人教版（2024）九年级上册（2024）27.3 实际问题与反比例函数优秀学案及答案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）27.3 实际问题与反比例函数优秀学案及答案，共10页。学案主要包含了轻松探究，深入探究，模型应用等内容，欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 根据实际问题列反比例函数关系式
【典例1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（ ）
A．y=x5000B．y=50003xC．y=5000xD．y=3500x
【答案】C
【解答】解：由题意得：y与x之间满足的关系为y=5000x．
故选：C．
【变式1】面积是160平方米的长方形，它的长y米，宽x米之间的关系表达式是（ ）
A．y＝160xB．y=160xC．y＝160+xD．y＝160﹣x
【答案】B
【解答】解：根据题意：
y=160x，
故选：B．
【变式2】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=400xB．y=14xC．y=100xD．y=1400x
【答案】C
【解答】解：设y=kx，
400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，
∴k＝0.25×400＝100，
∴y=100x．
故选：C．
【变式3】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设P=kV，
由题意知120=k0.8，
所以k＝96，
故P=96V；
（2）当V＝1m3时，P=961=96（kpa）；
（3）当P＝140kPa时，V=96140≈0.69（m3）．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
题型2 反比例函数的应用
【典例1】钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率f（Hz）是琴弦张力T（N）的反比例函数．已知当张力T＝200N时，频率f＝220Hz（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？（ ）
A．增大至150NB．减小至150N
C．增大至100ND．减小至100N
【答案】D
【解答】解：设f与T之间的函数关系式为f=kT（k为常数，且k≠0），
将T＝200，f＝220代入f=kT，
得220=k200，
解得k＝44000，
∴f与T之间的函数关系式为f=44000T，
当f＝440时，得440=44000T，
解得T＝100，
∴应该将张力减小至100N．
故选：D．
【变式1】密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值ρ，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出ρ与h的关系图象，如图2所示．下列说法正确的是（ ）
A．ρ可能为0
B．若h1＜h3＜h2，则ρ1＜ρ3＜ρ2
C．密度ρ均匀增加时，深度h的变化量相同
D．密度计的刻度线越往上，对应的密度值越小
【答案】D
【解答】解：A．由图可知，ρ不可能为0，该选项说法错误，不合题意；
B．若h1＜h3＜h2，则ρ1＞ρ3＞ρ2，该选项说法错误，不合题意；
C．密度ρ均匀增加时，深度h的变化量不相同，该选项说法错误，不合题意；
D．密度计的刻度线越往上，h越大，对应的密度值ρ越小，该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．该蓄电池的电压是36V
B．当R＝10时，I＝3.6
C．当R＜9时，I＜4
D．当电阻R（Ω）越大时，蓄电池的电流I越小
【答案】C
【解答】解：A、设反比例函数的解析式为：I=UR（R＞0），
由图得：（9，4）在函数图象上，
∴4=U9，
∴U＝36，
∴该蓄电池的电压是36V，
故A不符合题意；
B、∴反比例函数的解析式为：I=36R，
当R＝10时，I=3610=3.6，
故B不符合题意；
C、当R＜9时，则I＞399=4，
故C符合题意；
D、∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴当电阻R（Ω）越大时，蓄电池的电流I也越小，
故D不符合题意．
故选：C．
【变式3】笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）与电磁波的频率f（单位：MHz）之间为反比例函数的关系，已知当波长λ＝30m时，频率f＝10MHz．
（1）求电磁波的频率f关于电磁波的波长λ的函数表达式；
（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．
【答案】（1）f=300λ(λ＞0)；
（2）4m．
【解答】解：（1）设频率f关于电磁波的波长λ的函数解析式为f=kλ(k≠0)，
把点（30，10）代入得：k30=10，
解得：k＝300，
∴电磁波的频率f关于电磁波的波长λ的函数表达式f=300λ(λ＞0)；
（2）当f＝75MHz时，75=300λ，
解得λ＝4．
答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．
题型3 反比例函数综合题
【典例1】如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y=kx过点F，交AB于点E，连接EF．若BFOA=23，S△BEF＝4，则k的值为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】A
【解答】解：如图，过F作FC⊥OA于C，
∵BFOA=23，
∴OA＝3OC，BF＝2OC
∴若设F（m，n）
则OA＝3m，BF＝2m
∵S△BEF＝4
∴BE=4m
则E（3m，n−4m）
∵E在双曲线y=kx上
∴mn＝3m（n−4m）
∴mn＝6
即k＝6．
故选：A．
【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→C方向运动，到达C时停止运动，设运动时间为t秒（0＜t＜10），过点P作PQ⊥BC于点Q，线段PQ的长度与线段BQ的长度之和为y1，线段BC长度与点P运动的路程之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时t的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
【答案】（1）y1=75t(0＜t≤5)15t+6(5＜t＜10)，y2=8t(0＜t＜10)；
（2）图象见详解，在0＜t＜10范围内函数y1的值随x的增大而增大，在0＜t＜10范围内函数y2的值随x的增大而减小；
（3）0＜t＜2.4．
【解答】解：（1）等腰△ABC中，BC＝8，AB＝AC＝5，
过点A作AD⊥BC交BC于点D，
当0＜t≤5时，点P沿B→A方向运动，如图：
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，BD=DC=12BC=12×8=4，
AD=AB2−BD2=52−42=3，
∵AD⊥BC，PQ⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴△BPQ∽△BAD，
∴BPBA=PQAD=BQBD，
又∵AD＝3，BD＝4，BP＝t，AB＝5，
∴t5=PQ3=BQ4，
∴PQ=35t，BQ=45t，
∴y1=PQ+BQ=35t+45t=75t；
当5＜t＜10时，点P沿A→C方向运动，如图：
此时△CPQ∽△CAD，
∴CPCA=PQAD=CQCD，
又∵AD＝3，CD＝4，CP＝10﹣t，AC＝5，
∴10−t5=PQ3=BQ4，
∴PQ=35(10−t)，CQ=45(10−t)，BQ=8−45(10−t)，
∴y1=PQ+BQ=35(10−t)+8−45(10−t)=15t+6，
∵线段BC长度与点P运动的路程之比为y2，
∴y2=8t．
综上得y2=8t(0＜t＜10)，y1=75t(0＜t≤5)15t+6(5＜t＜10)；
（2）函数图象如图所示：
观察图象可得在0＜t＜10范围内函数y1的值随x的增大而增大，在0＜t＜10范围内函数y2的值随x的增大而减小；
（3）根据函数图象：当y1＜y2时，0＜t＜2.4（因为误差不超过0.2所以右侧可以写成2.2，2.3，2.5）．
【变式2】如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在线段AB上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣1，y=−3x；
（2）P（0，2）；
（3）存在，M(−1+23，0)或M(3+31，0)．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交A（a，3），B（3，b）两点，
∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数y=kx上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y=−3x；
（2）连接CP、PD，作PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，
设P（x0，﹣x0+2），
∵A（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∵B（3，﹣1），
∴D（3，0），
∴S△ACP=12AC×(xP−xA)=12×3×(x0+1)，S△BDP=12BD×(xB−xP)=12×1×(3−x0)．
∵S△ACP＝S△BDP，
∴12×3×(x0+1)=12×1×(3−x0)，
∴x0＝0或x0＝﹣3（不合题意，舍去），
∴P（0，2）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，
∴m＝0（舍去）；
②当MA＝AB时，（m+1）2+9＝32，
∴m=−1+23或m=−1−23（舍去），
∴M(−1+23，0)；
③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，
∴m=3+31或m=3−31（舍去），
∴M(3+31，0)；
即：满足条件的M(−1+23，0)或M(3+31，0)．
【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x﹣1的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于点A（2，1）和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点B坐标；
（3）直线AB上有一动点M，是否存在点M，使得△ODM与△ODA相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=2x，一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）点B坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）点M（14，−34）．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x﹣1的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于点A（2，1），
∴1＝2k1﹣1，k2＝2×1，
∴k1＝1，k2＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x，一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）由题意可得：y=x−1y=2x，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）∵一次函数解析式为y＝x﹣1与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴点C（1，0），点D（0，﹣1），
∵点D（0，﹣1），A（2，1），点O（0，0），
∴AO=5，OD＝1，AD＝22，
∵OC＝OD＝1，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴∠ODB＝135°≠∠AOD，
∴点M只能在射线DA上，
∵△ODM与△ODA相似，且∠ADO＝∠ODM＝45°，
∴ODAD=DMOD，
∴122=DM1
∴DM=24，
设点M坐标为（x，x﹣1），
∴24=(x−0)2+(x−1+1)2，
∴x=14，
∴点M（14，−34）．
过 关 验 收
某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A．I=2RB．I=3RC．I=5RD．I=6R
【答案】D
【解答】解：设反比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
由图象可知，函数经过点B（3，2），
∴2=k3，得k＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x．
即用电阻R表示电流I的函数解析式为I=6R．
故选：D．
已知圆柱的侧面积是10πcm2，若圆柱底面半径为rcm，高为hcm，则h与r的函数关系式是 h=5r（r＞0） ．
【答案】h=5r（r＞0）
【解答】解：由题意得：h与r的函数关系式是：h=10π2πr=5r，半径应大于0．
故本题答案为：h=5r（r＞0）．
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
则y与x之间的函数关系式为 y=60x ．
【答案】y=60x
【解答】解：因为x与y的乘积是相同的，所以可知y与x成反比例，
设y=kx，
将（3，20）代入可得：20=k3，
解得：k＝60．
则y与x之间的函数关系式为y=60x．
故答案为：y=60x．
如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 y=400x
C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
【答案】D
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为100−2020=4（min），故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y=kx，
由题意得，点（4，100）在反比例函数y=kx的图象上，
∴4=k100，
解得：k＝400，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x，故B选项正确，不符合题意；
令y＝20，则400x=20，
∴x＝20，
∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min，
水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为y=20x+20(0≤x≤4)y=400x(4＜x≤20)，
上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10，
∴当x＝10时，y=40010=40，
即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40，
解得：x＝1，
在降温过程中，水温为40℃时，40=400x，
解得：x＝10，
∵10﹣1＝9，
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0连R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U0越小，R1越大
B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω
C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg
【答案】D
【解答】解：∵图2中U0随R1的增大而减小，
∴在一定范围内，U0越大，R1越小．
故A正确，不符合题意；
∵图2中的图象经过点（30，4），
∴当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω．
故B正确，不符合题意；
∵当m＝95时，R1＝﹣2m+240＝50Ω，U0＝3V时，对应的是50Ω，
∴踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V．
故C正确，不符合题意．
∵R1＝﹣2m+240，
∴R1随m的增大而减小．
∵R1的最小值为10，
∴m的最大值为115．
∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．
故D错误，符合题意．
故选：D．
为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p（kPa）是气体体积V（ml）的反比例函数，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ）
A．这一函数的表达式为p=6000V
B．当气体体积为40ml时，气体的压强值为150KPa
C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小
D．若注射器内气体的压强不能超过400KPa，则其体积V不能超过15ml
【答案】D
【解答】解：A．设p=kV，由题意知200=k30，
所以k＝6000，即p=6000V，故该选项正确，不符合题意；
B．当V＝40ml时，p=600040=150，
所以，气球内气体的气压是150KPa，故该选项正确，不符合题意；
C．由函数图象可知，气体的压强p随着气体体积V增大而减小，可知该选项正确，不符合题意；
D．当p＝400KPa时，V=6000400=15，
所以，为了安全起见，气体的体积应不小于15ml，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：I=UR，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为80N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为14Ω
【答案】D
【解答】解：A．由图3得：当h＝0时，p＝0，故此项说法正确；
B．当报警器刚好开始报警时，0.3=610+R2，解得R2＝10Ω，由图2可求得：R2=800F，∴10=800F，解得F＝80N，故此项说法正确；
C．当报警器刚好开始报警时，由上得F＝80N，则有80＝p×0.01，
∴p＝8kPa，由图3求得p＝10h，8＝10h，解得：h＝0.8，故此项说法正确；
D．当报警器刚好开始报警时：0.3=6R1+R2，
∴R1+R2＝20Ω，
当h＝1时，p＝10×1＝10kPa，
∴F＝10000×0.01＝100N，R2=800100=8Ω，
∴R1＝20﹣8＝12Ω，故此项说法错误．
故选：D．
如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R2，R2与踏板上人的质量m之间的函数为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻R1的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0∼0.2安．下列说法错误的是（ ）
A．用m表示I为：I=6140−m
B．电子体重计可称的最大质量为120千克
C．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大
D．当电流表显示0.1安时，踏板上人的质量为80千克
【答案】B
【解答】解：根据题意和反比例函数的性质逐项分析判断如下：
根据题意，电路中的总电阻R总＝R1+R2，且R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），R1＝40（Ω），
故R总＝280﹣2m，
根据I=UR，得I=12280−2m=6140−m，
故A正确，不符合题意；
根据题意，当I＝0.2A时，U2＝12﹣IR1＝4（v），此时R2最小，m最大，
R2=40.2=20（Ω），
由R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），得：m=240−202=110（km），
故B错误，符合题意；
根据I=UR1+R2=1240+R2，电流越大，R2越小，根据图象知R2随m的增大而减小，
即电流随m的增大而增大，
故C正确，不符合题意；
当I＝0.1A时，U2＝12﹣IR1＝8（v），根据I=UR得R2=80.1=80（Ω），
由R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），得m=240−402=80（km），
故D正确，不符合题意；
故选：B．
如图1，取一根长120cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O30cm处挂一个重10N的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（ ）
A．F随L的增大而减小
B．当L＝30cm时，F＝10N
C．若原物体重量增加5N，木杆保持水平时，F与L的关系式为F=350L
D．若弹簧测力计的示数F不超过10N，则L的取值范围是30≤L≤60
【答案】C
【解答】解：根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断如下：
∵FL＝30×10＝300，
∴F=300L，
∴当L＞0时，F随L的增大而减小；故选项A正确，不符合题意；
当L＝30cm时，F=30030=10N；故选项B正确，不符合题意；
当原物体重量增加5N，则：FL＝30×15＝450，则：F=450L；故选项C错误，符合题意；
当F＝10时，L=30010=30，
∵F随L的增大而减小，L最大为：1202=60，
∴弹簧测力计的示数F不超过10N，则L的取值范围是30≤L≤60；故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，则这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是 F=240l ．
【答案】F=240l．
【解答】解：∵杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，
∴阻力和阻力臂的乘积为：800×0.3＝240，
∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴240＝动力×动力臂，
∴这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是F=240l，
故答案为：F=240l．
数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度ρ＝ 0.8 g/cm3．
【答案】0.8
【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为h=kρ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为h=20ρ，
把h＝25 代入h=20ρ，得25=20ρ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
故答案为：0.8．
如图，路政工人要用撬棍撬动一块落石，已知阻力为1800N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（图中撬棍本身所受的重力略去不计）
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）当动力臂长为1.8m时，撬动石头至少需要多大的力？
【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=900x；
（2）当动力臂长为1.8m时，撬动石头至少需要500N的力．
【解答】解：（1）由题意得xy＝1800×0.5，
化简得y=900x，
故y关于x的函数关系式为y=900x．
（2）由（1）可知y关于x的函数关系式为y=900x，
当x＝1.8时，y=9001.8=500．
答：当动力臂长为1.8m时，撬动石头至少需要500N的力．
在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数y=12x+32是矩形ABCD的“友好函数”．
（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数y=kx(x＞0)经过点B，求反比例函数y=kx(x＞0)的解析式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2=kx(x＞0)经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”．
①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形ABCD的周长为L，求L关于k的函数解析式．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y=6x；该函数是矩形ABCD的“友好函数”；
（2）①163；
②L=6−3k(0＜k＜2)3k−6(k＞2)．
【解答】解：（1）该函数为矩形ABCD的“友好函数”；理由如下：
反比例函数y=kx(x＞0)经过点B，将点B（6，1）代入得：
1=k6，
解得：k＝6，
∴反比例函数的表达式为：y=6x，
当x＝2时，得：y=62=3，
∴点D在反比例函数图象上，
∴该函数为矩形ABCD的“友好函数”；
（2）①正比例函数y1＝ax经过点A，将点A（1，2）代入得：a＝2，
∴正比例函数表达式为y＝2x，
∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”，
∴点C在直线y＝2x上，
设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m），
∴AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2；
∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
∴AE＝AB＝m﹣1，CE＝BC＝2m﹣2，∠BCO＝∠ECO，
延长BA交y轴于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，BC∥AD，
∵AD∥y轴，
∴∠EFA＝∠DAB＝90°，BC∥y，
∴∠BCO＝∠EOC，
∵∠BCO＝∠ECO，
∴∠EOC＝∠ECO，
∴OE＝CE＝2m﹣2，
∵AB∥x轴，
∴F（0，2），
∴AF＝1，
∴OF＝2，
∴EF＝OE﹣OF＝2m﹣2﹣2＝2m﹣4，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2+EF2＝AE2，
∴1+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2，
解得：m=83或m＝2，
∵AE＞AF，
∴m﹣1＞1，
∴m＞2，
∴m＝2不合题意，舍去，
∴m=83，
当m=83时，B(83，2)，
把B(83，2)代入反比例函数y=kx得：
2=k83，
解得：k=163；
②当OC＞OA时，即m＞1，
将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得k＝2m，即m=k2，
∵AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2，
∴L＝2（AB+BC）＝6m﹣6＝3k﹣6，
∵m＞1，
∴k＞2，
∴当k＞2时，L＝3k﹣6，
当OC＜OA时，即0＜k＜2时，如图4，
设点C（m，2m），则B（m，2），D（1，2m），
∴AB＝1﹣m，BC＝2﹣2m；
将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得k＝2m，即m=k2，
∴L＝2（AB+BC）＝6﹣6m＝6﹣3k，
∴当0＜k＜2时，L＝6﹣3k，
