人教版（2024）九年级上册（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.3 正多边形与圆精品单元测试练习

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一、选择题（每题3分，共24分）
1. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的公共点个数为（________）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无法确定
2. 下列说法正确的是（________）
A. 圆的切线垂直于圆的任意一条半径
B. 圆的切线垂直于过切点的半径
C. 垂直于半径的直线一定是圆的切线
D. 过圆心的直线一定是圆的切线
3. 下列直线中，是⊙O的切线的是（________）
A. 过⊙O内一点的直线
B. 垂直于半径的直线
C. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
D. 过圆心且垂直于半径的直线
4. PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=70°，则∠APO的度数为（________）
A. 35° B. 70°
C. 40° D. 20°
5. 下列说法正确的是（________）
A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形的外心到三角形三条边的距离相等
C. 三角形的内心是三条角平分线的交点，到三条边的距离相等
D. 三角形的外心一定在三角形内部
6. 已知△ABC的周长为24，它的内切圆半径为2，则△ABC的面积为（________）
A. 12 B. 24
C. 48 D. 96
7. 下列说法正确的是（________）
A. 各边相等的多边形是正多边形
B. 各角相等的多边形是正多边形
C. 各边相等且各角相等的多边形是正多边形
D. 菱形各边相等，所以菱形一定是正多边形
8. 若正六边形的边心距为3，则它的半径为（________）
A. 3
B. 2
C. 23
D. 3
二、填空题（每题2分，共16分）
1. 已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（________）。
2. 经过半径的（________）并且（________）于这条半径的直线是圆的切线。
3. 从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B。若PA=4，则PB=（________）；若∠APB=60°，则∠APO=（________）。
4. 在△ABC中，∠A=80°，点I是△ABC的内心，则∠BIC=（________）。
5. 一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数为（________），每个内角的度数为（________）。
6. 半径为4的圆的内接正六边形的边心距为（________）。
7. 圆内接矩形的四个角都等于90°，但它（________）（填“是”或“不是”）正多边形。
8. 已知⊙O的半径为6，若直线l与⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（________）。
三、作图题（每题6分，共12分）
1. (6分) 用直尺和圆规作出给定三角形的内切圆，写出主要作法并保留作图痕迹。
用直尺和圆规作出这个三角形的内切圆，写出主要作法并保留作图痕迹。
2. (6分) 用直尺和圆规作出给定圆的内接正六边形，写出主要作法并保留作图痕迹。
用直尺和圆规作出给定圆的内接正六边形，写出主要作法并保留作图痕迹。
四、解答题（每题8分，共48分）
1. (8分) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E。求证：DE是⊙O的切线。
2. (8分) 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，PA=3。（1）求∠AOB的度数；（2）求⊙O的半径。
3. (8分) 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=15，CA=14。求AF、BD、CE的长。
4. (8分) 某公园计划在一块半径为6m的圆形空地上修建一个正六边形花坛，使正六边形的六个顶点都在圆形空地的边界上（即花坛内接于圆形空地）。（1）求花坛的边长；（2）求花坛的面积（结果保留一位小数）；（3）花坛周围（正六边形与圆之间的区域）要铺设草坪，求草坪的面积（π取3.14，结果保留一位小数）。
5. (8分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。以点C为圆心、r为半径作⊙C。（1）求点C到斜边AB所在直线的距离d；（2）当r为何值时，⊙C与斜边AB所在直线相切？（3）当r为何值时，⊙C与斜边AB所在直线有两个公共点？（4）当r为何值时，⊙C与线段AB有两个公共点？
