北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定精品第2课时导学案及答案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定精品第2课时导学案及答案，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 菱形的判定
【学习目标】
1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理；
2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
3. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.
学习重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.
学习难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
【复习导入】
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？

【合作探究】
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
思考·交流
由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
知识要点
菱形的判定定理2
几何语言描述：
典例精析
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、AD 上，且
AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
练一练
1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，
求证：四边形 AFCE 是菱形.
方法一：

探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是菱形，你觉得对吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？

证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
知识要点
菱形的判定定理：
几何语言描述：
典例精析
例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = eq \r(5) ，OA=2，OB=1.求证：□ABCD 是菱形.
练一练
1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，
求证：四边形 AFCE 是菱形.
方法二：
2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.



尝试·交流
(1) 如图，已知线段 a，请用尺规作菱形 ABCD，使它的对角线 AC = a。
(2) 满足 (1) 中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，
那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。


当堂反馈
1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A.AB＝AD
B.AC⊥BD
C.AC＝BD
D.∠BAC＝∠DAC
2.如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，当BD＝ 时，四边形ABCD是菱形，理由是 .
3.[推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE∥ 且DE＝ ＝ AC.
同理DF∥ 且DF＝ ＝ AB.
又∵AB＝AC，
∴DE＝ .
∴四边形AEDF是菱形( ).
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，AD＝5，求AB的长.
判定方法： .
参考答案
【合作探究】
探究点1：四条边相等的四边形是菱形
证一证
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
典例精析
例1 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
练一练 1. 方法一：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，∴ △AOE≌△COF.∴AE = CF.
又∵EF 是 AC 的垂直平分线，∴ EC = EA，AF = CF.
∴AE = EC = CF = AF.∴ 四边形 AFCE 是菱形.
探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证一证
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
典例精析
例2 证明：在△AOB 中，
∵AB = eq \r(5) ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).

练一练 1. 方法二：
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又 ∠AOE =∠COF，AO = OC，
∴ △AOE≌△COF，
∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC⊥EF，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
练一练2. 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD =∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.
∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵ DE⊥AC，
∴ 四边形 ADCE 是菱形.
尝试·交流
(1) 分别以 A、C 为圆心，以大于 12 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
(2) 不唯一。
理由：垂直平分线上 B、D 两点的位置可以任意选取 (只要 OB＝OD )，
因此菱形的边长和角度会随 OB 长度的变化而变化.
添加条件使菱形唯一，如：
①指定另一条对角线长度：
例如“对角线 BD = b (给定长度)”，此时 OB = b/2​，可唯一确定 B、D 的位置。
②指定菱形的一个内角：
例如 “∠BAD = 60° ”，结合AC = a可唯一确定菱形的形状和大小。
③指定菱形的边长。
当堂反馈
1. C 2. 10 ， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. AC AF 12 . AB AE 12 .
DF＝AF＝AE . 四边相等的四边形是菱形
4.解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝12AC＝3，DO＝12BD＝4.
∵AD＝5，
∴AO2＋OD2＝AD2.∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°.
∴四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD＝5.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .