2026-2027学年九年级数学上册第30章直线和圆的位置关系单元测试卷人教版(含解析)

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2026-2027学年九年级数学上册第30章直线和圆的位置关系单元测试卷人教版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则它的内切圆⊙O的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 2．（3分）圆的半径为4cm，圆心与直线上某一点距离为4cm，则直线与圆的位置关系不可能是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（3分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠C＝25°，则∠A为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．（3分）下列直线中，一定是圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．垂直于圆的半径的直线 C．与圆心的距离等于半径的直线 D．经过圆的直径一端的直线 5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 6．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，PA、PB分别与CD交于点C、D，若PA＝10，则△PCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 7．（3分）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子（C60）中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形ABCDEF中，连接BE，若BE＝18，则正六边形ABCDEF的边长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（3分）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的弧长为（　　） A． B． C．3π D．2π 9．（3分）如图，点O，I分别是△ABC的外心、内心，连接OB，IA．若∠BAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 10．（3分）如图，AB为直径，点C，D，E都在半圆O上，设AE＝DE＝x，，AB＝2y，则y与x之间的函数关系为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 12．（3分）若⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则直线AB与⊙O的位置关系是　 　 ．（填“相交”、“相切”或“相离”） 13．（3分）如图，⊙O是地球示意图，其中CD表示赤道，EF、AB分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝23.5°．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬31.5°（∠POD＝31.5°）．冬至日正午时，太阳光线MB所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角∠NPQ（即平行于MB的光线NP与⊙O的切线PQ所成的锐角）的大小为　 　 ． 13．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，点C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝20，则△PDE的周长为　 　 ． 14．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点．若AD＝2，BC＝6，则△ABC的周长为　 　 ． 15．（3分）正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF如图摆放，则∠BCF＝　 　 °． 16．（3分）科学家发现阳苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF﹣∠COD的度数为　 　 ． 17．（3分）如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝x°，∠O＝y°，若，则2y﹣x＝　 　 ． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C'D'第一次与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F，若BF＝8，则CD的长为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（10分）若一个正多边形的内角和比外角和多720°． （1）求这个多边形是几边形？ （2）这个正多边形每个内角的度数为多少？ 20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于点D，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC＝∠D＝60°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若BC＝4时，求劣弧AC的长． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD．分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点E，连接DE．下面是判定DE与⊙O位置关系的过程，请阅读并补充完整． 证明：由作图知，直线MN是线段CD的　 　 ． ∴ED＝　 　 ． ∴∠EDC＝∠C． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝　 　 ． ∵∠A＝90°， ∴∠OBD+∠C＝90°． ∴∠ODB+　 　 ＝90°． ∴∠ODE＝90°，即　 　 ． ∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O　 　 ． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）求证：DI＝DA． 24．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BD＝6，求AC的长． 25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接CE，若⊙O的半径为2，∠AEC＝30°，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．  参考答案 一．选择题 1．解：设△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、F、E，连接OE、OF， ∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∵AE＝AD，BF＝BD，CE＝CF， ∴CE+CF＝2CE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝AC+BC﹣（AD+BD）＝AC+BC﹣AB＝3+4﹣5＝2， ∴CE＝1， ∵∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴OE＝CE＝1， ∴⊙O的半径是1， 故选：A． 2．解：∵圆的半径为4cm，圆心与直线上某一点的距离为4cm， ∴直线与圆有交点 ∴当圆心与该点的连线垂直于该直线时，由切线的判定定理可知，直线与圆相切； 当圆心与该点的连线不垂直于该直线时，则由垂线段最短， 可知圆心到该直线的距离小于4，从而直线与圆相交． 故选：A． 3．解：OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上． ∴∠ADO＝90°， ∵∠C＝25°， ∴∠AOD＝2∠C＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠AOD＝40°． 故选：A． 4．解：A、与圆有1个公共点的直线是圆的切线，与圆有2个公共点的直线是圆的割线；故本选项错误； B、垂直于圆的半径且过此半径的外端点的直线是圆的切线；故本选项错误； C、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；故本选项正确； D、经过圆的直径一端且的直线且垂直于此直径的直线是圆的切线；故本选项错误． 故选：C． 5．解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2， ∵当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 综上所述，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5． 故选：A． 6．解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，PA、PB分别与CD交于点C、D， ∴AC＝CE，DE＝DB，PA＝PB， ∵△PCD的周长：PC+CD+PD，CD＝CE+DE，PA＝10， ∴PC+CD+PD＝PA+PB＝10+10＝20， 故选：D． 