初中人教版（2024）27.2 反比例函数的图象和性质精品学案设计

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 反比例函数的图象
【典例1】若反比例函数y=kx(k≠0)的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∵x2﹣x+k＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×k＝1﹣4k，
∵k＜0，
∴1﹣4k＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式1】若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：∵ab＞0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一三象限，选项C符合；
（2）当a＜0，b＜0时，一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项．
故选：C．
【变式2】一次函数y＝mx+n与反比例函数y=mnx（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：由题知，
由A选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＞0；
由A选项中反比例函数的图象可知，mn＜0，
所以A选项不符合题意；
由B选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0；
由B选项中反比例函数的图象可知，mn＞0，
所以B选项不符合题意；
由C选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＜0；
由C选项中反比例函数的图象可知，mn＞0，
所以C选项不符合题意；
由D选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0；
由D选项中反比例函数的图象可知，mn＜0，
所以D选项符合题意；
故选：D．
【变式3】函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数y=kx−1+m的探究．下表是函数y与自变量x的几组对应值：
（1）函数y=kx−1+m自变量x的取值范围为 x≠1 ．
（2）根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一） ．
【答案】（1）x≠1；（2）m＝1，k＝6；图象见详解；（3）当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）把（﹣1，﹣2），（0，﹣5）代入函数y=kx−1+m得：
−k2+m=−2−k+m=−5，
解得m＝1，k＝6；
画出该函数图象如图所示：
（3）由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
题型2 反比例函数图象的对称性
【典例1】如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（ ）
A．平行四边形B．菱形
C．矩形D．任意四边形
【答案】A
【解答】解：由反比例函数的对称性，得
OA＝OC，OB＝OD，
ABCD是平行四边形，
故选：A．
【变式1】若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y=kx的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（1，﹣2），
∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）．
故选：B．
【变式2】反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（ ）
A．﹣4B．−14C．14D．4
【答案】D
【解答】解：因为反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点成中心对称，
又点A（2，﹣4）在反比例函数的图象上，
所以点A关于坐标原点的对称点也在该反比例函数的图象上．
又点A关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣2，4），
即x＝﹣2时，y＝4．
故选：D．
【变式3】已知直线y＝mx与双曲线y=kx的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个交点坐标是 （1，2） ．
【答案】（1，2）
【解答】解：∵点A与另一个交点关于原点对称，点A的坐标为（﹣1，﹣2），
∴另一个交点的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
题型3 反比例函数的性质
【典例1】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V符合ρ=10V，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．容器内气体的质量（质量m＝ρV）是5kg
B．当p＞5kg/m3时，V＞2m3
C．当容器的体积为4m3时，气体的密度为2.5kg/m3
D．当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随容器体积的增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵m＝ρV，
∴容器内气体的质量为10kg，
所以A不正确，不符合题意；
当ρ＝5kg/m3时，V＝2m3，
所以当ρ＞5kg/m3时，0m3＜V＜2m3，
所以B不正确，不符合题意；
当V＝4m3时，ρ=104=2.5kg/m3，
所以当容器的体积4m3，气体的密度是2.5kg/m3，
可知C正确，符合题意；
当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随着容器体积的增大而减小，
则D不正确，不符合题意．
故选：C．
【变式1】关于反比例函数y=−3x的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象分别位于第二、四象限
C．图象关于原点对称
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：反比例函数y=−3x中，k＝﹣3＜0，
A、∵当x＝﹣1时，y=−3−1=3，∴图象经过点（﹣1，3），正确，不符合题意；
B、k＜0，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意；
C、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意；
D、∵k＜0，∴当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意，
故选：D．
【变式2】下列关于反比例函数y=2ax(a＜0)，的说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．y随x的增大而减小
C．图象位于第一、第三象限
D．图象位于第二、第四象限
【答案】D
【解答】解：∵a＜0，
∴k＝2a＜0，
∴反比例函数y=2ax(a＜0)的图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
选项A未指定象限，表述不严谨，选项B、C错误，选项D正确，
故选：D．
【变式3】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题：
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）画出函数y1=12x(x＞0)的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．
【答案】（1）y=2x(0＜x≤6)30−3x(6＜x≤10)；
（2）作图见详解，当0＜x≤6时，y随x的增大而增大；当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）x1≈2.4，x2≈9.6．
【解答】解：（1）根据题意，当点P在AB上运动时，解析式为y=12×4×x=2x（0＜x≤6）；
当点P在BC上运动时，解析式为：y=12×6×（10﹣x）＝30﹣3x（6＜x＜10），
∴y=2x(0＜x≤6)30−3x(6＜x≤10)，
（2）图象如图所示，性质如下：
【增减性】：当0＜x≤6时，y随x的增大而增大；
当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：x1≈2.4，x2≈9.6．
题型4 反比例函数系数k的几何意义
【典例1】如图，点P在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵作PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积等于2，
∴12|k|=2，
∵k＞0，
∴k＝4．
故选：A．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE：OE＝1：2，连接AE，DE，若S△ADE＝2，则k的值为（ ）
A．5B．367C．6D．647
【答案】D
【解答】解：如图，连接AC，BE．
∵AD＝DB，
∴S△ADE＝S△BDE＝2，
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴S△AOC=12S平行四边形AOCB＝S△AEB＝4，
∵OE＝2EC，
∴S△AOE=23S△AOC=83，
设A（0，b），C（a，t），则B（a，b+t），D（12a，2b+t2），E（23a，23t），
∵D，E在反比例函数的图象上，
∴12•a•2b+t2=49at，
整理得t=187b，
∴E（23a，127b），
∴12×b×23a=83，
∴ab＝8，
∴k=23a×127b=647，
故选：D．
【变式2】对于反比例函数y=k2+1x，下列说法正确的个数是（ ）
①函数图象位于第一、三象限；
②函数值y随x的增大而减小
③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；
④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：反比例函数y=k2+1x，因为k2+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②错误，
若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜0＜y2＜y3；故说法③错误；
P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积为12（k2+1），故④说法正确；
故选：B．
【变式3】反比例函数y=kx在第一象限内的图象如图所示，PA垂直x轴于点A，如果Rt△PAO的面积为4，那么k的值是 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵点P在反比例函数y＝k/x第一象限内的图象上，
∴k＞0，
∵PA垂直x轴于点A，且Rt△PAO的面积为4，
∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△PAO=12|k|=4，
∴|k|＝8，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为：8．
题型5 反比例函数图象上点的坐标特征
【典例1】在反比例函数y=4−kx的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜4D．k＞4
【答案】D
【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，
∴反比例函数y=4−kx的图象位于第二、四象限，如图所示：
∴4﹣k＜0，
解得：k＞4．
故选：D．
【变式1】如果反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），那么k的值为（ ）
A．﹣6B．6C．−23D．32
【答案】A
【解答】解：把点（2，﹣3）代入反比例函数y=kx（k≠0）得﹣3=k2，
所以k＝﹣3×2＝﹣6．
故选：A．
【变式2】已知点A（x1，﹣2），B（x2，﹣1），C（x3，1）在反比例函数y=m2+1x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x3＜x2＜x1B．x1＜x2＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3
【答案】D
【解答】解：由k＝m2+1＞0可知：反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，
∴x2＜x1＜0，x3＞0，
∴x2＜x1＜x3．
故选：D．
【变式3】已知反比例函数y=kx的图象经过点（3，﹣2）．
（1）求k的值；
（2）判断点（﹣2，3）是否在该函数的图象上．
【答案】（1）k＝﹣6；
（2）在．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象经过点（3，﹣2）．
∴k＝3×（﹣2）＝﹣6；
（2）∵﹣2×3＝﹣6＝k，
∴点（﹣2，3）在该函数的图象上．
题型6 待定系数法求反比例函数解析式
【典例1】已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝﹣2，那么当y＝3时，x的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【答案】B
【解答】解：∵y与x成反比例，
∴设y=kx，（k≠0），
∵当x＝3时，y＝﹣2，
∴−2=k3，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
∴当y＝3时，3=−6x，
∴x＝﹣2，
故选：B．
【变式1】若点M（m﹣3，4），N(2，m2)在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．y=2xB．y=−2xC．y=4xD．y=−4x
【答案】C
【解答】解：点M（m﹣3，4），N(2，m2)在同一个反比例函数的图象上，
设反比例函数点 解析式为y=kx(k≠0)，
则k＝4（m﹣3），k=2⋅m2，
∴4(m−3)=2⋅m2，
解得m＝4，
∴k=2⋅m2=4，
∴y=4x，
故选：C．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B在一个反比例函数的图象上，若∠ABC＝60°，且菱形OABC的面积为12，则该反比例函数的表达式为 y=−18x ．
【答案】y=−18x．
【解答】解：作BC⊥x轴于点D，设CD＝a，
∵∠ABC＝60°，
∴∠OCD＝60°，
∴∠CDO＝90°，∠COD＝30°，
∴OC＝2a，OD=3a，
∵菱形OABC的面积为12，
∴2a×3a=12，
解得a2＝23，
∵点B的坐标为（−3a，3a），点B在函数y=kx的图象上，
∴3a=k−3a，
解得k＝﹣33a2＝﹣33×23=−18，
∴反比例函数解析式为y=−18x．
【变式3】如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝6，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于M，N两点，且MB＝2MC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点P为OA上一点，若CP＝PN，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=16x；
（2）点P的坐标为（2，0）．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，OA＝8，OC＝6，
∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，
∵MB＝2MC，
∴CM=83，
∴M（83，6），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点M，
∴k=83×6=16，
∴反比例函数的解析式为y=16x；
（2）把x＝8代入y=16x得，y＝2，
∴N（8，2），
∴AN＝2，
设P（m，0），则OP＝m，PA＝8﹣m，
∵CP＝PN，
∴OC2+OP2＝PA2+AN2，即62+m2＝（8﹣m）2+22，
解得m＝2，
∴点P的坐标为（2，0）．
题型7 反比例函数与一次函数的交点问题
【典例1】如图，已知函数y＝2x与反比例函数y=kx（x＞0）图象交于点A，将y＝2x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=kx交于点B，与x轴交于点C，若OACB=2，则k等于（ ）
A．15B．12C．8D．6
【答案】C
【解答】解：已知函数y＝2x与反比例函数y=kx（x＞0）图象交于点A，将y＝2x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=kx交于点B，
函数y＝2x与反比例函数y=kx(x＞0)图象交于点A，设A点坐标为（a，2a），
∵y＝2x的图象向下平移6个单位的直线BC，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0），
如图所示，过点A作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，
∴AE∥BF，∠AEO＝∠BFC＝90°，
根据平移，可得OA∥BC，
∴∠AOE＝∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴OACB=AEBF=OECF=2，
∵A（a，2a），C（3，0），
∴OE＝a，AE＝2a，
∴CF=OE2=12a，BF=AE2=a，
∴点B的横坐标为3+12a，纵坐标为a，即B(3+12a，a)，
∵点A（a，2a），B(3+12a，a)在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴a×2a=(3+12a)×a，解得，a＝2，
∴A（2，4），
∴把点A（2，4）代入反比例函数y=kx(x＞0)得，k＝2×4＝8，
故选：C．
【变式1】如图，过原点的直线与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AD＝2DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，km），
∵AD＝2DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，k3m），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC=14S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=12k+12（DH+AF）×FH+S△HDC=12k+12×4k3m×2m+12×14×2k3m×2m＝12，
∴k＝6，
故选：B．
【变式2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=−16x的图象交于点D（2，m），且与x轴交于点B，第二象限内点A在反比例函数y=−16x的图象上，且以点A为圆心的圆与x，y轴分别相切于点B，C，则一次函数解析式为 y=−43x−163 ．
【答案】y=−43x−163．
【解答】解：∵点D（2，m）在反比例函数y=−16x的图象上，
∴将D（2，m）代入y=−16x中得：m＝﹣8，
∴D的坐标为D（2，﹣8），
∵以点A为圆心的圆与x，y轴分别相切于点B，C，
∴四边形ABOC是正方形，AB＝AC，
∵第二象限内点A在反比例函数y=−16x的图象上，
∴设A（a，﹣a），a＜0，
∴﹣a2＝﹣16，即a＝﹣4，
∴点B的坐标为B（﹣4，0），
∵一次函数y＝kx+b的图象过D（2，﹣8），且与x轴交于点B，
∴将B（﹣4，0）和D（2，m）代入y＝kx+b中得：
−4k+b=02k+b=−8，解得k=−43b=−163，
∴一次函数解析式为：y=−43x−163．
【变式3】如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数y=mx的图象交于点D，点D为AB的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C．若OA＝OB＝6．求AC的长．
【答案】32．
【解答】解：直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数y=mx的图象交于点D，点D为AB的中点，
∵OA＝OB＝6，
∴A（0，6），B（6，0）．
∵点D为AB的中点，
∴点D的坐标为（3，3）．
将D（3，3）代入y=mx，得3=m3．
解得m＝9．
∴反比例函数的解析式为y=9x．
∵过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C，
∴点C的纵坐标为6．
在y=9x中，当y＝6时，9x=6，解得x=32．
∴AC=32．
过 关 验 收
一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=−k2x(k2≠0)在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k1k2＜0B．k1b＞0C．k2＜0D．k1＞0
【答案】A
【解答】解：反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质逐项分析判断如下：
由图可知：k1＜0，b＞0，﹣k2＜0，
所以k1＜0，b＞0，k2＞0，
所以k1k2＜0，A正确，符合题意；k1b＜0，B不符合题意；C、D都不符合题意；
故选：A．
如图，是三个反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（ ）
A．k1＞k2＞k3B．k3＞k1＞k2C．k2＞k3＞k1D．k3＞k2＞k1
【答案】C
【解答】解：读图可知：三个反比例函数y=k1x的图象在第二象限；故k1＜0；
y=k2x，y=k3x在第一象限；且y=k2x的图象距原点较远，故有：k3＜k2；
综合可得：k2＞k3＞k1．
故选：C．
已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y=k2x（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为 （﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：另一个交点的坐标是（2，1）．
故选：A．
已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x(k2＞0)的一个交点是（2，3），则另一个交点是（ ﹣2 ， ﹣3 ）．
【答案】﹣2；﹣3
【解答】解：正比例函数y＝k1x①与反比例函数y=k2x(k2＞0)②的一个交点是（2，3），
∴将（2，3）代入①得k1=32，代入②得k2＝6，即正比例函数y=32x③，反比例函数y=6x④，
∴32x=6x，解之得x＝±2，把x＝﹣2代入③得y＝﹣3．
∴另一个交点是（﹣2，﹣3）．
故答案为：﹣2；﹣3．
已知反比例函数y=−7x．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数y=−7x，k＝﹣7＜0，
∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
故选项C符合题意．
故选：C．
小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点C坐标为 （−32，4） ．
【答案】（−32，4）．
【解答】解：由图可知点A的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y=kx，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
直线OA的解析式为y=−23x，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y=−23x+3，
联立方程组y=−23x+3y=−6x，
解得x=−32y=4或x=6y=−1（舍去），
∴点C坐标为（−32，4）．
故答案为：（−32，4）．
已知反比例函数C1：y=2x与C2：y=5x在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则▱ABCO的面积为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H，
∵平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，
∴S矩形ADOG＝2，S矩形BDOH＝5，
∴S矩形AGHB＝5﹣2＝3，
∴S矩形AGHB＝AB•AG＝S▱AOCB＝3，
故答案为：3．
如图，已知点A，点C在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 1：5 ．
【答案】1：5
【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝S△COE，
