初中数学新人教版九年级上册30章专题14切线证明的常用方法作业课件（放映显示答案）（2026秋版）

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第三十章　直线与圆的位置关系专题14　切线证明的常用方法类型一　有切点，连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E. 求证：DE是☉O的切线.证明：如图，连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B. ∴∠ODB＝∠C. ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.(二)利用全等证垂直2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE. 求证：AB是☉O的切线.  证明：如图，连接OE，OB， ∴△BOE≌△BOC(SSS).∴∠BEO＝∠BCO. ∵∠BCO＝90°，∴∠BEO＝90°.∴OE⊥AB. ∵OE是半径，∴AB是☉O的切线.(三)利用勾股定理的逆定理证垂直3. 如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5.求证：BC是☉O的切线.证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，∴AM2＝ME2＋AE2.∴△AME是直角三角形.∴∠AEM＝90°.又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°.∴AB⊥BC. ∵AB为直径，∴BC是☉O的切线.证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，∴AM2＝ME2＋AE2.∴△AME是直角三角形.∴∠AEM＝90°.又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°.∴AB⊥BC. ∵AB为直径，∴BC是☉O的切线. 证明：如图，过点O作OD⊥AC于点D，连接OC. 在Rt△ABC中，由勾股定理易得AC＝5.证明：如图，过点O作OD⊥AC于点D，连接OC. 在Rt△ABC中，由勾股定理易得AC＝5.∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC，  即OD＝OB. 又∵OD⊥AC，∴AC是☉O的切线.  即OD＝OB. 又∵OD⊥AC，∴AC是☉O的切线.[针对训练]5. (2025·齐齐哈尔中考节选)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A. 求证：CD是☉O的切线.证明：如图，连接OC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB. 证明：如图，连接OC. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB. ∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠OCB＝90°.即∠OCD＝90°.∴OC⊥CD. ∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线.6. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.(1)求证：AB与半圆O相切；(1)证明：如图，连接OD，OA，作OH⊥AB于点H. (1)证明：如图，连接OD，OA，作OH⊥AB于点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC. 又∵OH⊥AB，∴OH＝OD. ∴AB与半圆O相切.(2)若CD＝4，CF＝2，求OC的长.(2)解：由(1)知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋42＝(OD＋2)2.∴OD＝3.∴OC＝5.(2)解：由(1)知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋42＝(OD＋2)2.∴OD＝3.∴OC＝5.7. 如图，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F，交BC于点G，且∠F＝2∠B. 求证：(1)DF是☉O的切线；证明：(1)如图，连接OC，则∠DOC＝2∠B. 证明：(1)如图，连接OC，则∠DOC＝2∠B. ∵∠F＝2∠B，∴∠DOC＝∠F. ∵EF⊥BD，∴∠D＋∠F＝90°.∴∠D＋∠DOC＝90°.∴∠OCD＝90°，即OC⊥DF. 又∵OC是☉O的半径，∴DF是☉O的切线.(2)FC＝FG. 证明：(2)∵∠OCD＝90°，∴∠OCF＝∠FCB＋∠OCB＝90°.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB. 又∵FE⊥OB，∴∠OBC＋∠EGB＝90°.∴∠FCB＝∠EGB. 又∵∠EGB＝∠FGC，∴∠FCB＝∠FGC. ∴FC＝FG. 证明：(2)∵∠OCD＝90°，∴∠OCF＝∠FCB＋∠OCB＝90°.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB. 又∵FE⊥OB，∴∠OBC＋∠EGB＝90°. ∴∠FCB＝∠EGB.又∵∠EGB＝∠FGC，∴∠FCB＝∠FGC. ∴FC＝FG.  (1)证明：如图，连接OC.   ∵E是OB的中点，∴OE＝BE. 在△OCE和△BFE中， ∴△OCE≌△BFE(SAS).∴∠OBF＝∠COE＝90°.∴OB⊥BF. ∵OB是半径，∴直线BF是☉O的切线.(2)若OB＝4，求BD的长. (2)解：∵OB＝OC＝4，△OCE≌△BFE，∴BF＝OC＝4，AB＝8.