作业布置
(1)教材P164～165 习题30.3第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n