初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.3 正多边形与圆精品第3课时精练

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本课核心问题
把一个圆分成相等的 n 份就得到一个正 n 边形——正多边形的边长、边心距、中心角和面积这些度量，都能从圆的等分结构中算出来吗？
一、学习目标
1. 理解正多边形的定义，能依据“各边相等、各角也相等”判定一个多边形是不是正多边形，并能举出反例
2. 理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，掌握中心角=外角=360°÷n 与内角=(n−2)×180°÷n 的计算
3. 掌握把正多边形分割成全等三角形求面积的方法，会求半径为 R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距和面积
4. 会用等分圆周的方法（量角器或尺规作图）画正多边形，并能说明作图依据
二、重点
• 中心角=外角=360°÷n，内角=(n−2)×180°÷n
• 正多边形面积的分割法：S=n×(12)×边长×边心距=(12)×周长×边心距
• 等分圆周画正多边形（量角器等分法、尺规六等分与四等分）
三、难点
• 由中心角构造含特殊角的直角三角形，求出边长与边心距；求面积时避免把半径误当作三角形的高
学习支架
中心角与外角
正 n 边形的一个内角
正多边形面积（分割法）
圆的内接正六边形：中心角 60°，边心距为 OG
圆的内接正三角形：中心角 120°，边心距为半径的一半
正八边形 ABCDEFGH 与中心角 45°（例 2）
半径为 R 的圆内接正多边形要素表
四、知识要点
1. 正多边形的定义
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。判定一个多边形是不是正多边形，必须同时满足两条：各边都相等，各角也都相等，缺一不可。例如：菱形的四条边都相等，但它的四个角不一定都相等（一般菱形的角不是 90°），所以菱形不一定是正多边形；矩形的四个角都是 90°，但四条边不一定都相等，所以矩形也不一定是正多边形。三条边的情形只有等边三角形，所以“正三角形”与“等边三角形”是一致的；正方形就是正四边形。本课核心问题：把一个圆分成相等的 n 份，就得到一个正 n 边形——正多边形的边长、边心距、中心角和面积，都能从圆的等分结构中算出来吗？带着这个问题阅读下面各知识点。
2. 正多边形与圆的关系
正多边形和圆的关系非常密切：只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆。教材以圆的内接正五边形为例给出了证明思路：把圆分成相等的 5 段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE。因为各段弧相等，所以各段弧所对的弦相等，AB=BC=CD=DE=EA，各边相等；又因为∠A 与∠B 都对着包含 3 段弧的弧（∠A 对弧 BCE，∠B 对弧 CDA），同圆中相等的弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠B，同理可得各角相等。于是五边形 ABCDE 是正五边形，这个圆是它的外接圆。关键结论：等分圆周得到的多边形是正多边形；反过来，正多边形的顶点都在它的外接圆上，各边都与它的内切圆相切。
3. 中心、半径、中心角、边心距
正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心；外接圆的半径叫作正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。对照本课正六边形图识记四个要素：点 O 是正六边形的中心；OA 是半径 R；∠AOB 是中心角（等于 60°）；OG 是边心距 r，且 OG⊥AB，垂足 G 是 AB 的中点。易错点：边心距是中心到边的垂直距离，不是中心到顶点的距离；中心角是“每一边所对”的圆心角，一个正 n 边形共有 n 个相等的中心角。
4. 正 n 边形的内角、外角与中心角
正 n 边形把圆周分成 n 段相等的弧，每段弧所对的圆心角都是 360°÷n，这就是中心角。正 n 边形的外角等于 360°÷n，所以正多边形的中心角等于它的一个外角。正 n 边形的内角和为 (n−2)×180°，每个内角等于 (n−2)×180°÷n，也可以由 180° 减去外角得到。例如正六边形：中心角 360°÷6=60°，外角 60°，内角 120°；正八边形：中心角 360°÷8=45°，外角 45°，内角 135°。关键结论：中心角=外角=360°÷n；内角=(n−2)×180°÷n。边数确定后三个角都能直接算出；反过来，知道其中一个角也可以求出边数 n。
5. 正多边形面积的分割法
连接正多边形的中心与各个顶点，可以把正多边形分成 n 个全等的等腰三角形。每个三角形的底是正多边形的一边，高是边心距，所以
S=n×(12)×边长×边心距=(12)×周长×边心距。这是计算正多边形面积的通用方法。教材例题（延安宝塔的八角形地基）就是用这个方法的：先求中心角 45°，再在分割出的三角形中作高（即边心距），用勾股定理求出边心距，最后乘 8 求和。易错点：每个小三角形的高是边心距，不是半径；半径是顶点到中心的距离，是三角形的腰而不是高。
6. 特殊正多边形与半径为 R 的圆
