初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）5 图形的位似当堂检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）5 图形的位似当堂检测题，共23页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16869" 一.知识梳理解读 PAGEREF _Tc16869 \h 1
\l "_Tc13700" 【知识点一】位似图形的定义 PAGEREF _Tc13700 \h 1
\l "_Tc30340" 【知识点二】位似图形的核心性质 PAGEREF _Tc30340 \h 1
\l "_Tc9117" 【知识点三】平面直角坐标系中的位似变换（必考） PAGEREF _Tc9117 \h 2
\l "_Tc16632" 【知识点四】位似图形的画法步骤 PAGEREF _Tc16632 \h 2
\l "_Tc23586" 【知识点五】高频易错点 PAGEREF _Tc23586 \h 2
\l "_Tc19808" 二.题型精析（夯实基础） PAGEREF _Tc19808 \h 2
\l "_Tc7206" 【题型 1】位似图形的概念辨析 PAGEREF _Tc7206 \h 2
\l "_Tc18502" 【题型 2】利用位似性质求线段、面积 PAGEREF _Tc18502 \h 4
\l "_Tc15038" 【题型 3】平面直角坐标系中的位似变换（重点） PAGEREF _Tc15038 \h 6
\l "_Tc32314" 【题型 4】位似作图与应用 PAGEREF _Tc32314 \h 9
\l "_Tc9416" 三.同步检测 PAGEREF _Tc9416 \h 12
\l "_Tc22792" （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） PAGEREF _Tc22792 \h 13
\l "_Tc5050" （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） PAGEREF _Tc5050 \h 17
\l "_Tc12224" （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） PAGEREF _Tc12224 \h 21
一.知识梳理解读
【知识点一】位似图形的定义
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。
1. 位似中心：对应顶点连线的公共交点；
2. 位似比：两个位似图形的相似比，即位似图形对应边的比值；
3. 核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形（位似是特殊的相似）。
【知识点二】位似图形的核心性质
1. 基础性质：位似图形对应角相等，对应边成比例，满足相似图形所有性质；
2. 点位性质：位似图形上任意一对对应点与位似中心在同一条直线上；
3. 距离性质：对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
4. 面积性质：位似图形的面积比等于位似比的平方；
5. 位置特征：位似中心可在图形内部、外部、边上或顶点上。
【知识点三】平面直角坐标系中的位似变换（必考）
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将图形的各顶点坐标做位似变换：
设原图形上一点坐标为 (x,y)，位似比为 k，则位似变换后对应点坐标为：
1. 同向位似（同侧）：(kx,ky)（k>0，图形与原图形在原点同侧）；
2. 反向位似（异侧）：(−kx,−ky)（k>0，图形与原图形在原点异侧）。
重要结论：坐标放大/缩小倍数 = 位似比；面积放大/缩小倍数 = k2。
【知识点四】位似图形的画法步骤
1. 定点：确定位似中心；
2. 连线：连接位似中心与原图形各顶点并延长（或反向延长）；
3. 取点：根据位似比，在连线上截取各对应顶点；
4. 成形：顺次连接各对应点，得到位似图形。
【知识点五】高频易错点
1. 相似≠位似，必须满足“对应点连线共点、对应边平行”才是位似；
2. 坐标系位似变换，忽略正负号会导致图形位置错误；
3. 混淆位似比顺序：原图→新图的位似比与新图→原图的位似比互为倒数；
4. 位似图形面积比忘记平方，直接套用位似比出错。
二.题型精析（夯实基础）
【题型 1】位似图形的概念辨析
【例题1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件．
解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”．
选项A、B、C的图形均为位似图形（同时是相似图形）；
选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形．
故选：D．
【变式1】（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点______共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”）
【答案】一定
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，即可解题．
解：矩形与矩形关于点O位似，
点O、B与点一定共线，
故答案为：一定．
【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形．
解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中、不平行，故与不成位似图形，
∴与成位似图形有3个．
【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ．
【答案】
【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断．
解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【题型 2】利用位似性质求线段、面积
【例题2】（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质可得，相似比为，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案．
解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，相似比为，
∴四边形与四边形的面积比为．
【变式1】（2026·浙江·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______．
【答案】5
【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
解：∵与是位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴，相似比为，
∴，即，解得：．
∴的面积为5．
【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
解：A、由位似图形可知，
，
，故选项A正确，不符合题目要求；
B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求；
C、由位似图形可知，相似比为，
，
、、三点共线，
，故选项C错误，符合题目要求；
D、由位似图形可知，相似比为，
，故选项D正确，不符合题目要求．
【变式3】（2026·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________．
【答案】4
【分析】先说明，再求出相似比，然后相似三角形的性质得出答案．
解：∵与位似，且点O是位似中心，
∴．
∵点，
∴，
∴，
则与的相似比为2，
∴与的面积比是4．
【题型 3】平面直角坐标系中的位似变换（重点）
【例题3】（25-26八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果．
解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，
∴相似比，的坐标为或，
∴的坐标为或．
【变式1】（24-25九年级下·山东东营·开学考试）如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____．
【答案】或
解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，且，
∴点C的对应点的坐标为或，即或．
【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可；
解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到，
将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点，
再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为；
【变式3】（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________．
【答案】或
【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标．
解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，
∴位似比为或，
当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即，
当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即，
综上所述，点的对应点的坐标为或．
【题型 4】位似作图与应用
【例题4】（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点．
（1）描出AC中点D，写出点D坐标；
（2）以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形．
【答案】（1）如图，AC中点；
（2）
解：（1）略
（2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略.
【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标．
解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心，
由图可知，位似中心的坐标为，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．

【答案】
【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标．
解：如图，为所作；点的坐标为．

故答案为．
【点拨】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键．
【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）．
（1）画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的；
（2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为；
（3）和关于点位似，直接写出点的坐标为______________．
【答案】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求；（3）
【分析】（1）利用平移的性质即可解答；
（2）利用位似三角形的概念即可解答；
（3）连接，，交于点即可．
解：（1）略
（2）略
（3）解：如图，点即为所求．
可得．
三.同步检测
（一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分）
1．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可
解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件．
解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”．
选项A、B、C的图形均为位似图形（同时是相似图形）；
选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形．
故选：D．
3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（ ）
A．点MB．点NC．点ED．点F
【答案】C
【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．
解：如图所示：
∵对应点的连线交于点，
点为位似中心，
故选：C．
4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：∵与位似，
∴，
∴，
∴．
5．（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则端点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，则可判断线段和线段的位似比为，根据关于以原点为位似中心，对应点的坐标变换规律，把A点的横、纵坐标都乘以2得到C点坐标．
解： ，，
．
，
．
以原点O为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段，
线段和线段的位似比为．
点C的坐标为，即．
6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：，
∴，
∵的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴．
7．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或．
解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况，
∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为；
当与在原点异侧时，点的坐标为．
∴点的坐标为或．
8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
A．，B．，2C．，D．，2
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识．两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
解：如图，连接，延长交的延长线于点，
点就是位似中心，坐标为，
．
．
故选：D．
填空题（共8题，每小题4分，合计32分）
9．（2026·浙江温州·三模）如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解．
解：以的顶点为位似中心，作的位似图形．
．
．
．
．
10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________．
【答案】
解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，，
∴和的位似比为．
11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ．
【答案】
【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断．
解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
12．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____．
【答案】或
解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，且，
∴点C的对应点的坐标为或，即或．
13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____．
【答案】
【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解．
解：∵，，
∴，
∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为，
∴，
∴，
∴．
14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________．
【答案】
【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解．
解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为，
15．（2022·陕西西安·模拟预测）正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质及点、的坐标求出点的坐标，再根据位似变换的性质：以原点为位似中心，相似比为，且变换后的图形与原图形在位似中心同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以，计算即可
解：由图可知，
∴
∵四边形是正方形
∴，且轴
∴点的坐标为
∵以原点为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的
∴位似比
∴点的坐标为 ，即．
16．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________．
【答案】10
【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案．
解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，
∵与位似，点O为位似中心，
∴与的相似比为，
∴与的周长比为，
∵的周长为5，
∴的周长是10．
解答题（共4题，每小题9分，合计36分）
17．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由．
【答案】是位似图形，位似中心是点O，相似比为2
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质以及位似的相关知识，根据矩形的性质可得对应线段的平行和比值，继而判定四边形是矩形，结合对应得比值即可得到位似比，结合对应点和交点即可确定位似中心．
解：∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，，，，，，，，
∴，，
∴．
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，，
∴四边形是矩形．
又∵，
∴矩形与矩形相似，且相似比为2．
又∵两个图形的对应点所在直线都经过点O，
∴它们是位似图形，位似中心是点O，相似比为2．
18．（2023·黑龙江鸡西·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
（1）画出绕点O逆时针旋转后的；
（2）以点O为位似中点，在y轴的右侧画出与的相似比为的图形；
（3） 的面积是______．
【答案】（1）图见分析；（2）图见分析；（3）
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
（3）利用割补法求得的面积，再利用相似比求解.
解：（1）解：如图所示．
;
（2）解：如图所示．
（3）解：的面积为，
∴的面积是．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了旋转变换、位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，．
（1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是；
（2）在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，则即为所求．
（2）
【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可；
（2）根据位似的性质即可解答．
解：（1）略
（2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为．
20．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的；
（2）以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的；
（3）已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】（1）根据平移规律，画图即可．
（2）根据位似图形的性质画图即可．
（3）作直线，交于点P，点P即为位似中心．
解：（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心，
，，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得，
直线的解析式为，
将与联立，得：，
解得，
点的坐标为．