7．解：设正六边形ABCDEF的边长为a， ∵正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为60°， ∴正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， ∵B、E为正六边形的一组对顶点， ∴BE＝2a， ∵BE＝18， ∴2a＝18， ∴a＝9， 故选：B． 8．解：由题意得：正八边形的每个内角度数为， 所以根据弧长公式，得阴影部分的弧长为， 故选：A． 9．解：连接OC， ∵I是△ABC的内心，∠BAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠BAI＝70°， ∵点O是△ABC的外心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝140°， ∵OB＝OC， ∴， 故选：A． 10．解：延长ED，过点C作CM⊥ED的延长线于点M，连接OC，OE，CE， ∵CB＝CD，AE＝DE， ∴，， ∴， ∴， ∴所对的圆周角是45°， ∴∠CDE＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CDM＝180°﹣∠CDE＝180°﹣135°＝45°， ∴△CMD是等腰直角三角形， ∵， ∴CM＝MD＝x， ∵DE＝x， ∴ME＝MD+DE＝x+x＝2x， 在Rt△EMC中，由勾股定理得， ∵∠COE＝90°，OC＝OE， ∴△COE是等腰直角三角形， ∵AB＝2y， ∴OC＝OE＝y， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：A． 二．填空题 11．解：∵⊙O的半径r＝5，圆心O到直线AB的距离d＝2， ∴d＜r， ∴直线AB与⊙O的位置关系是相交． 故答案为：相交． 12．解：∵∠DOB＝23.5°，∠POD＝31.5°， ∴∠POB＝23.5°+31.5°＝55°， ∵PQ是⊙O的切线， ∴∠OPQ＝90°， ∴∠BQP＝90°﹣55°＝35°， ∵PN∥MB， ∴∠NPQ＝∠BQP＝35°， 故答案为：35°． 13．解：∵PA、PB分别⊙O相切于点A、B，且PA＝20， ∴PA＝PB＝20， ∵过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E， ∴DC＝DA，EC＝EB， ∴PD+DE+PE＝PD+DC+PE+EC＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝20+20＝40， ∴△PDE的周长为40． 故答案为：40． 14．解：设BF＝x，则CF＝6﹣x， ∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点， ∴AE＝AD＝2，BD＝BF＝x，CE＝CF＝6﹣x， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AD+BF+CF）＝2×（2+x+6﹣x）＝16， 故答案为：16． 15．解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCD＝＝108°， ∵△CDF是等腰直角三角形且∠CFD＝90°， ∴∠FCD＝∠FDC＝45°， ∴∠BCF＝∠BCD﹣∠FCD＝108°﹣45°＝63°， 故答案为：63． 16．解：在正六边形ABCDEF中，内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴每个内角的度数为， ∴∠BAF＝∠ABC＝120°， ∵AB＝AF， ∴△ABF为等腰三角形， ∴， ∴∠CBF＝∠ABC﹣ABF＝120°﹣30°＝90°， ∵在正六边形ABCDEF中， ∴， ∴∠CBF﹣∠COD＝﹣60°＝30°． 故答案为：30°． 17．解：∵点O是△ABC的内心， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠O＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∵∠O＝∠A， ∴∠A＝90°+∠A， ∴∠A＝45°， ∴∠O＝×45°＝112.5°， ∵∠A＝x°＝45°，∠O＝y°＝112.5°， ∴x＝45，y＝112.5， ∴2y﹣x＝2×112.5﹣45＝180， 故答案为：180． 18．解：连接OE，延长EO交BF于点M， ∵C'D'与⊙O相切， ∴∠OEC′＝90°， 又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'， ∴∠EMB＝90°， ∴BM＝FM， ∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′， ∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8， ∴四边形EMBC'为矩形， ∴ME＝8， 设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x， ∵OM2+BM2＝OB2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， ∴AB＝CD＝10． 故答案为：10． 三．解答题 19．解：（1）设这个正多边形的边数是n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝360°+720°， 解得n＝8， 即这个多边形是八边形； （2）正八边形每个内角的度数为（8﹣2）×180°÷8＝135°． 20．证明：如图，D是BC的中点，连接OD， ∴BD＝CD． ∵OA＝OB， ∴OD∥AC． 又∵DE⊥AC， ∴半径OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 21．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠D＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°， 即：BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接OC， ∵∠B＝∠D＝60°，且OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝4， ∵∠D＝60°， ∴∠AOC＝2∠D＝120°， ∴劣弧AC的长为＝． 22．证明：由作图知，直线MN是线段CD的垂直平分线． ∴ED＝EC． ∴∠EDC＝∠C． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB． ∵∠A＝90°， ∴∠OBD+∠C＝90°． ∴∠ODB+∠EDC＝90° ∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE． ∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切． 故答案为：垂直平分线；EC；∠ODB；∠EDC；OD⊥DE；相切． 23．（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABEC是⊙O内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°； （2）证明：连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，， ∴， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝DA； 24．（1）证明：如图，连接OD， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠DAE＝∠BAD． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA． ∴∠ODA＝∠DAE． ∴OD∥AE． ∵DE⊥AE， ∴∠ODE＝∠AED＝90°． ∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：如图，设OD与BC相交于点F． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°． 又∵∠ODE＝∠AED＝90°， ∴四边形CFDE是矩形． ∴OD⊥BC． ∵AB＝10，BD＝6， ∴． ∵点D为的中点， ∴， ∵∠BAD＝∠DAE＝∠DBF， ∴． ∵BD＝6， ∴． ∴． ∵OD∥AE，点O为AB的中点， ∴OF是△ABC的中位线． ∴． 25．（1）证明：连接OE交BC于点H， ∵点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴， ∴OE⊥BC， ∵EF∥BC，交AB的延长线于点F， ∴∠OEF＝∠OHB＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且EF⊥OE， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：∵EF∥BC，∠ABC＝∠AEC，且∠AEC＝30°， ∴∠F＝∠ABC＝∠AEC＝30°， ∵∠OEF＝90°，⊙O的半径为2， ∴∠EOB＝90°﹣∠F＝60°，OE＝2， ∴OF＝2OE＝4， ∴EF＝＝＝2， ∴S阴影＝S△FOE﹣S扇形BOE＝×2×2﹣＝2﹣， ∴阴影部分的面积是2﹣．