综上所述，L=6−3k(0＜k＜2)3k−6(k＞2)．
如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝3，BC＝5，CD＝6，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C方向运动到C点停止，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以12个单位长度每秒的速度从点A出发，沿着A→D方向运动到D点停止，过点Q作QM⊥AD交AC于点M，设点P运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ACP的面积为y1，△ADC的周长与△AQM的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1与y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1和y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合图象，请直接写出当y1≤y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过0.2）
【答案】（1）y1=2x(0＜x≤3)−65x+485(3＜x＜8)，y2=8x(0＜x＜8)；
（2）函数y1和y2的图象，如图2即为所求；
当0＜x≤3时，y1随着x的增大而增大；当3＜x＜8时，y1随着x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）当0＜x≤2.0或7.1≤x＜8.0时，y1≤y2．
【解答】解：（1）y1=2x(0＜x≤3)−65x+485(3＜x＜8)，y2=8x(0＜x＜8)；理由如下：
如图1.1，AB∥CD，AB⊥AD，过点B作BH⊥CD于H，则∠BHD＝∠BHC＝90°，
∴∠BAD＝∠D＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH＝AB＝3，AD＝BH，
∴CH＝CD﹣DH＝6﹣3＝3，
在直角三角形BCH中，BC＝5，
由勾股定理得：BH=BC2−CH2=52−32=4，
∴AD＝BH＝4，
当0＜x≤3时，y1=12AP⋅AD=12x×4=2x；
当3＜x＜8时，如图1.2，过点P作PG⊥AB的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠PBG＝∠BCH，
又∵∠G＝∠BHC＝90°，
∴△PBG∽△BCH，
∴PBBC=PGBH，
∵PB＝x﹣3，
∴x−35=PG4，
∴PG=45(x−3)，
∵S△ACP＝S△ABC﹣S△ABP，
∴y1=12×3×4−12×3×45(x−3)=−65x+485，
综上所述，y1=2x(0＜x≤3)−65x+485(3＜x＜8)；
∵QM⊥AD，
∴∠AQM＝∠D＝90°，
∴QM∥CD，
∴△AQM∽△ADC，
∴AQAD=QMCD=AMAC，
∵AQ=12x，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC=AD2+CD2=42+62=213，
∴12x4=QM6=AM213，
∴QM=34x，AM=134x，
∴y2=4+6+21312x+34x+134x=8x，
即y2=8x(0＜x＜8)；
（2）函数y1和y2的图象，如图2即为所求；
由图象可知，当0＜x≤3时，y1随着x的增大而增大；当3＜x＜8时，y1随着x的增大而减小；
（3）当0＜x≤2.0或7.1≤x＜8.0时，y1≤y2．
由函数图象可知，当0＜x≤2.0或7.1≤x＜8.0时，y1≤y2．
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OCBE的两边在坐标轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与OB，BC相交于点A，D，连接AC，AD．
（1）若点A为矩形OCBE的对称中心，则BD：DC＝ 3 ；
（2）若点A坐标为（3，2）．
①求该反比例函数的解析式；
②若S△ACD=32，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．
【答案】（1）3；
（2）y=6x；
（3）BD＝3．
【解答】解：（1）设点B坐标为（m，n），
∵点A为矩形OCBE的对称中心，
∴点A（m2，n2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，
∴k=mn4，
∴反比例函数的解析式y=mn4x（x＞0），
∴当x＝m时，y=n4，
∴点D（m，n4），
∴CD=n4，
∴BD=34n，
∴BD：CD＝3，
故答案为：3；
（2）①∵点A（3，2）在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x；
②过点A作AE⊥OC，垂足为E，
设直线OA的关系式为y＝kx，将A（3，2）代入得，k=23，
∴直线OA的关系式为y=23x，
∵点C（a，0），把x＝a代入y=23x，得：y=23a，把x＝a代入y=6x，得：y=6a，
∴B（a，23a），D（a，6a），
∴BC=23a，CD=6a，
∵S△ACD=32，
∴12CD•EC=32，即6a×（a﹣3）=32解得：a＝6，
经检验，a＝6是原方程的解，
∴BC＝4，CD＝1，
∴BD＝3．
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x＞0)的图象过点A（3，4）．
（1）求k的值；
（2）将OA绕点O顺时针旋转至与x轴重合，点A的对应点为C，连接AC，求线段AC的长；
