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    人教版数学九年级上册同步练习24.2.2.3 切线长定理和三角形的内切圆
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    人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业

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    这是一份人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业,共16页。试卷主要包含了5 cmB等内容,欢迎下载使用。

    第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
    一、选择题
    1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA=3,则PB的长是( )
    A.2B.3C.4D.5

    第1题图 第2题图 第3题图 第6题图
    2.将一块含60°角的直角三角板和一个光盘、一块直尺如图摆放,若AB=3,则光盘的直径是( )
    A.3B.33C.6D.63
    3.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是( )
    A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm
    4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
    A.三条内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点
    C.三条中线的交点D.三条高线的交点
    5.如果☉O为△ABC的内切圆,那么O是△ABC的( )
    A.三条中线的交点B.三条高的交点
    C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
    6.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=( )
    A.70°B.110°C.120°D.130°
    7.(2020·金华)如图,⊙O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则∠EPF的度数是( )
    A.65° B.60° C.58° D.50°

    第7题图 第8题图 第10题图 第12题图
    8.(2019·荆门)如图,△ABC的内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )
    A.DI=DB B.DI>DBC.DI9.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为( )
    A.4B.3C.2D.1
    10.(中考·河北)如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是( )
    A.△ACD的外心
    B.△ABC的外心
    C.△ACD的内心
    D.△ABC的内心
    11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”( )
    A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
    12.[济宁中考]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是( )
    A.43B.23C.2D.4
    13.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=253 cm,∠MPN=60°,则☉O的半径( )
    A.50 cmB.253 cmC.20 cmD.25 cm
    14.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( )
    A.39°B.56°C.64°D.78°
    15.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中等式成立的个数是 ( )
    A.1B.2C.3D.4
    16.如图,在△ABC中,∠BOC=140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于( )
    A.130°B.125°C.120°D.115°

    第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
    17.(2020·湘西州)如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )
    A.△BPA为等腰三角形
    B.AB与PD相互垂直平分
    C.点A,B都在以PO为直径的圆上
    D.PC为△BPA的边AB上的中线

    第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
    18.(2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则⊙O的半径为( )
    A.2eq \r(3) B.3 C.4 D.4-eq \r(3)
    19.(2020·湖州)如图,已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线,AO=BO.以O为圆心,OT为半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是( )
    A.DC=DT B.AD=eq \r(2)DT C.BD=BO D.2OC=5AC
    20.(2020·随州)如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是( )
    A.h=R+r B.R=2r C.r=eq \f(\r(3),4)a D.R=eq \f(\r(3),3)a
    21.[南京中考]如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
    A.133B.92C.4133D.25
    二、填空题
    22.经过圆外一点的圆的切线上,________和________之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
    切线长定理:从圆外一点可以引圆的________条切线,它们的切线长________,这一点和圆心的连线________两条切线的夹角.
    23.与三角形各边都________的圆叫三角形的内切圆,内切圆的圆心是___________________的交点,叫做三角形的________.
    24.如图,四边形ABCD外切于☉O,若AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长是 .

    第24题图 第25题图 第26题图 第27题图
    25.如图,☉O内切于四边形ABCD,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=110°,则∠COD的度数是 .
    26.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF=50°,则∠A= .
    27.如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 .
    28.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为 .

    第28题图 第29题图 第30题图
    29.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是 .
    30.[龙岩中考]如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= .
    三、解答题
    31.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
    (1)求证:四边形ODCE是正方形;
    (2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
    32.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
    (1)若PA=10,求△PDE的周长;
    (2)若∠P=50°,求∠O的度数.
    33.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
    (1)若∠ABC=40°,∠C=80°,求∠CBD的度数;
    (2)求证:DB=DE.
    34.(中考·黄石)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得DF=BD,连接CF,BE.求证:
    (1)DB=DE;
    (2)直线CF为⊙O的切线.
    35.(中考·南京)下面是小颖对一道题目的解答.
    题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.
    解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.
    根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
    根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
    整理,得x2+7x=12.
    所以S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC=eq \f(1,2)(x+3)(x+4)=eq \f(1,2)(x2+7x+12)=eq \f(1,2)×(12+12)=12.
    小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?
    请你帮她完成下面的探索.
    已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.
    可以一般化吗?
    (1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.
    倒过来思考呢?
    (2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.
    改变一下条件……
    (3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
    参考答案
    一、选择题
    1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA=3,则PB的长是(B)
    A.2B.3C.4D.5

    第1题图 第2题图 第3题图 第6题图
    2.将一块含60°角的直角三角板和一个光盘、一块直尺如图摆放,若AB=3,则光盘的直径是(D)
    A.3B.33C.6D.63
    3.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是(D)
    A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm
    4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( A )
    A.三条内角平分线的交点
    B.三边垂直平分线的交点
    C.三条中线的交点
    D.三条高线的交点
    5.如果☉O为△ABC的内切圆,那么O是△ABC的(D)
    A.三条中线的交点
    B.三条高的交点
    C.三边垂直平分线的交点
    D.三条角平分线的交点
    6.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=(B)
    A.70°B.110°C.120°D.130°
    7.(2020·金华)如图,⊙O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则∠EPF的度数是( )
    A.65° B.60° C.58° D.50°
    【点拨】连接OE,OF.
    ∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F是切点,
    ∴OE⊥AB,OF⊥BC.
    ∴∠OEB=∠OFB=90°.
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠B=60°.
    ∴∠EOF=120°.
    ∴∠EPF=eq \f(1,2)∠EOF=60°.
    【答案】B

    第7题图 第8题图 第10题图 第12题图
    8.(2019·荆门)如图,△ABC的内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )
    A.DI=DB B.DI>DBC.DI【点拨】如图,连接BI.
    ∵△ABC的内心为I,
    ∴∠1=∠2,∠5=∠6.
    ∵∠3=∠1,
    ∴∠3=∠2.
    ∵∠4=∠2+∠6=∠3+∠5,
    ∴∠4=∠DBI.
    ∴DI=DB.
    【答案】A
    9.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为(D)
    A.4B.3C.2D.1
    10.(中考·河北)如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是( B )
    A.△ACD的外心
    B.△ABC的外心
    C.△ACD的内心
    D.△ABC的内心
    11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”( )
    A.3步 B.5步 C.6步 D.8步
    【点拨】根据勾股定理得,斜边长为eq \r(82+152)=17(步),则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r=eq \f(8+15-17,2)=3(步),即直径为6步.
    【答案】C
    12.[济宁中考]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4,则△DBC的面积是(B)
    A.43B.23C.2D.4
    13.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=253 cm,∠MPN=60°,则☉O的半径( D )
    A.50 cmB.253 cmC.20 cmD.25 cm
    14.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( C )
    A.39°B.56°C.64°D.78°
    15.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中等式成立的个数是(B)
    A.1B.2C.3D.4
    16.如图,在△ABC中,∠BOC=140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于(B)
    A.130°B.125°C.120°D.115°

    第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
    17.(2020·湘西州)如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( B )
    A.△BPA为等腰三角形
    B.AB与PD相互垂直平分
    C.点A,B都在以PO为直径的圆上
    D.PC为△BPA的边AB上的中线

    第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
    18.(2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则⊙O的半径为( A )
    A.2eq \r(3) B.3 C.4 D.4-eq \r(3)
    19.(2020·湖州)如图,已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线,AO=BO.以O为圆心,OT为半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是( )
    A.DC=DT B.AD=eq \r(2)DT C.BD=BO D.2OC=5AC
    【点拨】连接OD.
    ∵OT是半径,OT⊥AB,∴DT是⊙O的切线.
    ∵DC是⊙O的切线,
    ∴DC=DT,故选项A不符合题意.
    ∵OA=OB,∠AOB=90°,
    ∴∠A=∠B=45°.
    ∵DC是切线,∴CD⊥OC.
    ∴∠ACD=90°. ∴∠A=∠ADC=45°.
    ∴AC=CD=DT.
    ∴AD=eq \r(2)CD=eq \r(2)DT,故选项B不符合题意.
    ∵OD=OD,OC=OT,DC=DT,
    ∴△DOC≌△DOT(SSS).
    ∴∠DOC=∠DOT.
    ∵OA=OB,OT⊥AB,∠AOB=90°,
    ∴∠AOT=∠BOT=45°.
    ∴∠DOT=∠DOC=22.5°.
    ∴∠BOD=67.5°.
    ∴∠ODB=180°-∠B-∠BOD=67.5°.
    ∴∠BOD=∠ODB.
    ∴BD=BO,故选项C不符合题意.
    【答案】D
    20.(2020·随州)如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是( )
    A.h=R+r B.R=2r C.r=eq \f(\r(3),4)a D.R=eq \f(\r(3),3)a
    【点拨】如图所示.
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆.
    设圆心为O,D,E为切点,连接OE,OD,OA,易得点A,O,D共线,则OE=OD=r,AO=R,AD=h,
    ∴h=R+r,故A不符合题意.
    ∵AD⊥BC,
    ∴∠DAC=eq \f(1,2)∠BAC=eq \f(1,2)×60°=30°.
    在Rt△AOE中,OA=2OE,
    即R=2r,故B不符合题意.
    ∵AB=AC=BC=a,∴AE=eq \f(1,2)AC=eq \f(1,2)a.
    ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2)+r2=(2r)2, eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R))eq \s\up12(2)=R2.
    ∴r=eq \f(\r(3)a,6),R=eq \f(\r(3),3)a,故C符合题意,D不符合题意.
    【答案】C
    21.[南京中考]如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)
    A.133B.92C.4133D.25
    二、填空题
    22.经过圆外一点的圆的切线上,________和________之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
    切线长定理:从圆外一点可以引圆的________条切线,它们的切线长________,这一点和圆心的连线________两条切线的夹角.
    【答案】这点;切点;两;相等;平分
    23.与三角形各边都________的圆叫三角形的内切圆,内切圆的圆心是___________________的交点,叫做三角形的________.
    【答案】相切;三角形三条角平分线;内心
    24.如图,四边形ABCD外切于☉O,若AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长是 52 .

