初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质教学设计及反思，共21页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●置疑导入 如图，你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么那么准吗？用篮球投篮，观察篮球的运动路线，思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律，怎样用数学规律来描述？
【教学与建议】教学：对抛物线实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：课件展示投篮路径，引导学生建立函数模型．
●归纳导入 (1)在二次函数y＝x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
(2)请你在图中用描点法画出二次函数y＝x2的图象．
观察函数解析式y＝x2，选择x的适当值，并计算相应的y值，完成下表：
在如图所示的平面直角坐标系中描点并用光滑曲线连接各点．
解：如图．
【归纳】二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴．
【教学与建议】教学：本节通过画二次函数y＝x2的图象，引入本节新课．建议：先留给学生动手画图的时间，然后教师引导学生分析二次函数y＝x2的性质．
命题角度1 抛物线的图象和性质
抛物线y＝ax2的对称轴、开口方向、增减性、最值、开口大小等．
【例1】(1)抛物线y＝ eq \f(1,3)x2，y＝－3x2，y＝－x2，y＝2x2的图象开口最大的是(A)
A．y＝ eq \f(1,3)x2 B．y＝－3x2 C．y＝－x2 D．y＝2x2
(2)已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－ eq \f(1,2)x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y1＞y2＞y3__．(用“＞”号连接)
命题角度2 二次函数y＝ax2的图象及其性质与几何综合
此类问题利用抛物线上的点的坐标特点及对称性，结合几何图形的性质解决．
【例2】如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AOB恒为等腰三角形，我们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝__2__．
命题角度3 综合考查二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b的图象及性质
二次函数y＝ax2的图象，图象特点及性质由a决定，一次函数y＝ax＋b的图象是一条直线，图象的特点及性质由a，b共同决定．函数的交点问题可用方程解决．
【例3】(1)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D)
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
(2)抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋2的两个交点坐标分别是A(m，4)，B(1，1)，则m＝__－2__．
汽车前灯中的数学
大家都知道汽车前照灯发出的光可以照亮车体前方的路况，使驾驶者可以在漆黑的夜晚安全地行车，保证视野清晰．如果你留心便会发现，汽车前灯后面的反射镜呈抛物线的形状．把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面，这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射距离很远的平行光束，又能发出较暗的、照射距离较近的光线．
我们都知道常规的前照灯主要由灯泡、反射镜和透镜三部分组成．明亮的光束是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯；而较暗的光线是由于光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，若把向上射出的光线遮住，车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．
由上面可知，汽车大灯反射镜射出的灯光是平行光束，汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，由抛物线的性质可知，经过反射镜的反射，能够沿着与抛物线的对称轴平行的方向发射出去平行光线，反之，与抛物线的轴平行的光线经旋转抛物面反射后，都聚集到抛物线的焦点上，这就是抛物线的光学性质，它被广泛应用于探照灯、汽车前灯、抛物面天线等方面．

高效课堂 教学设计
1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线的有关概念．
2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ax2的解析式．
3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．
▲重点
1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质．
2．能确定二次函数y＝ax2的解析式．
▲难点
1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质．
2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题．
◆活动1 新课导入
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条经过(0，b)的直线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__过原点的直线__．
2．描点法画出一次函数的步骤：分别为__列表__、__描点__、__连线__三个步骤．
3．我们把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函数叫作二次函数．
◆活动2 探究新知
1．教材P33～34.
提出问题：
(1)同学们回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
(2)对函数y＝x2，请完成下表：
(3)请描绘出表中各点，画出y＝x2的图象．
(4)你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P34 例1.
提出问题：
(1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝ eq \f(1,2)x2与y＝2x2的图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象．
(2)观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？
(3)你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P35 探究．
提出问题：
(1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－ eq \f(1,2)x2，y＝－2x2的图象吗？请同学们在草稿纸上尝试画出它们的图象．
(2)你画出的图象与图26.2－5中的图象相同吗？仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？
(3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线．我们把二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫作抛物线y＝ax2＋bx＋c.
2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__原点__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点．
3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而__减小__，当x＞0时，y随x的增大而__增大__；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而__增大__，当x＞0时，y随x的增大而__减小__．
◆活动4 例题与练习
例1 已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？
(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？
解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，
∴m的值为2或－4.
(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，
∴m＋2＞0，解得m＞－2，
∴m＝2.
(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，
∴m＋2＜0，解得m＜－2，
∴m＝－4.

例2 二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1，
∴点P的坐标为(1，1).
将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1.
(2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大.
练习
1．教材P35～36 练习第1，2题．
2．抛物线y＝3x2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；抛物线y＝－ eq \f(1,4)x2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__．
3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1__＜__y2.
4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是__0__．
◆活动5 课堂小结
1．如何画出函数y＝ax2的图象？
2．函数y＝ax2具有哪些性质？
1．作业布置
(1)教材P44 习题26.2第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝ eq \f(1,2)x2
…
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…