（3）D是平面直角坐标系内一点，若以O，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）12；
（2）25；
（3）点D的坐标为（8，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12．
（2）过点A作AB⊥x轴于点B，如图所示，
∴∠ABO＝∠ABC＝90°．
∵A（3，4），
∴OB＝3，AB＝4．
∴OA=OB2+AB2=32+42=5．
∵将OA绕点O顺时针旋转至与x轴重合，点A的对应点为C，
∴OC＝OA＝5．
∴BC＝OC﹣OB＝5﹣3＝2．
∴AC=AB2+BC2=42+22=25．
（3）由（2）得OC＝OA＝5，
∴C（5，0），A（3，4），O（0，0）．
设点D（x，y）．
当AC为对角线时，由对角线中点相同，可得：
3+5=x4=y，
解得x=8y=4，
∴点D（8，4）；
当AO为对角线时，由对角线中点相同，可得：
x+5=34=y，
解得x=−2y=4．
∴点D（﹣2，4）；
当AD为对角线时，由对角线中点相同，可得：
x+3=5y+4=0，
解得x=2y=−4．
∴点D（2，﹣4）；
综上所述，点D的坐标为（8，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．
在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象分别与矩形OABC的边BC，AB相交于点D，E．
（1）如图1，若OA=2OC=2．
①点B的坐标是 （2，2） ；
②连接OD，DE，当OD⊥DE时，探究点D，E是否分别为线段BC，AB的中点，并证明；
（2）如图2，过点D作DF⊥OA，垂足为点F，连接OD，EF．当OD∥EF时，探究点F，E是否分别为线段OA，AB的黄金分割点，并证明．
【答案】（1）(2，2)；
②点D，E分别为线段BC，AB的中点．
证明：在矩形OABC中，BC＝OA＝2，AB=OC=2，∠OCB＝∠ABC＝90°，
∴∠COD+∠CDO＝90．
∵OD⊥DE，
∴CDO+∠BDE＝90°．
∴∠COD＝∠BDE．
∴△COD∽△BDE．
∴CDBE=COBD，
∵点D，E在反比例函数y=kx的图象上，
∴D(2k2，2)，E(2，k2)，
∴CD=2k2，AE=k2，
∴BD＝2−2k2=2(2−k2)，BE=2−k2．
∴BD=2BE，
∴CO=2CD，
∴CD＝1，k=2．
∴AE=22，
∴点D，E分别为线段BC，AB的中点．
（2）点F，E分别为线段OA，AB的黄金分割点．
证明：∵OD∥EF，
∴∠DOF＝∠EFA．
∵∠DFO＝∠EAF＝90°，
∴△DOF∽△EFA．
∴OFFA=DFEA．
设D(m，km)，E(n，kn)，
∴OF＝m，DF=km，OA＝n，AE=kn，
∴mn−m=kmkn=nm．
∴OFFA=OAOF，即OFOA=FAOF，
∴点F为线段OA的黄金分割点．
∵mn−m=nm，
∴n−mm=mn，
∵AEAB=mn，BEAE=km−knkn=n−mm，
∴AEAB=BEAE．
∴点E为线段AB的黄金分割点．
【解答】解：（1）①∵OA=2OC=2．
∴OC=2，
∴B（2，2），
故答案为：(2，2)；
②点D，E分别为线段BC，AB的中点．
证明：在矩形OABC中，BC＝OA＝2，AB=OC=2，∠OCB＝∠ABC＝90°，
∴∠COD+∠CDO＝90．
∵OD⊥DE，
∴CDO+∠BDE＝90°．
∴∠COD＝∠BDE．
∴△COD∽△BDE．
∴CDBE=COBD，
∵点D，E在反比例函数y=kx的图象上，
∴D(2k2，2)，E(2，k2)，
∴CD=2k2，AE=k2，
∴BD＝2−2k2=2(2−k2)，BE=2−k2．
∴BD=2BE，
∴CO=2CD，
∴CD＝1，k=2．
∴AE=22，
∴点D，E分别为线段BC，AB的中点．
（2）点F，E分别为线段OA，AB的黄金分割点．
证明：∵OD∥EF，
∴∠DOF＝∠EFA．
∵∠DFO＝∠EAF＝90°，
∴△DOF∽△EFA．
∴OFFA=DFEA．
设D(m，km)，E(n，kn)，
∴OF＝m，DF=km，OA＝n，AE=kn，
∴mn−m=kmkn=nm．
∴OFFA=OAOF，即OFOA=FAOF，
∴点F为线段OA的黄金分割点．
∵mn−m=nm，
∴n−mm=mn，
∵AEAB=mn，BEAE=km−knkn=n−mm，
∴AEAB=BEAE．
∴点E为线段AB的黄金分割点．
某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数y=ax(a≠0)一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线y＝x与双曲线y=6x交于A，B两点，根据中心对称性可以得到OA＝OB．
【轻松探究】
（1）直线y＝2x﹣4与双曲线y=6x交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，证明AC＝BD时，首先将直线y＝2x﹣4与双曲线y=6x联立可得2x2﹣4x﹣6＝0，然后数学小组有以下两种思路：
思路一：直接求出A、C、B、D的坐标，进而证明AC＝BD．
思路二：先求得xA+xB与xC+xD的值，由xC+xD＝xA+xB，证得线段AB的中点与线段CD的中点重合即可．
请参考以上两种思路，完成证明．
【深入探究】
（2）直线y＝kx+b（k＞0）与双曲线y=ax(a＞0)交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，试问：AC＝BD还成立吗？请说明理由．
【模型应用】
（3）如图3，直线y＝x+b与双曲线y=ax(a＞0)交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D．连接OA，OB．若△AOC的面积为5，2CD＝AB，OA的长为 52 ．