半径是 R 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形，都可以通过“中心角→分割三角形→特殊直角三角形”求出全部要素（见要素表）。正三角形：中心角 120°，边长 3R，边心距 R2，面积 (334)R²；正方形：中心角 90°，边长 2R，边心距 (22)R，面积 2R²；正六边形：中心角 60°，边长 R（正六边形的边长等于半径），边心距 (32)R，面积 (332)R²。推导方法：连接中心与相邻两个顶点，在等腰三角形中作边心距，得到含 30°、45°、60° 特殊角的直角三角形，再按特殊直角三角形边长比求出半边长与边心距。例如正六边形中，边心距=R·cs30°=(32)R，半边长=R·sin30°=R2，故边长=R。
7. 用等分圆周的方法画正多边形
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只要作相等的圆心角就能等分圆周，从而得到相应的正多边形。利用这种方法，可以画出任意的正 n 边形。量角器等分法（以边长 1.5 cm 的正六边形为例）：以 1.5 cm 为半径作一个圆；用量角器画 360°÷6=60° 的圆心角，它对着一段弧；在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的 6 个等分点；顺次连接各分点，即可得到正六边形。尺规作图法：正六边形的边长等于半径，所以在半径为 R 的圆上，从某一点开始依次以 R 为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为 R 的正六边形，进而可以作出正三角形、正十二边形；用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分点可以得到正方形，进而可以作出正八边形、正十六边形。
五、典型例题
【例1】
一个正多边形的一个内角是 120°，求这个正多边形的边数、中心角和外角，并说明中心角与外角的大小关系。
【例2】
延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为 6 m 的正八边形（如图）。求宝塔地基的面积（结果保留小数点后一位）。
半径为 6 m 的正八边形地基
【例3】
用等分圆周的方法画一个边长为 1.5 cm 的正六边形，并说明这样得到的六边形为什么是正六边形。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 各边（________）、各角也（________）的多边形是正多边形。
2. 菱形是正多边形。（ ）
3. 正多边形的中心到它的一边的距离叫作正多边形的（________）；正多边形每一边所对的圆心角叫作它的（________）。
4. 正六边形的中心角是（________）度。
5. 正多边形的中心角等于它的一个外角。（ ）
6. 正十边形的中心角是（________）度，外角是（________）度，内角和是（________）度。
7. 半径为 2 的圆内接正三角形的边长是（________），边心距是（________），面积是（________）。
8. 各角相等的圆内接多边形一定是正多边形。（ ）
9. 已知圆 O 的半径为 6 cm，用量角器等分圆周画圆的内接正六边形时，应画（________）度的圆心角，所画正六边形的边长是（________）cm。
10. 计算：正八边形的中心角、每个外角和每个内角分别是多少？
11. 一个正多边形的每个内角都是 135°，这个正多边形是（________）边形。
★★ 能力提升
12. 下列说法正确的是（________）。
A. 正三角形的中心角是 120°
B. 正六边形的边长等于它的边心距
C. 半径是 R 的圆内接正方形的面积是 4R²
D. 各边相等的多边形一定是正多边形
13. 一个正多边形的中心角是 40°，则它的一个内角是（________）。
A. 140° B. 120°
C. 135° D. 144°
14. 用直尺和圆规，在半径为 2 cm 的圆上作出圆的内接正六边形，保留作图痕迹，并写出作图依据。
用直尺和圆规，在半径为 2 cm 的圆上作出圆的内接正六边形，保留作图痕迹。
15. 如图，正三角形 ABC 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 4。求正三角形 ABC 的边长、边心距和面积，并回答：正三角形的边心距是半径的几分之几？
正三角形 ABC 内接于 ⊙O
★★★ 拓展延伸
16. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 6。(1) 求正六边形 ABCDEF 的边长与边心距；(2) 求正六边形 ABCDEF 的面积，并求正六边形的面积与⊙O 的面积之比；(3) 如果改用等分圆周的方法作出圆的内接正三角形、正十二边形，你发现：边数越多，内接正 n 边形的面积与圆的面积有怎样的关系？说说你的理由。
正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O
17. 三个圆的内接正多边形——正三角形、正方形、正六边形，它们的半径都是 2。把下表填写完整，并回答：半径相同时，边数增加，正多边形的边心距和面积各有什么变化规律？
正多边形
中心角
边长
边心距
面积
正三角形
120°
3R
R2
(334)R²
正方形
90°
2R
(22)R
2R²
正六边形
60°
R
(32)R
(332)R²
正多边形
边长
边心距
面积