北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定精品课时练习

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定精品课时练习，文件包含上海市初中物理新教材2024版九年级下学期第15章电磁波及其应用举一反三重难点训练教师版docx、上海市初中物理新教材2024版九年级下学期第15章电磁波及其应用举一反三重难点训练教师版pdf、上海市初中物理新教材2024版九年级下学期第15章电磁波及其应用举一反三重难点训练学生版docx、上海市初中物理新教材2024版九年级下学期第15章电磁波及其应用举一反三重难点训练学生版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
原创精品，侵权必究！！！
基础过关全练
知识点1 菱形的定义
1.(原创精品)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.请问下列条件中不能使▱ABCD为菱形的是( )
A.∠1=∠21B.DE=DFC.∠3=∠4D.AD=CD
知识点2 菱形的性质
2.原创精品如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是 ( )
A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠DAC=∠BAC
3.原创精品如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为( )
A.6B.12C.24D.48
4.(2024辽宁沈阳大东期中改编)一个菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是( )
A.40B.20C.10D.25
5.如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(-1，0)，∠BCD=120°，则点D的坐标为( )
A.(2，2)B.(3，2)C.(3，3)D.(2，3)
6.如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成.已知菱形的边长为13 cm，当挂钩B、D间的距离是30 cm时，挂钩A、C间的距离是( )
A.69 cmB.269 cmC.12 cmD.24 cm
7.如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长.
8.如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM=∠CDN，求证：BM=BN.
知识点3 菱形的判定
9原创精品如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是( )
A.若OB=OD，则▱ABCD是菱形
B.若AC=BD，则▱ABCD是菱形
C.若OA=OD，则▱ABCD是菱形
D.若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
10.原创精品张师傅应客户要求加工4个菱形零件.在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是( )
11.原创精品如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A.四边形ABCD是平行四边形
B.四边形ABCD是菱形
C.AC=BD
D.AD=BC
12.原创精品用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
13.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)
14.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
15.原创精品已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D.
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形，请证明你的结论.
16.原创精品如图，过▱ABCD的对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形.
知识点4 菱形的面积
17.原创精品如图所示，四边形ABCD是菱形，AD=5 cm，对角线AC、BD相交于点O，且AC∶BD=4∶3，DH⊥AB于H.
(1)求对角线AC、BD的长；
(2)求DH的长.
能力提升全练
18.(2026山东淄博中考改编)如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE，则这个菱形的面积为( )
A.16B.67C.127D.30
19原创精品如图1，在菱形ABCD中，∠C=120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为(23，3)，则图象最低点E的坐标为( )

A.233,2B.233,3C.433,3D.(3，2)
20原创精品如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB=60°，CD=43，则四边形CEDF的周长是 .

21原创精品如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A(-1，2)，B(3，-1)，C(3，2)，D(-1，5)，将CD平移至第一象限内，得到C'D'(C'，D'均在格点上).若四边形ABC'D'是菱形，则所有满足条件的点D'的坐标为 .
22.原创精品如图，已知线段AB=10 cm，以AB为一边作一个内角为60°的菱形ABCD，并计算这个菱形的面积.(请保留作图痕迹)
23.原创精品某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6 cm，长足够的长方形纸条.探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积.如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它形成45°的角，将该纸条从右往左平移.
(1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状；
(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时.
①求证：四边形ABCD是菱形；
②求菱形ABCD的面积.

素养探究全练
24.原创精品如图，在菱形ABCD中，AB=40 cm，点M以1 cm/s的速度自A向B运动，点N以相同的速度自B向C运动，在运动过程中，对角线AC上是否存在一点P，使PM+PN的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
25.原创精品如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F.

(1)对角线AC的长是 ，菱形ABCD的面积是 ；
(2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化?请说明理由；
(3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化?若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由.
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.若添加∠1=∠2，则在△ADE和△CDF中，∠1=∠2,∠A=∠C,AE=CF,∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴AD=CD，根据菱形的定义可知▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；若添加DE=DF，不能判定△ADE≌△CDF，∴不能得出AD=CD，∴不能使▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；若添加∠3=∠4，则在△ADE和△CDF中，∠3=∠4,AE=CF,∠A=∠C,∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AD=CD，根据菱形的定义可知▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；若添加AD=CD，则根据菱形的定义可知▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意.故选B.
2.C ∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC，AB=AD，AC⊥BD，故A、B、D中结论正确，无法得出AC=BD，故C中结论错误，故选C.
3.C ∵四边形ABCD为菱形，∴OA=OC，AB=BC=CD=DA，∵OE=3，点E为CD的中点，∴AD=2OE=6.∴C菱形ABCD=4AD=4×6=24.故选C.
4.B 如图所示，AC=6，BD=8，∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=12×6=3，BO=12×8=4，AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，∴AB=AO2+BO2=5，
∴此菱形的周长为5×4=20.故选B.
5.D ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，∴∠BAO=30°，
∵B(-1，0)，∴OB=1，∴AB=2，∴OA=3，∴A(0，3)，
∵AD=AB=2，AD∥x轴，∴D(2，3)，故选D.
6.D 如图，设该木制的活动衣帽架中的一个菱形为菱形ABCE，连接AC、BE，AC与BE交于点O.
∵活动衣帽架由3个全等的菱形构成，
∴当挂钩B、D间的距离是30 cm时，BE=303=10(cm)，
∵四边形ABCE为菱形，∴AC⊥BE，AO=CO，BO=EO，
∵BE=10 cm，∴BO=5 cm，
∵AB=13 cm，∴OA=AB2−OB2=132−52=12(cm)，
∴AC=2AO=24(cm)，故选D.
7.解析 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD,∠B=∠D,AB=AD,
∴△ABE≌△ADF(AAS).
(2)设菱形的边长为x，∴AB=CD=x，
∵CF=2，∴DF=x-2，
∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x-2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得AE2+BE2=AB2，
即42+(x-2)2=x2，解得x=5，∴菱形的边长是5.
8.证明 ∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=AB=BC，∠A=∠C.
在△AMD和△CND中，∠A=∠C,AD=CD,∠ADM=∠CDN,
∴△AMD≌△CND(ASA)，∴AM=CN，
∴AB-AM=BC-CN，即BM=BN.
9.D 根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可知D正确.
10.C 选项A，根据四条边相等的四边形是菱形可判定零件合格，不符合题意；选项B，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判定零件合格，不符合题意；选项C，不能判定四边形是菱形，故不能判定零件是否合格，符合题意；选项D，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判定零件合格，不符合题意.故选C.
11.D ∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF=12AD，GH=12AD，EH=12BC，FG=12BC，∴EF=GH，EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AD=BC时，EF=EH，此时平行四边形EFGH为菱形，故选D.
12.C 选项A，由作图可知AC是BD的垂直平分线，∴AB=AD，
设AC与BD的交点为O，则OB=OD.易知AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，又∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不符合题意；选项B，由作图可知AB=BC，AD=AB，∴BC=AD，又BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，不符合题意；选项C，由作图可知AB、CD是角平分线，只能得出四边形ABCD是平行四边形，符合题意；选项D，由作图可知∠DAC=∠CAB，∠DCA=∠ACB，∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，∴∠DAC=∠CAB=∠DCA，∴AB∥CD，AD=DC，结合AD∥BC可得四边形ABCD是菱形，不符合题意.故选C.
13.AB=CD(答案不唯一)
解析 添加的条件可以是AB=CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形.故答案为AB=CD(答案不唯一).
14.证明 (1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∴平行四边形ABCD为菱形，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形.
15.解析 (1)证明：∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠FCE，在△EAD和△ECF中，∠DAE=∠FCE,AE=CE,∠AED=∠FEC,∴△EAD≌△ECF(ASA)，∴DE=EF，∴四边形AFCD是平行四边形.
(2)当∠BAC=2∠ACB时，四边形AFCD是菱形.
证明：∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠CAF，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠CAF=∠ACB，∴FA=FC，又∵四边形AFCD是平行四边形，∴四边形AFCD是菱形.
16.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED，AB∥CD，∴∠EBP=∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，∠EBP=∠EDQ,EB=ED,∠BEP=∠DEQ,
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)如图所示，∵△PBE≌△QDE，∴EP=EQ，
同理可证△BME≌△DNE(ASA)，∴EM=EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形.
17.解析 (1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2OD，AC=2OA，AC⊥BD，
∵AC∶BD=4∶3，∴OA∶OD=4∶3，设OA=4x cm，OD=3x cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得AO2+OD2=AD2，即(4x)2+(3x)2=52，解得x=1(负数舍去)，即AO=4 cm，OD=3 cm，∴AC=8 cm，BD=6 cm.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=5 cm，
由菱形面积公式得S菱形ABCD=AB·DH=12AC·BD，∴5DH=12×8×6，
∴DH=4.8 cm.
能力提升全练
18.B 连接AC交BD于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，BO=OD，OC=AO，∵E为AD边的中点，∴DE=2，∵∠DEF=∠DFE，∴DF=DE=2，∵DE∥BC，∴∠DEF=∠BCF，∵∠DFE=∠BFC，∴∠BCF
=∠BFC，∴BF=BC=4，∴BD=BF+DF=4+2=6，∴OB=OD=3，在Rt△BOC中，OC=42−32=7，∴AC=2OC=27，∴菱形ABCD的面积=12AC·BD=12×27×6=67.故选B.
19.C 本题结合动点问题考查函数图象与菱形的性质，理解函数图象中点表示的具体意义是解题的关键.
如图，连接AC，NC，CM，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴AB=BC，BD垂直平分AC，∠ABC=60°，∠ABD=∠DBC=30°，
∴AN=CN，△ABC是等边三角形，∴AN+MN=CN+MN，
∴当点N在线段CM上，即点N'的位置时，AN+MN有最小值，为CM的长，
∵点F的坐标为(23，3)，∴DB=23，AB+BM=3，
∵点M是AB的中点，∴AM=BM，CM⊥AB，
∴2BM+BM=3，∴BM=1，∴AB=2，
由勾股定理可以求出CM=3，
在Rt△BMN'中，BM=1，∠MBN'=30°，
容易求出BN'=233，∴DN'=433，
∴点E的坐标为433,3，故选C.
20.16
解析 连接EF交CD于O，如图：
∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD=∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，OC=12CD=23，∵∠ECD=12∠ACB=30°，∴CE=2OE，由勾股定理可以求出CE=4，∴四边形CEDF的周长是4CE=4×4=16，故答案为16.
21.(3，5)或(2，6)
解析 如图，∵A(-1，2)，B(3，-1)，C(3，2)，D(-1，5)，∴AB∥CD，AB=CD=5，
∵四边形ABC'D'是菱形，∴AD'=AB=5，当点D向右平移4个单位，即D'(3，5)时，AD'=5；当点D向右平移3个单位，向上平移1个单位，即D″(2，6)时，AD″=5.故答案为(3，5)或(2，6).
22.解析 如图，菱形ABCD即为所求.
连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=AB=BC=CD=10 cm，
由作图易知△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=10 cm，
∴OD=OB=5 cm，∴AO=AB2−OB2=102−52=53(cm)，
∴AC=103 cm，∴S菱形ABCD=12BD·AC=503 cm2.
23.解析 (1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为三角形，梯形，五边形，菱形，如下图所示：
(2)①证明：分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，
∴∠BEC=∠DFC=90°，
∵两纸条等宽，且宽为6 cm，∴BE=DF=6 cm，∵∠BCE=∠DCF=45°，
∴BC=CD=62 cm，∵两纸条都是长方形，∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，又BC=DC，∴四边形ABCD是菱形.
②S菱形ABCD=CD·BE=62×6=362(cm2).
素养探究全练
24.解析 在AC上存在点P，使PM+PN的值最小.在AD上取点M'，使AM'=AM，连接PM'，由菱形的对称性可知，M'与M关于AC对称，则PM=PM'，则PM+PN=PM'+PN，连接M'N交AC于P'，当点P位于点P'的位置时，PM+PN的值最小，为M'N的长度.由题意知AM=BN，于是AM'=BN，在菱形ABCD中，AD∥BC，即AM'∥BN，∴四边形ABNM'是平行四边形，∴M'N=AB=40 cm，∴PM+PN的最小值为40 cm.
25.解析 (1)如图1，连接AC，与BD相交于点G.
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=12BD=12×16=8.
由勾股定理得AG=AB2−BG2=102−82=6，
∴AC=2AG=2×6=12，
∴菱形ABCD的面积为12AC·BD=12×12×16=96.
故答案为12；96.
(2)OE+OF的值不会发生变化.理由如下：
如图1，连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，
∴12BD·AG=12AB·OE+12AD·OF，即12×16×6=12×10OE+12×10OF，解得OE+OF=9.6，因此OE+OF的值为定值，不会随点O的变化而变化.

(3)OE+OF的值会发生变化，OE与OF之间的数量关系为OE-OF=9.6.理由如下：
如图2，连接AO，AC，AC交BD于点G，则AC⊥BD，AG=6.
∵S△ABD=S△ABO-S△ADO，
∴12BD·AG=12AB·OE−12AD·OF，
即12×16×6=12×10OE−12×10OF，
解得OE-OF=9.6，
∴OE，OF之间的数量关系为OE-OF=9.6.