初中人教版（2024）30.3 正多边形与圆同步测试题

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知识点一 正多边形的相关概念
正多边形的外接圆：一般地，用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
即学即练
知识点二 正多边形的相关计算
1）内角：正n边形的每个内角和为_______________.
2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为_______________.
3）周长：正n边形的周长.
4）面积：正n边形的面积.
5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为
即学即练
1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形
2．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·浙江宁波·二模）如图，正边形内接于，点，是正边形的两个相邻顶点，点是异于，的一个顶点，若，则为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______．

题型01 基础概念的辨析
典｜例｜精｜析
例1．（25-26九年级上·浙江·单元复习）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角
D．正多边形外接圆的半径是它的半径
2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
3．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
4．（2021·四川遂宁·一模）下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
题型02 已知边数求中心角/内角
典｜例｜精｜析
例2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）边长为的正六边形中心角度数是________，内角度数是________，边心距是________．
2．（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______．
3．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______．
题型03 已知中心角求边长
典｜例｜精｜析
例3．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________．
2．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有_____条．
题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径
典｜例｜精｜析
例4．（23-24九年级上·云南昭通·期末）圆内接正四边形的边长为，则它的边心距等于___________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为_______．
2．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________．
3．（2026·安徽宿州·三模）有一正六边形的内切圆半径为，则与这个正六边形的外接圆半径之比为___________．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______．
题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长
典｜例｜精｜析
例5．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ）
A．B．3C．2D．
2．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为_______．
3．（20-21九年级上·湖南长沙·期末）在半径为的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
题型06 正多边形周长计算
典｜例｜精｜析
例6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于___________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____．
2．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留）
3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ____________________．
4．（2023·吉林松原·二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为，则图中阴影部分图形的周长是______（结果保留）．

题型07 正多边形面积计算
典｜例｜精｜析
例7．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）有一个地基是边心距为的正六边形凉亭，则这个地基的面积为_____．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，设的半径为，若用的外切正六边形的面积S来近似地估算的面积，则_____．
2．（2026·陕西汉中·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，的半径为，则___________．（结果保留和根号）
3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（ ）
A．B．3.14C．3.13D．3
4．（2026·山西太原·二模）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（ ）
A．B．C．D．
题型08 作图问题
典｜例｜精｜析
例8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空：
(1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）
(2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动：
仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置；
(2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置；
(3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置．
2．（24-25九年级上·全国·暑假作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)画出的内接正．
(2)在上画出、两点，使得．（画一种即可）
3．（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
4．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径．
步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D．
步骤二：以为半径，在上依次截取．
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形．
动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹．
题型9 正多边形与圆综合
典｜例｜精｜析
例9．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形．
(1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示）
(2)圆弧三角形运动时有何特性呢？
①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（ ）
A． B． C． D．
②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点．
(3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·江西宜春·二模）如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图．
(1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形．
(2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形．
2．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．
请回答以下问题：
(1)______的函数（填“是”或“不是”）
(2)在中，，，则______；
(3)在中，，，则______；
(4)在中，，，则______；
(5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______；
(6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______；
3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）综合与实践：
广西灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，荣获国家地理标志保护．请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题．
任务1：求荔枝年产量的平均增长率；
任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），寓意“六合甜美”．请直接写出此时纸盒的底面正六边形的边长是多少．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）
5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示：
(1)通过计算（结果保留根号与）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______．
(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．中心
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
充分理解正多边形与圆的关系，结合正多边形知识和圆的性质解决问题
解决此类题时，一般作出圆内接正多边形的半径和圆心到正多边形一边的垂线段，构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距、边长等，再利用正多边形的相关公式求出面积.
信息及素材
素材一
在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝年产量是5000千克，2025年达到了7200千克，年增长率基本相同．
素材二
荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖．
素材三
市场调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒．