数学九年级上册1 菱形的性质与判定学案设计

这是一份数学九年级上册1 菱形的性质与判定学案设计，共31页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1. 理解菱形的概念；
2. 掌握菱形的性质定理与判定定理；
3. 掌握求菱形的两种方法，利用等面积法求线段；利用菱形的对称称求最值；
【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.，菱形的定义也是判定菱形的方法。
要点二、菱形的性质
1.从边出发：菱形的四条边都相等；
2.从对角线出发：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
特别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. 利用菱形是轴对称图形求几何最值问题。
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
从边出发：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形.
2.从对角线出发：（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
特别说明：：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、利用菱形的性质求角
1．如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．
【答案】（1）见分析； （2）45°
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式1】如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点，
∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120º，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=，
在RtΔDEO中，OE=，DE=，
∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+，
故选：B.
【点拨】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键.
【变式2】如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______．
【答案】20°
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题．
解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．
【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
类型二、利用菱形的性质求线段
2．如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若点恰好是的中点，，求的值．
【答案】（1）见分析；（2）.
【分析】
(1)由“”可证，可得；
(2)由线段垂直平分线的性质可得．
解：(1)四边形是菱形，
∴，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∴；
(2)∵是中点，且，
∴直线为的垂直平分线，
∴.
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
【变式1】如图，在菱形中，，连接、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点拨】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
【变式2】如图，菱形ABCD，以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交边AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则AB的长为______．
【答案】
【分析】由作法得∠AGB=90°，利用菱形的性质得到AD∥BC，AB=BC，所以∠GBC=90°，在Rt△BCG中，设BG=x，则BC=x，所以AB=x，在Rt△ABG中利用勾股定理得到x2+32=（x）2，然后解方程求出x，从而得到AB的长．
解：由作法得BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AB=BC，
∴∠GBC=90°，
在Rt△BCG中，设BG=x，
∵∠BCG=30°，
∴BC=x，
∴AB=x，
在Rt△ABG中，x2+32=（x）2，解得x1=，x2=-（舍去），
∴AB=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质．
类型三、利用菱形的性质求面积
3．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
【答案】（1）见试题解析；（2）2
【分析】
（1）由□ABCD可得AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠CDA，再结合点E、F分别是BC、AD的中点即可证得结论；
（2）当四边形AECF为菱形时，可得△ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果．
解：∵在□ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，
四边形ABCD的高为 ,
∴菱形AECF的面积为2.
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等．
【变式1】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（ ）
A．8B．8C．4D．2
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．
解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∵菱形的周长为8，
∴边长AB＝2，
∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2，
∴菱形的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．

故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质．
【变式2】如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，，则菱形的面积为________．
【答案】20
【分析】连接AC，利用中位线的性质，得AC=2EF=8，再利用菱形对角线乘积的一半求面积即可．
解：连接AC
∵，分别是，的中点
∴EF是ACD的中位线
又EF=4
∴AC=8
∴S菱形ABCD=×BD×AC=×5×8=20
故答案为：20．
【点拨】本题考查了中位线的性质以及菱形的面积求法，熟练掌握以上知识点作出辅助线是解决问题的关键．
类型四、利用菱形的性质证明
4．如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且．
（1）求证：≌； （2）证明四边形是菱形．
【分析】
(1)利用SAS证明即可； (2)从对角线的角度加以证明即可.
解：（1）∵四边形为菱形，
∴，且，
又∵，
∴≌．
（2）
证明：连接交于点，
∵四边形为菱形，
∴，且为，中点，
又∵，
∴
∴与互相垂直且平分，
故四边形是菱形．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．
【变式1】如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理ASA可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
解：∵四边形是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴(SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(ASA)；
故选项B可以；
C. 添加不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
【点拨】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键．
【变式2】如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______．
【答案】
【分析】连接AC交BD于H，证明DCH≌DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC=35，∠DCE=70，
又∵∠MCE=15，
∴∠DCF=55，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF=35，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=35，
在CDH和CDF中，
∴CDH≌CDF（AAS），
∴，
∴DB=，
故答案为．
【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
类型五、添加一个条件证明四边形是菱形
5．如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
【答案】（1）证明见分析；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形，理由见分析．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；
（2）此题应用菱形的判定，先说明四边形AFCE已经是平行四边形，再应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是CA的中点，
∴OA=OC，
又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【变式1】如图，要判定是菱形，需要添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的判定方法即可解决问题．
解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是A4B．AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：_______________使得四边形AEDF是菱形．
【答案】AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）
【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE=DF=AE=AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴AE=BE，AF=FC，
应有DE=BE，DF=CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD=CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB=AC或∠B=∠C．
则当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）．
【点拨】本题考查了菱形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
类型六、证明已知四边形是菱形
6．如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证，则，即可得出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何性质是解题的关键．
【变式1】如图，在中，分别是边上的中线，于点，点分别是的中点，若，，则四边形的周长是（ ）
A．14B．20C．22D．28
【答案】B
【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，OM，OE，计算出EM，可得结果．
解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6，
∴MN=BC，MN∥BC，OM=OB=4，ON=OC=3，
∴四边形MNDE为平行四边形，
∵BD⊥CE，
∴平行四边形MNDE为菱形，
∴OE=ON=3
∴BC=，
∴DE=MN=EM=DN=5，
∴四边形MNDE的周长为20，
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的判定，中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定．
【变式2】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE=30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交 BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC=；②当点D与点C重合时，FH=；③AE+CD=DE；④当AE=CD时，四边形 BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是________．
【答案】①②④
【分析】过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
解：如图1，过A作AI⊥BC垂足为I，
∵是边长为1的等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=，
∴AI=，
∴S△ABC=，故①正确；
如图2，当D与C重合时，
∵∠DBE=30°，是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABE=30°，
∴DE=AE=，
∵GE//BD，
∴，
∴BG=，
∵GF//BD，BG//DF，
∴HF=BG=，故②正确；
如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD，BD=BN，
∵∠3=30°，
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°，
∴∠NBE=∠3=30°，
又∵BD=BN，BE=BE，
∴△NBE≌△DBE（SAS），
∴NE=DE，
延长EA到P使AP=CD=AN，
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°，
∴△ANP为等边三角形，
∴∠P=60°，NP=AP=CD，
如果AE+CD=DE成立，则PE=NE，需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；
如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°，
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE，
同理：CH=CD，
∴AG=CH，
∵BG//FH，GF//BH，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵BG=BH，
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
类型七、用菱形的性质与判定求角度
7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）∠AOD=90°； （2）证明见分析.
【分析】
（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；
（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∵AE∥BF，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，
∴∠AOD=90°；
（2）证：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．
【点拨】菱形的判定．
【变式1】如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【答案】C
【分析】连接AC，证明△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，根据菱形性质即可求解．
解：连接AC，
∵四边形为菱形，
∴AB=BC，
∵为边的垂直平分线，
∴BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵四边形为菱形，
∴∠ADB=．
故选：C
【点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，证明△ABC为等边三角形是解题关键．
【变式2】如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则_________．
【答案】30°
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，由翻折变换的性质得：=∠D=60°，求出∠CME==30°，即可得出的度数．
解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD'刚好过BC的中点P，
∴AD⊥BC，
∴∠D'PC=90°，
由翻折变换的性质得：=∠D=60°，
∴∠CME=∠PMD'=30°，
∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键．
类型八 用菱形的性质与判定求线段
8．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）通过证明△AOM和△CON全等，可以得到，又因为，所以可以证明四边形为平行四边形；
（2）根据，从而可以证明平行四边形是菱形，得到，再使用勾股定理计算出BN的长度，从而可以得到DM的长度．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴
在△AOM和△CON中
∴△AOM△CON
∴
又∵
∴四边形为平行四边形．
（2）∵四边形为平行四边形
∵
∴平行四边形是菱形
∴
∵
设BN的长度为x
在Rt△ABN中，，
∴
【点拨】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．
【变式1】四边形ABCD中，，，，点O为AC中点，DO的延长线交AB于E．若，，则AB的长为（ ）
A．5B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】连接，根据已知条件证明四边形是菱形，勾股定理求得，根据即可求解．
解：如图，连接
，点O为AC中点，
,
四边形是平行四边形
四边形是菱形
在中，，，
故选C
【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键．
【变式2】如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ___．
【答案】8
【分析】根据作图痕迹得出AE为∠BAD的平分线，AB=AF，根据平行四边形性质和平行线性质可证明四边形ABEF是菱形，再根据勾股定理求解即可．
解：连接EF，设AE与BF交于点O，
由作图得：∠BAE=∠FAE，AB=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB= BE=AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BO =BF=3，OA=AE，AE⊥BF，
在Rt△AOB中，AB=5，∠AOB=90°，
由勾股定理得：，
∴AE=2OA=8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
类型九、用菱形的性质与判定求面积
9．如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为16，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见分析；（2）20．
【分析】
（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证，即可证明结论；
（2）由根据三角形面积求法可求AE，设AB=x，在，由勾股定理列方程即可求出菱形边长，进而可求面积．
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
同理可得：，
∴，即：四边形是菱形；
（2）∵，
∴，
∴，
在四边形是菱形中，设，则
在中，，
∴，
解得，
∴菱形ABCD面积=．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理．解题关键是灵活运用直角三角形性质得出线段之间发热关系．
【变式1】如图，在的两边．上分别截取，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为4．则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2，四边形OACB的面积为4，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4．
故选：C．
【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点．连接，在点运动过程中，的最小值等于______．
【答案】
【分析】作点关于的对称点，连接，根据题意先证明四边形是菱形，则 ，，可知，进而可知，共线，根据等面积法求得，当时最短即的长，进而求得的最小值为．
解：如图，作点关于的对称点，连接，
，，
于点，，，
四边形是菱形，
，，，
在和中
，
（ASA），
，
，
，
，，
，
，
三点共线，
，
，
，
当时最短即的长，
的最小值为，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对称，找到的最小值为是解题的关键．