【答案】（1）思路一：∵直线y＝2x﹣4与双曲线y=6x交于A，B两点，
联立得：2x2﹣4x﹣6＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
当x＝﹣1时，得：y＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6，
当x＝3时，得：y＝2×3﹣4＝2，
∴A（3，2），B（﹣1，﹣6），
对于直线y＝2x﹣4，
当y＝0时，得：0＝2x﹣4，
解得：x＝2；
当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∴AC=(3−2)2+(2−0)2=5，BD=(−1−0)2+(−6+4)2=5，
∴AC＝BD；
思路二：∵直线y＝2x﹣4与双曲线y=6x交于A，B两点，
联立得：2x2﹣4x﹣6＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
∴xA+xB＝2，
对于直线y＝2x﹣4，
当y＝0时，得：0＝2x﹣4，
解得：x＝2；
当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∴xC+xD＝2，
∴xC+xD＝xA+xB，
∴线段AB的中点与线段CD的中点重合，
∴AC＝BD；
（2）AC＝BD还成立；理由如下：
联立得：y=kx+b(k＞0)y=ax(a＞0)，
整理得：kx2+bx﹣a＝0，
∴xA+xB=−bk，
在y＝kx+b中，令y＝0，得：xC=−bk，
又∵xD＝0，
∴xA+xB=xC+xD=−bk，
∴xA+xB2=xC+xD2，
∴线段AB的中点与线段CD的中点重合，
∴AC＝BD；
（3）52．
【解答】（1）证明：思路一：∵直线y＝2x﹣4与双曲线y=6x交于A，B两点，
联立得：2x2﹣4x﹣6＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
当x＝﹣1时，得：y＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6，
当x＝3时，得：y＝2×3﹣4＝2，
∴A（3，2），B（﹣1，﹣6），
对于直线y＝2x﹣4，
当y＝0时，得：0＝2x﹣4，
解得：x＝2；
当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∴AC=(3−2)2+(2−0)2=5，BD=(−1−0)2+(−6+4)2=5，
∴AC＝BD；
思路二：∵直线y＝2x﹣4与双曲线y=6x交于A，B两点，
联立得：2x2﹣4x﹣6＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
∴xA+xB＝2，
对于直线y＝2x﹣4，
当y＝0时，得：0＝2x﹣4，
解得：x＝2；
当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∴xC+xD＝2，
∴xC+xD＝xA+xB，
∴线段AB的中点与线段CD的中点重合，
∴AC＝BD；
（2）解：AC＝BD还成立；理由如下：
联立得：y=kx+b(k＞0)y=ax(a＞0)，
整理得：kx2+bx﹣a＝0，
∴xA+xB=−bk，
在y＝kx+b中，令y＝0，得：xC=−bk，
又∵xD＝0，
∴xA+xB=xC+xD=−bk，
∴xA+xB2=xC+xD2，
∴线段AB的中点与线段CD的中点重合，
∴AC＝BD；
（3）解：在y＝x+b中，
当y＝0时，得：xC＝﹣b；
当x＝0时，得：yD＝b，
∴C（﹣b，0），D（0，b），
∴OD＝OC＝b，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠ACE＝45°，
如图3，过点A作x轴的垂线交于点E，则△ACE是等腰直角三角形，
由前面可知AC＝BD，
∵2CD＝AB，
∴2CD＝CD+AC+BD，
∴2AC＝CD，
∴2S△AOC＝S△COD，
∵S△AOC=OC⋅AE2 ，S△COD=OC⋅OD2，
∴2AE＝OD，
∴2CE＝OC＝﹣b，
∴S△AOE=32S△AOC=152，CE=−12b，
∴OE=OC+CE=−32b，
∴A(−32b，−12b)，
∴−32b×(−12b)×12=152，
解得：b=−25（正值舍去），
∴A(35，5)，
∴OA=(35)2+(5)2=52，
故答案为：52．题型1 根据实际问题列反比例函数关系式
题型2 反比例函数的应用
题型3 反比例函数综合题
解｜题｜知｜识
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
解｜题｜知｜识
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
解｜题｜知｜识
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
日销售单价x（元）
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4
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日销售量y（个）
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20
15
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参考信息：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR．
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值．