初中北师大版（2024）第三章 图形的相似3 相似三角形判定定理的证明精品学案

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考 点 演 练
题型1 相似三角形的判定
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【变式1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED＝∠BB．ADAC=AEAB
C．AD•BC＝DE•ACD．∠ADE＝∠C
【变式2】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【变式3】如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．ABAP=ACABD．BPCB=ABAC
题型2 平行线分线段成比例
【典例1】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A．ADDB=DEBCB．BFBC=EFADC．AEEC=BFFCD．EFAB=DEBC
【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AB，CD上，且AD∥EF∥BC．若DF：DC＝1：3，AE＝6，则BE的长为（ ）
A．12B．6C．18D．16
【变式2】如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对B．只有方法2对
C．方法1，2都对D．方法1，2都错
【变式3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
过 关 验 收
1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．ABAD=ACAEB．∠B＝∠DC．ABAD=BCDED．∠C＝∠AED
2．如图，在△ABC中，P是边AC的中点．按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB于点D，交线段BC于点E；
②以点P为圆心，BD长为半径画弧，交线段AP于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G；
④作直线PG，交线段AB于点Q．
以下结论不一定成立的是（ ）
A．∠APQ＝∠B
B．∠BQP+∠C＝180°
C．△APQ与△ABC的相似比为1：2
D．△ABC∽△APQ
3．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝（ ）时，△ABC∽△CBD．
A．14B．12C．34D．1
4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．ADAC=DBBCD．AB2＝AD•AC
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别为AC、BD的中点，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下结论中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD；③MN＝2；④AB=43；⑤△BAD∽△COD，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
8．下列两个三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形
B．有一个角是30°的两个等腰三角形
C．两个等边三角形
D．两个面积相等的三角形
9．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列条件中：①AC2＝AP•AB；②∠ACP＝∠B；③∠APC＝∠ACB；④AB•CP＝AP•CB．能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③④
10．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．①组和②组的两个三角形都相似
B．①组和②组的两个三角形都不相似
C．只有①组的两个三角形相似
D．只有②组的两个三角形相似
12．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为 ．
14．如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB=65cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6）．
（1）当x＝ s时，△POQ的面积是8cm2；
（2）当x＝ s时，以P、O，Q为顶点的三角形与△AOB相似．
15．如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED，求证：△ABC∽△DEC．
16．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4，
求证：△CDB∽△CBA．
17．如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点．
（1）以上三人方法正确的有哪些 ．（填序号）
（2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC；
（3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，AC=6，求AP的长．
19．如图，AE，BF是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档AB，CD，EF互相平行．已知 AC＝50cm，AE＝75cm，DF＝20cm，那么BD的长为（ ）
A．50cmB．30cmC．60cmD．40cm
20．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（ ）
A．1.5B．4.5C．7.5D．10.5
21．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（ ）
A．325B．125C．2D．65
22．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，DE∥BC，下列结论正确的是（ ）
A．ADDB=DEBCB．AEAC=DEBCC．ADEC=AEDBD．ADAC=AEAB
23．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，①EDEA=EFEB；②DEBC=EFFB；③CFDF=BFBE；④BFBE=BCAE．其中正确的有 ．
24．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为2：1．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比．已知OD＝3，则AD的长为 ．
25．如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A，B，C．若AC=52cm，则AB的长是 cm．
26．阅读题
请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图（1），在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB：AC＝BD：CD．
下面是这个定理的部分证明过程：如图（2），过点C作CE//DA，交BA的延长线于E，
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图（3），已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决）
27．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．
28．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝3：2，FC＝2，AC＝6，求DE和CE的长．
29．如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F．
（1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ ；
（2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ ；
（3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ ；
（4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ ，并证明．
30．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADBD=13．
求：（1）ADAB；
（2）ECAC．
题型1 相似三角形的判定
题型2 平行线分线段成比例
解｜题｜知｜识
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
解｜题｜知｜识
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．