数学人教版（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质优秀导学案

这是一份数学人教版（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质优秀导学案学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
26.2.1 二次函数 y = ax2 的图象和性质
【学习目标】
1.通过画图，了解二次函数 y = ax²（a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上（或向下），掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题，
2.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式 y = ax²（a≠0）与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题.
学习重点：画出二次函数 y = ax²的图象，根据函数的图象分析其性质..
学习难点：用描点法准确画出二次函数的图象
【复习导入】
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
追问1：你是怎么想到的？
追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？


【合作探究】
探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质
问题1：二次函数 y = ax² + bx + c 定义中系数 a≠0，b、c 呢？
问题2：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的图象和性质？
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
(1) 自变量 x 的取值范围是什么？
(2) 函数值 y 的取值范围是什么？
(3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？可以猜测图象的对称性吗？
探究2：用“描点法”法作图
1. 列表：在 y=x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
(能用直线连接吗？)
思考：二次函数y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑)
(1) 你能描述图象的形状吗？
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
典例精析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．
思考
(1) 函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2) 当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
知识要点：对于抛物线 y = ax2 (a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，即 | a |越大，抛物线的开口越小.
归纳总结
练一练
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，
顶点是抛物线的最 点；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ；
点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________.
点 B(3，36) 关于对称轴的对称点的坐标是_________.

向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 16 (−3，36)
链接中考
1.已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( )
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1
C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
C
探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质
合作探究
小组讨论，如何归纳总结出下表？
想一想
(1) 在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象．
观察图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
(2) 当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，即 | a |越大，抛物线的开口越小.
问题 观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？
归纳总结
交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？
例2 已知二次函数y＝ax2.
若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.

当堂反馈
1.二次函数y＝12x2的图象的顶点坐标是( )
A.(1，0)B.(0，0)C.(－1，0)D.(0，12)
2.如果抛物线y＝(m－1)x2的开口向上，那么m的取值范围是( )
A.m＞1B.m≥1C.m＜1D.m≤1
3.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是( )
A.开口向下B.对称轴是y轴
C.都有最高点D.y随x的增大而增大
4.已知抛物线y＝ax2的图象如图所示，下列说法错误的是( )
A. a＜0B. y的最大值为0
C. 抛物线有最高点D. a越大，抛物线开口越小
5.已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 .
6.已知抛物线y＝ax2经过点A(－1，－3).
(1)判断点B(1，－3)是否在此抛物线上；
(2)若点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.
参考答案
探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质
操作与思考：
探究1：(1) 全体实数
(2) y≥0
(3) 相等. 如： x =±2 时， y = 4.
猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等.
探究2：解：列表如下：
描点，连线，如图所示.
思考：(1) 二次函数y = x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线y = x2 .
(2) 图象是轴对称图形.这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
(3)观察图象可以发现：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
(4)对称轴与抛物线的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0).
例1 解：列表如下：
描点、连线，如图所示：
思考
共同点是开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点也是抛物线的最
低点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小
（2）当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
归纳总结
练一练
1. 向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 16 (−3，36)
链接中考
1. C
探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质
合作探究
如图所示：
思考
（1）共同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小.
（2）当a＜0时，a越小，抛物线开口越小.
问题：从二次函数y = -x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，为 (0，0).
归纳总结
想一想：二次项系数互为相反数，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称.
例2 （1）< （2）＜ （3）y1＞y2＞y3
当堂反馈
1.B
2.A
3.B
4. D
5. m＜3 .
6.解：(1)∵点A(－1，－3)在抛物线上，
∴由对称性可知点B在此抛物线上.
(2)由题意得a＝－3，∴抛物线的解析式为y＝－3x2.
将点P(m，－6)代入，得－3m2＝－6，解得m1＝2，
m2＝－2，∴点P的坐标为(2，－6)或(－2，－6).
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
…
y = ax2
a＞0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
y = ax2
a＜0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
y = ax2
a＞0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…