6. (8分) 如图，在△ABC中，∠A=50°。（1）若I是△ABC的内心，求∠BIC的度数，并写出推导过程；（2）若O是△ABC的外心，求∠BOC的度数；（3）结合（1）（2）的结果，从“交点”和“到三边（或三个顶点）的距离”两个方面说一说三角形的内心与外心有什么不同。
参 考 答 案
选择题
第1题：A
【解析】圆心到直线的距离d=6大于半径r=5，直线l与⊙O相离，没有公共点。
第2题：B
【解析】由切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于“任意一条半径”的直线（A）与只“垂直于半径”的直线（C）都不满足切线判定，过圆心的直线（D）与圆相交。
第3题：C
【解析】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可。B缺“经过半径的外端”，D中直线过圆心、与圆相交，A不过圆上点，均不是切线。
第4题：A
【解析】由切线长定理，OP平分两条切线的夹角，所以∠APO=12×70°=35°。选B是把∠APO误当作∠APB。
第5题：C
【解析】内心是三条角平分线的交点，到三边的距离相等；到三个顶点距离相等的是外心，外心的位置随三角形形状变化（锐角在内部、直角在斜边中点、钝角在外部）。
第6题：B
【解析】连接内心与三个顶点，由面积公式S=12lr得S=12×24×2=24。选C是漏掉了12。
第7题：C
【解析】正多边形必须同时满足各边相等、各角相等。菱形各角不一定相等，矩形各边不一定相等，都不是正多边形。
第8题：B
【解析】正六边形边心距等于半径的32倍，即32R=3，解得R=2。
填空题
第1题：相交
【解析】d=40）。答：∠AOB=120°，⊙O的半径为3。
【解析】思路：见到切线先连圆心与切点得垂直，再由切线长定理得到角平分线，把∠AOB与半径都放进含30°角的直角三角形中求解。数学思想：数形结合。由教师复核书写过程。
【2分】连接OA、OB、OP，由切线性质得OA⊥PA、OB⊥PB
【2分】由切线长定理得OP平分∠APB，∠APO=30°
【2分】求得∠AOP=∠BOP=60°，∠AOB=120°
【2分】在Rt△OAP中用30°直角三角形性质与勾股定理求出半径3；等价方法同样给分
第3题：解：∵⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴由切线长定理得 AF=AE，BD=BF，CE=CD。设AF=AE=x，则 BD=BF=AB−AF=13−x，CE=CD=CA−AE=14−x。∵点D在BC上，BC=15，∴BD+CD=BC，即 (13−x)+(14−x)=15，解得 x=6。∴AF=6，BD=13−6=7，CE=14−6=8。答：AF=6，BD=7，CE=8。
【解析】思路：按顶点分组写出三组切线长相等（同一顶点出发的两段相等），设一个未知数表示六段，再由一条边建立方程。注意BD与CD不是从同一顶点出发的切线，不能直接相等。数学思想：方程思想。
【2分】由切线长定理正确写出三组切线长相等
【2分】设AF=x并用x正确表示BD、CE
【2分】由BD+CD=BC正确列出方程
【2分】解方程并正确回答三线段长；等价方法同样给分
第4题：解：设圆形空地的圆心为O，正六边形花坛的顶点依次为A、B、C、D、E、F。（1）正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60°。连接OA、OB，则OA=OB=6m。在△AOB中，∵OA=OB且∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=6m，即花坛的边长为6m。（2）设OG为边心距（G为AB的中点），则OG⊥AB。在Rt△AOG中，AG=12AB=3m，OA=6m，∴OG=OA2−AG2=36−9=33（m）。花坛面积S=12×周长×边心距=12×(6×6)×33=543≈93.5（m²）。（3）圆形空地面积=π×6²≈36×3.14=113.04（m²），草坪面积=113.04−93.53≈19.5（m²）。答：花坛边长为6m，花坛面积约93.5m²，草坪面积约19.5m²。
【解析】思路：把正六边形看成圆的内接正多边形，中心角60°把每个分割三角形变成等边三角形，边心距用勾股定理求出，面积用“半周长×边心距”计算。注意分割三角形的高是边心距而不是半径。数学思想：转化化归、数形结合。
【2分】求中心角60°，判断△AOB为等边三角形得边长6
【2分】用勾股定理求边心距33
【2分】用面积公式求花坛面积543≈93.5
【2分】圆面积减花坛面积求草坪面积19.5；等价方法同样给分
第5题：解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为F，则CF=d。在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=62+82=10。由面积法：S△ABC=12·AC·BC=12·AB·d，∴6×8=10d，d=4.8。（2）⊙C与AB所在直线相切，即d=r，故r=4.8。（3）⊙C与AB所在直线有两个公共点，即相交，d4.8。（4）垂足F分AB为AF=AC2AB=3610=3.6，FB=6.4。⊙C与AB的两个交点关于F对称，交点都落在线段AB上，需两个交点到F的距离t=r2−4.82≤AF=3.6，即 r²−4.8²≤3.6²，解得 r≤6；结合r>4.8（排除相切），得 4.84.8；线段AB有两个公共点时4.84.8
【4分】线段情形：由交点条件得r≤6并写出4.8