∴S△AOD＝S四边形BDCE，
设△BDO的面积为S，
∵CD＝3OD，
∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，
∵BD∥CE，
∴BE＝3OB，
∴△BCE的面积为12S，
∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S，
即△AOD的面积为15S，
∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5，
故答案为：1：5．
氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=9xB．y＝9xC．y=19xD．y=19x
【答案】C
【解答】解：通过观察表格数据可知：yx=19，
故y与x之间的函数关系式为y=19x，
故选：C．
已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，3），则其图象在 二、四 象限．
【答案】二、四．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∵k＜0
∴反比例函数y=kx的图象在二、四象限．
故答案为：二、四．
如图，矩形AOBC的面积为16，反比例函数y=kx的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是 y=4x ．
【答案】y=4x．
【解答】解：过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OACB为矩形，点P为对角线的交点，
∴S矩形OEPF=14S矩形OACB=14×16＝4．
∴k＝4，
∴该反比例函数的解析式是y=4x，
故答案为：y=4x．
如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线y=kx（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为 y=8x ．
【答案】y=8x．
【解答】解：由题意，过G点作GE⊥OA，GF⊥OC，垂足为E、F，
∵G点在双曲线y=kx上，
∴S矩形OEGF＝xy＝k，
又∵GB：OG＝1：2，
∴OG：OB＝2：3，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEGF∽矩形OABC，
∴S矩形OEGFS矩形OABC=(GOBO)2=49，
∵S矩形OABC＝18，
∴S矩形OEGF＝8，
∴k＝8．
∴函数的解析式是：y=8x．
.故答案为：y=8x．
如图所示，已知双曲线y=5x（x＜0）和y=kx（x＞0），直线OA与双曲线y=5x交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=5x交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=kx交于点C，S△ABC＝6，BPCP=12，则k＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4
【解答】解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．
∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵PB：PC＝1：2，
∴S△OPB＝2，S△OPC＝4，
∵S△OBE=52，
∴S△PBE=12，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFPS△BFP=（PCPB）2
∴S△CFP＝4×12=2，
∴S△OCF＝S△OBC﹣S△OPB﹣S△CFP＝6﹣2﹣2＝2，
∴k＝﹣4．
故答案为﹣4．
如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．
【答案】（1）一次函数解析式为：y＝x+1．反比例函数解析式为：y=2x；（2）32；（3）﹣2＜x＜0或x＞1．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，
∴m＝1×2＝n×（﹣1），
∴n＝﹣2，m＝2，
∴反比例函数解析式为：y=2x，
∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴k+b=2−2k+b=−1，解得k=1b=1，
∴一次函数解析式为：y＝x+1．
（2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴OC＝1，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×1×2+12×1×1=32；
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b＞mx的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1．
题型1 反比例函数的图象
题型2 反比例函数图象的对称性
题型3 反比例函数的性质
题型4 反比例函数系数k的几何意义
题型5 反比例函数图象上点的坐标特征
题型6 待定系数法求反比例函数解析式
题型7 反比例函数与一次函数的交点问题
解｜题｜知｜识
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣0.5
﹣1
﹣2
﹣5
7
4
3
2.5
…
解｜题｜知｜识
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
解｜题｜知｜识
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
解｜题｜知｜识
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
解｜题｜知｜识
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
解｜题｜知｜识
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
解｜题｜知｜识
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
水的质量x/g
4.5
9
18
36
45
氢气的质量y/g
0.5
1
2
4
5