初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）综合与实践 生活中的优化问题精品课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）综合与实践 生活中的优化问题精品课时训练，文件包含北师大版九年级数学上册第4单元单元测试卷原卷docx、北师大版九年级数学上册第四章单元测试卷原卷docx、北师大版九年级数学上册第4单元单元测试卷解析卷docx、北师大版九年级数学上册第四章单元测试卷解析卷docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样把一个生活中的“最大(小)值”问题变成数学问题，算出答案，并让人信服地解释它？
一、学习目标
1. 能用数学的眼光发现生活中的优化问题，并能把优化问题转化为数学问题（函数、几何、代数模型）
2. 能通过填表枚举、二次函数最值、几何推理等方法解决优化问题，并对结果作出合理解释与检验
3. 能经历组建团队、方案构思、方案实施、展示交流的完整活动过程，提出并解决一个新的优化问题，完成研究报告与自评互评
二、重点
• 把生活优化问题转化为数学问题的建模四步：发现—转化—求解—解释
• 三种优化模型：离散函数最值（快递装载 Q(i)=i(n−i)）、最大张角（相切圆）、多方案枚举比较（包装箱表面积）
三、难点
• 活动二最大射门角问题中“过A、B的圆与路线相切时张角最大”模型的建立与论证
学习支架
活动一 示范：10个集散点的装载记录表
优化问题解决四步步骤卡
1. 发现：用数学的眼光发现生活中的优化问题
2. 转化：设变量、列关系式，把生活问题转化为数学问题
3. 求解：用二次函数最值、枚举比较或几何推理求解
4. 解释：用数学结果解释优化问题，检验是否合理
活动过程步骤卡
1. 组建合作团队：5~8人一组，确定小组负责人
2. 方案构思：充分讨论交流，形成解决任务的方案
3. 方案实施：任务分工，按步骤实施，形成研究报告
4. 展示交流：制作演示文稿，汇报、质疑与评价
活动二 平行情形：路线 l 与球门线平行
活动二 垂直情形：路线 m 与球门线的延长线垂直相交
小组活动评价表
四、知识要点
1. 优化问题与建模四步
现实生活中，距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题都涉及数量的大小，这类求最大(小)值的问题称为优化问题。在二次函数的学习中，我们已经学过一些求最值问题。活动准备：回忆已学知识并查阅资料，列举生活中涉及最大(小)值的优化问题，如“用固定长度的篱笆围出最大面积的菜地”“运输一定数量的货物最少需要多少辆货车”。解决优化问题的一般四步：① 发现：用数学的眼光发现生活中的优化问题；② 转化：用数学知识、思想、方法描述问题，设出变量、列出关系式，把生活问题转化为数学问题；③ 求解：通过数学运算、逻辑推理（二次函数最值、枚举比较、几何推理等）求解；④ 解释：用数学结果解释优化问题，获得答案并检验是否合理。易错点：只算出数值而不结合情境解释与检验（如算出的小数箱数要向上取整）。
2. 活动一：快递货车的装载量模型
货车从A城驶往B城，每停靠一个集散点，要卸下前面各集散点发给该集散点的标准包裹箱各1个，同时装上该集散点发往以后各集散点的箱各1个。设A城、B城之间共有n个集散点（包括A、B城），离开第i个集散点时车上箱数为Q(i)。此时车上只有“第1~i个集散点发往第i+1~n个集散点”的箱，共 Q(i)=i(n−i) 个。Q(i)=i(n−i)=−i²+ni 是关于i的开口向下的二次函数，对称轴为 i=n2，所以离开中间集散点时装载最多：n为偶数时最多 n24 个（位于第 n2 个集散点），n为奇数时最多 (n2−1)4 个（位于第 (n−1)2 或 (n+1)2 个集散点）。货车至少需要这么大的空间才能完成任务。易错点：忘记离开A城时车上已装有n−1个箱；把“前面各点发给本点的箱”与“本点发给后面各点的箱”两类箱搞混。
3. 活动二：最大射门角（最大张角）
射门角度最大问题可简化为：直线（带球路线）上的点C在什么位置时，与球门（线段AB）两端点的连线夹角∠ACB最大。统一模型：过A、B两点的圆中，固定弦AB所对的圆周角，圆越小角越大；当圆与带球路线相切时圆最小，所以切点C使∠ACB最大，这就是最大张角（视角）原理。三种位置：① 路线l与AB平行：切点C在AB的垂直平分线与l的交点，此时CA=CB，球员正对球门中点；② 路线m与AB垂直（与AB或BA的延长线相交于D）：切点C满足 DC²=DA×DB，可直接算出C距D的距离；③ 路线n与AB斜交（交于D）：同样过A、B作圆与n相切，切点C满足 DC²=DA×DB。易错点：误以为“离球门越近角越大”；忽视与AB相交、与延长线相交的分类讨论。
4. 活动三：包装箱用料最省
以圆柱产品为例：底面半径r=60 mm、高h=123 mm、规格12瓶/箱，长方体包装箱的表面积决定用料多少。在瓶径、瓶高、瓶数确定时，箱体尺寸只由排列方式决定。齐排列：各行（列）圆心对齐，行距=瓶径2r=120 mm；12=1×12=2×6=3×4，单层齐排列有3种方案。错排列：相邻两行圆心错开半个瓶距，行距为边长为2r的等边三角形的高，即 2r×32=603≈103.8 mm（取3≈1.73），箱宽比齐排窄。长方体表面积公式：S=2(长×宽+长×高+宽×高)。枚举所有方案计算比较，表面积最小者最省料；一般规律：箱体三边尺寸越接近，表面积越小。多层排列时箱高=层数×单瓶高，每层内仍按上述原则排列。易错点：枚举漏方案（忘记12的因数对）；错排行距误用2r；计算时漏乘2或漏算某一面。
5. 活动四：提出问题与活动评价
