北师大版（2024）九年级上册（2024）第三章 图形的相似5 图形的位似优质学案及答案

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考 点 演 练
题型1 位似变换
【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，1），B（﹣1，0），C（4，﹣2），则点D的坐标是（ ）
A．(12，0)B．（1，0）C．（2，0）D．（4，0）
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，位似中心为原点O．若点A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣6，0），则点D（4，﹣2）的对应点D′的坐标为（ ）
A．（8，﹣4）B．（﹣4，8）C．（4，﹣8）D．（﹣8，4）
【变式2】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：16，其中AD＝8，则OA的长为（ ）
A．815B．2C．83D．12
【变式3】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，相似比为1：2，下列结论中不正确的是（ ）
A．BC：EF＝1：2B．OA：AD＝1：2C．∠ACB＝∠DFED．∠OAC＝∠ODF
题型2 作图-位似变换
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得
到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（ ）
A．（2，4）B．（4.2）
C．（2，4）或（﹣2，﹣4）D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．（0，0），2B．（2，2），12C．（2，2），2D．（1，1），12
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，3），B（﹣3，1）．
（1）△O1A1B1与△OAB是以P点为位似中心的位似图形，点O1，A1，B1都在格点上，则点P的坐标为 ；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的，△OA2B2使它与△OAB的相似比为2：1；若P（m，n）是△ABC内部一点，则请直接写出点P的对应点Q的坐标 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上）
（1）在第三象限中画出△A1B1C1，使得以点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2；
（2）在（1）条件下，若P（a，b）为△ABC内部的任意一点，则变换后点P的对应点P′的坐标为（ ， ）；
（3）在第二象限中画△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC且面积是△ABC的2倍．
过 关 验 收
1．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点D的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（2，4）
C．（3，3）D．（4，2）或（﹣4，2）
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A．（6，4）B．（4，6）C．（9，4）D．（9，6）
3．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
4．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3B．﹣2a+6C．﹣2a+4D．﹣2a﹣6
5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若以原点O为位似中心画△A'OB'，使它与△AOB相似比为14，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．(−12，1)B．（−12，1）或（12，﹣1）
C．（﹣8，16）D．（﹣8，16）或（8，﹣16）
6．如图，点E（﹣2，1），F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣2，4）或（2，﹣4）
C．（﹣4，2）或（4，﹣2）D．（4，﹣2）
7．图中的△ABC与△EDF位似，则位似中心是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
8．下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点A（6，8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（5，3）C．（5，2）D．（6，2）
10．在平面直角坐标系中，已知线段AB，点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
11．如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF得到△DEF，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．四边形EFCB与△OEF的面积比是4：1
C．△ABC与△DEF的周长比为2：1
D．△ABC与△DEF的面积比为4：1
12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）
C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）
13．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，把△ABO扩大，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
14．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（ ）
A．(12，32)B．(23，2)或(−23，−2)
C．(4，43)D．(2，23)或(−2，−23)
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△MNC．若点A的对应点M的坐标为（5，﹣3），点B的对应点N的坐标为（3，0），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣5，3）B．(−5，32)C．(−4，32)D．(−92，32)
16．在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的14，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）
C．（8，﹣2）或（﹣2，3）D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
17．在平面直角坐标系中，四边形ABCD顶点A的坐标为（2，﹣4），若以原点O为位似中心，画出四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD的相似比为32，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，﹣6）B．（﹣6，3）
C．（3，﹣6）或（﹣3，6）D．（﹣6，3）或（6，﹣3）
18．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝ ．
19．在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为 ．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（4，4），C（4，2），已知△A1B1C1与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，点C1的坐标为（2，1）．
（1）△A1B1C1与△ABC的相似比为 ；点A1的坐标为 ；
（2）在图中补全△A1B1C1；并直接写出A1C1与AC的关系．
21．如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．
（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；
（2）写出点A′，B′，C′的坐标：
（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（ ）．
22．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）．
（1）作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，A点为对称中心；
（2）作出△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2．
23．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上．
（1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
（2）写出点P的坐标为 ，△ABC与△A′B′C′的面积比为 ，S△ABC＝ ；
（3）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件：
①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为12；
②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧．
25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A'、B'．
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA'B'的面积．
26．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△OAB放大后的图形△OA1B1；
（2）直接写出A1点的坐标；若点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为 ．
27．如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标．
题型1 位似变换
题型2 作图-位似变换
解｜题｜知｜识
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
解｜题｜知｜识
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．