    第24题图 第25题图 第26题图 第27题图
    25.如图,☉O内切于四边形ABCD,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=110°,则∠COD的度数是 70° .
    26.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF=50°,则∠A= 80° .
    27.如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 6∶7 .
    28.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为 2 .

    第28题图 第29题图 第30题图
    29.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是 14 .
    30.[龙岩中考]如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π .
    三、解答题
    31.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
    (1)求证:四边形ODCE是正方形;
    (2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
    解:(1)略.
    (2)☉O的半径为2.
    32.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
    (1)若PA=10,求△PDE的周长;
    (2)若∠P=50°,求∠O的度数.
    解:(1)∵PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
    ∴PA=PB,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长为PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.
    (2)连接OA,OC,OB.
    ∵OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,
    ∴∠DAO=∠EBO=90°,
    ∴∠P+∠AOB=180°,
    ∴∠AOB=180°-50°=130°.
    ∵∠AOD=∠DOC,∠COE=∠BOE,
    ∴∠DOE=12∠AOB=12×130°=65°.
    33.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
    (1)若∠ABC=40°,∠C=80°,求∠CBD的度数;
    (2)求证:DB=DE.
    解:(1)∵∠ABC=40°,∠C=80°,
    ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°.
    ∵点E是△ABC的内心,
    ∴∠CAD=∠BAD=12BAC=30°,
    ∴∠CBD=∠CAD=30°.
    (2)连接BE.
    ∵点E是△ABC的内心,
    ∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.
    ∵∠CAD=∠CBD,∴∠BAD=∠CBD,
    ∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.
    ∵∠BED=∠ABE+∠BAD,
    ∴∠BED=∠DBE,∴DB=DE.
    34.(中考·黄石)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于D点,连接BD并延长至F,使得DF=BD,连接CF,BE.求证:
    (1)DB=DE;
    证明:∵E是△ABC的内心,
    ∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC.
    ∵∠BED=∠BAE+∠EBA,
    ∠DBE=∠EBC+∠DBC,
    ∠DBC=∠CAE,
    ∴∠DBE=∠DEB.
    ∴DB=DE.
    (2)直线CF为⊙O的切线.
    解:连接CD.
    ∵∠DAB=∠DAC,
    ∴BD=CD.
    ∴BD=CD.
    ∵BD=DF, ∴CD=DB=DF.
    ∴∠DBC=∠DCB,∠DCF=∠DFC.
    ∵BC是⊙O的直径,
    ∴∠BDC=90°.
    ∴∠DBC=∠DCB=∠DCF=∠DFC=45°.
    ∴∠BCF=90°,即BC⊥CF.
    ∴直线CF为⊙O的切线.
    35.(中考·南京)下面是小颖对一道题目的解答.
    题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.
    解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.
    根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.
    根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
    整理,得x2+7x=12.
    所以S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC=eq \f(1,2)(x+3)(x+4)=eq \f(1,2)(x2+7x+12)=eq \f(1,2)×(12+12)=12.
    小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?
    请你帮她完成下面的探索.
    已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.
    可以一般化吗?
    解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.
    根据切线长定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.
    (1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.
    倒过来思考呢?
    【思路点拨】根据切线长定理和勾股定理可得线段之间的数量关系,根据三角形的面积公式证明即可.
    证明:在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.
    整理,得x2+(m+n)x=mn.
    所以S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC=eq \f(1,2)(x+m)(x+n)=eq \f(1,2)[x2+(m+n)x+mn]=eq \f(1,2)(mn+mn)=mn.
    (2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.
    改变一下条件……
    【思路点拨】根据线段的数量关系,计算出三角形的边的平方值,再用勾股定理的逆定理证明直角,结论得证;
    证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn.
    整理,得x2+(m+n)x=mn.
    ∴AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=2mn+m2+n2=(m+n)2=AB2.
    根据勾股定理逆定理可得∠C=90°.
    (3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
    【思路点拨】作垂线构造直角三角形,根据含30°角的直角三角形的性质得线段之间的关系,再利用勾股定理列出关系式,从而表示出三角形的面积.
    解:如图,过点A作AG⊥BC于点G.
    在Rt△ACG中,∠C=60°,
    则∠CAG=30°,
    ∴CG=eq \f(1,2)AC=eq \f(1,2)(x+m).
    ∴AG=eq \r(AC2-CG2)=eq \f(\r(3),2)(x+m).
    ∴BG=BC-CG=(x+n)-eq \f(1,2)(x+m).
    在Rt△ABG中,根据勾股定理可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)(x+m)))eq \s\up12(2)+[(x+n)-eq \f(1,2)(x+m)]2=(m+n)2.
    整理,得x2+(m+n)x=3mn.
    ∴S△ABC=eq \f(1,2)BC·AG=eq \f(1,2)(x+n)·eq \f(\r(3),2)(x+m)=eq \f(\r(3),4)[x2+(m+n)x+mn]=eq \f(\r(3),4)(3mn+mn)=eq \r(3)mn.
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