初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十八章 旋转28.2 中心对称28.2.1 中心对称及其性质精品导学案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 中心对称
【典例1】下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】如图，△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称，若点A的坐标为（3，1），则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣3）D．（﹣3，﹣4）
【变式2】如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（ ）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
题型2 中心对称图形
【典例1】纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹B．冰裂纹
C．盘长纹D．风车纹
【变式1】我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角B．割圆术示意图
C．赵爽弦图D．洛书
【变式2】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】2025年中国新能源汽车市场呈现爆发式增长，渗透率突破55%，全国销量预计达到1650万辆．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 关于原点对称的点的坐标
【典例1】平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（2，3）
【变式1】若点P（a+1，2a﹣3）关于原点的对称点在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．−32B．﹣1C．0D．32
【变式2】已知，(a−2)2+|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）
【变式3】若点A（2，5）与点B（m，﹣5）关于原点对称，则m＝ ．
题型4 几何变换综合题
【典例1】在等腰△ABC中，AB＝AC，将底边BC绕点C逆时针旋转到CD，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AD交BC于点E．
（1）如图1，当0°＜α＜45°时，已知∠DAB＝10°，∠CDA＝45°时，请用含α的式子表示∠CAB；
（2）如图2，已知∠DCB+2∠ACB＝180°，取AC边上的中点H，连接HB交AD于点F，点G为AD上一点，且HF＝FG，连接CG，试猜想CG与AB的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在等腰△ABC中∠CAB＝90°，AB=23，点K为射线AB上一动点，点M为平面内一点，∠MCK＝60°，且S△MCK=63，当AM取最大时，连接CM．若点P为AC左侧一点，连接AP和CP，满足∠CPA＝60°，在射线AP上有一点Q，且满足AQ＝CP，过点Q向BC作垂线，垂足为点H，当QH取最小值时，直接写出S△CMH．
【变式1】△ABC为等边三角形，点D为线段AC上的动点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转α得到线段DE，连接BE．
（1）如图1，若α＝135°，点D是AC中点，BC＝4，求△BDE的面积；
（2）如图2，若α＝120°，连接AE，若点G为AE中点，连接DG，猜想线段AD、DG、BC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若α＝60°，BC＝4，点F为BC中点，连接EF，点D从A移动到C的过程中，将FE绕点F逆时针旋转60°得到线段FM，当FE取最小值时，在直线AC上取一点P，连接PE，将△FPE沿PE所在直线翻折到△ABC所在平面内，得△QPE，连接BQ，作QH⊥BC交直线BC于点H，当BQ取最大值时，请直接写出△QHM的面积．
【变式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC绕点C顺时针旋转角度a（0°＜a＜360°）得到DC．
（1）如图1，若a＝30°，连接AD交BC于点E，若AC＝12，求DE的长；
（2）如图2，若0°＜a＜90°，CF平分∠BCD交AD于点F，连接BF，过点C作CG⊥AD，在射线CG上取点G使得∠BGC＝45°，连接BG，请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若BC＝8，点P是线段AB上一动点，将CP绕点P逆时针旋转90°得到Q，连接AQ，M为AQ的中点，当2CM+CQ取得最小值时，请直接写出△ABM的面积．
【变式3】综合与实践
【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考查的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．
（1）如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BE，CD．求证：BE＝CD；
【模型应用】
（2）如图2，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转一定的角度．当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE；
【类比探究】
（3）如图3，已知△ABC和△ADE都是等边三角形．当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系为 AB＝BD+2BF或AB＝BD﹣2BF ．
过 关 验 收
下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（0，0）C．（2，﹣1）D．（1，﹣3）
如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，D是AC的中点，B，E两点关于点D成中心对称，则AE的长为 ．
如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是 ．
没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线B．三叶玫瑰形曲线
C．蝴蝶形曲线D．太极曲线
志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．正方形D．正五边形
《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）
A．15B．25C．35D．45
下列各点中与点A（1，3）关于原点对称的是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣3）D．（3，1）
点A（﹣1，a）与点A′（b，2）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2024D．2024
若点P（x，﹣3）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y＝ ．
平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
已知点A（a，﹣1）与点B（4，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
在平面直角坐标系中，点P（5，﹣6）关于原点的对称点的坐标为 ．
如图1，已知点E为正方形ABCD内的一点，连接BE．将线段BE绕点B顺时针方向旋转90°得到BF，连接，AE，CF．
（1）【问题发现】
如图1，线段AE与CF的数量关系是 ，线段AE与CF位置关系是 ；
（2）【问题探究】
如图2，点E为正方形ABCD外的一点，将BE绕点B顺时针方向旋转90°得到BF，连接AE，CF，探究线段AE与CF的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为△ABC外一点，且∠BDC＝45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD=2522，BD＝17，求CD的长．
如图所示，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是线段BC上一点，连接AD．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，把AD绕A顺时针旋转90°到AE，连接BE、ED，满足BE＝1，AE=3，求BC的长；
（2）如图2，若∠BAC＝120°，把AD绕A顺时针旋转60°到AP，连接BP、PD，求证：BP＝DP；
（3）在（2）的条件下，点若G为平面内一点，若∠AGC＝90°，当PG取最小值时，请直接写出BPPG的值．
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P．
数学思考：（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
①“乐学小组”提出问题：如图2，当∠CAE＝45°时，则线段BP的长为 ．
②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE＝∠B时，求线段BP的长．
已知△ABC为等边三角形，P是平面内的一个动点．
（1）如图1，点P在△ABC内部，连接AP并延长交BC于点D，连接BP并延长交AC于点E；若BD＝CE，求∠APB的度数；
（2）如图2，点P在△ABC外部，连接CP，点D为线段CP中垂线上一点，连接DP、DC、DA、BP，E为BP中点，连接AE、DE；若∠ACD+∠CBP﹣∠DPB＝60°，求证AE=3DE；
（3）如图3，点P在△ABC外部，∠APC＝135°，将△ABC沿着AC翻折，得到△AB′C，连接B′P，M为线段AP上一点，且AMAP=3−33，连接B′M；若AB＝6，当线段B′P的长取最小值时，直接写出△AB′M的面积．
在等边△ABC中，CF⊥AB，点D是CF边上一点（不与端点重合），连接AD，现将AD绕点A逆时针旋转60度得到线段AE，连接DE，交AC于K，连接CE．
（1）如图1，若∠ADF＝α，请用含a的式子表示∠CKE，并说明理由；
（2）如图2，过E作EG⊥FC于点G，连接AG，延长CF至点H，使得CF＝FH，连接HE、AH，请用等式表示线段AG与HE的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，将△ADC沿AD翻折至△ADC′，过C′作C′N⊥直线BE，点P是线段AC′上一点，点Q是线段FC′上一点，且满足PC′＝FQ，若点D在直线CF上运动，当C′N最大时，连接PD，当FP+AQ最小时，若AC=3，请直接写出△CFP的面积．
在平面直角坐标系中，O为原点，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A（2，0），点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是BC的中点，连接AD．
（I）填空：如图，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，线段AD的长为 ；
（Ⅱ）以点A为中心，顺时针旋转△ACD，得到△AEF，点C，D的对应点分别为E，F．
①连接CF，当CF∥x轴时，求点F的坐标；
②连接BF，记M为线段BF的中点，S为△MEF的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）．
题型1 中心对称
题型2 中心对称图形
题型3 关于原点对称的点的坐标
题型4 几何变换综合题
解｜题｜知｜识
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
解｜题｜知｜识
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
解｜题｜知｜识
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
解｜题｜知｜识
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．