活动四要求继续发现并提出生活中的其他优化问题，并给予解决，例如仿照最大张角提出“看黑板的最佳位置”等问题。活动过程：① 组建合作团队：在班级中组成5~8人一组的研究小组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人；② 方案构思：小组成员充分讨论与交流，集思广益，形成解决任务的方案；③ 方案实施：按方案进行任务分工，使每位成员都有明确任务，按研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告；④ 展示交流：制作向全班汇报的演示文稿，展示研究成果，分享经验、困难及其解决方法，反思不足。活动评价：根据情况选择任务完成表、表现评分表、自我反思表等进行评价，通过质疑、辩论、评价开展自我评价、同学评价和教师评价。易错点：只汇报结论不展示过程（数据、图形、分工）；评价只关注结果而忽略合作与过程。
五、典型例题
【例1】
活动一示范任务：若A城、B城之间有10个集散点（包括A城、B城），货车最多可装16个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？
【例2】
活动二示范任务：球员沿与球门线平行的直线l带球，球门为线段AB。直线l上是否存在点C，使∠ACB最大？如果存在，如何确定点C的位置？
【例3】
活动三示范任务：底面半径r=60 mm、高h=123 mm的圆柱产品，规格为12瓶/箱，单层齐排列。有哪几种方案？分别计算包装箱的表面积，哪种方案最省料？
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 距离最短、角度最大、用料最省、成本最小、利润最大等问题都涉及数量的大小，从数学角度看都属于求最大(小)值的问题，即优化问题。（ ）
2. 把生活问题转化为数学问题，通常要设出（________），并找出它与相关量之间的（________）；求出数学结果后，还要回到生活情境中（________）结果。
3. A城、B城之间共有10个集散点（包括A城、B城）时，货车离开A城后，车上有9个标准包裹箱。（ ）
4. 当带球路线l与球门线（AB所在直线）平行时，直线l上不存在使∠ACB最大的点C。（ ）
活动二 平行情形：带球路线 l 与球门线平行
5. 底面半径60 mm、高123 mm的圆柱产品，12瓶/箱单层齐排列时，采用1×12方案比3×4方案更省包装纸。（ ）
★★ 能力提升
6. 活动一任务：A城、B城之间共有12个集散点（包括A城、B城）。仿照讲义示范，填写活动记录表，并回答：(1) 货车离开哪个集散点时，车上的标准包裹箱最多？最多有多少个？(2) 若货车最多可装16个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？(3) 要完成这次任务，货车上至少要有多少个标准包裹箱的空间？
活动一 记录表：A城、B城之间共12个集散点（含两端）
7. 活动一任务2（一般化）：设A城、B城之间共有n个集散点（包括A城、B城）。(1) 证明：货车离开第i个集散点后，车上共有i(n−i)个标准包裹箱。(2) 离开哪个集散点时装载最多？货车上至少要有多少空间？分n为偶数、奇数两种情况说明。
8. 活动二任务：球门（线段AB）宽6 m，球员沿直线m带球，m与球门线垂直，并与线段BA的延长线交于点D，BD=8 m。(1) 要使射门角∠ACB最大，点C应在直线m上的什么位置？写出确定方法。(2) 此时点C到点D的距离是多少？
活动二 垂直情形：带球路线 m 与球门线的延长线垂直相交
9. 活动三任务1(2)(3)：12瓶底面半径60 mm、高123 mm的圆柱产品，单层错排列。(1) 错排列有哪几种方案？每种方案的箱体底面尺寸是多少？(2) 分别计算各方案的包装箱表面积（取3≈1.73），哪种方案最省料？(3) 与齐排列中最省的方案比较，单层12瓶最省料的包装方式是什么？
包装方案对比表（单层／多层均可用）
★★★ 拓展延伸
10. 活动三任务2(1)：12瓶底面半径60 mm、高123 mm的圆柱产品，考虑多层齐排列。(1) 按层数枚举可能的方案（每层内再按齐排列），有哪些？(2) 分别计算各方案的包装箱表面积，哪种方案最省料？(3) 这个最省方案与单层最省方案相比，哪个更省？
见上方共享材料
11. 活动准备与活动四：先列举两个你身边涉及最大(小)值的优化问题（活动准备），再选择其中一个，仿照“发现—转化—求解—解释”四步写出你的解决方案。
12. 活动过程反思：回顾本次综合与实践活动的全过程，填写自我反思表：(1) 你在小组中承担了什么任务？完成得怎么样？(2) 活动中哪一步（发现问题、建模、计算、画图、汇报）最难？你是怎样克服的？(3) 你们小组在“方案构思—方案实施—展示交流”中做得好的和不足的分别是什么？(4) 如果再做一次，你会怎样改进？把数学结果与生活实际对照，你还发现什么问题？
自我反思表
集散点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
卸下箱数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
装上箱数
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
离开时车上箱数
9
16
21
24
25
24
21
16
9
0
评价维度
评价要点
自评（1~5分）
互评（1~5分）
师评（1~5分）
参与合作
按时参加小组活动，完成分工任务
方案与实施
方案合理，实施完整，有数据记录与研究报告
展示交流
汇报清楚，能回应同学质疑
反思改进
能总结收获、分析不足并写出改进
集散点
卸下箱数
装上箱数
离开时车上箱数
排列方案
箱体尺寸（长×宽×高, mm）
包装箱表面积（mm²）
反思问题
我的回答