初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）27.3 实际问题与反比例函数学案

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题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26423" 【题型1 实际问题中的反比例函数关系式】 PAGEREF _Tc26423 \h 1
\l "_Tc16435" 【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 PAGEREF _Tc16435 \h 4
\l "_Tc2949" 【题型3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc2949 \h 7
\l "_Tc22119" 【题型4 工程工作类反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc22119 \h 13
\l "_Tc8236" 【题型5 行程问题类反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc8236 \h 16
\l "_Tc28881" 【题型6 经济生活类反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc28881 \h 20
\l "_Tc11640" 【题型7 表格类反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc11640 \h 23
\l "_Tc625" 【题型8 方案设计类反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc625 \h 27
\l "_Tc24235" 【题型9 反比例函数与一次函数的综合实际应用】 PAGEREF _Tc24235 \h 34
考点
用反比例函数解决问题
知识点 利用反比例函数解决问题
1. 反比例函数y=kx(k≠0)中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围．
2. 常见反比例关系举例
（1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为y=Sx(00)；
（3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为p=FS(S>0)；
（4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为I=UR(R>0)；
（5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为t=Ln(n>0)．
【题型1 实际问题中的反比例函数关系式】
【例1】（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度v（kmh）和运行时间t（h）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据：
则最符合下v与t之间的关系式是（ ）
A．v=158tB．v=158tC．v=t158D．v=158+t
【答案】A
【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合S=v·t，判定v与t是成反比例函数的，计算出定值即可．
本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
【详解】解：沪杭高铁的总里程是固定的．
由S=v·t得v=St，
由158=S1得，s=158.0，
根据表格中的数据可以计算出最符合v与t之间的关系式是v=158t，
故选：A．
【变式1-1】港珠澳大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为_________．
【答案】t=55v
【分析】依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式．
【详解】解：∵大桥全长近55km，
∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t=55v，
故答案为：t=55v．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
【变式1-2】一批零件200个，一个工人每小时做10个，用关系式表示人数y(个)与完成任务所需的时间x(小时)之间的函数关系式为_______．
【答案】y＝20x
【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式．
【详解】解：由题意得：人数x与完成时间y之间的函数关系式为y=200÷10x=20x．
故答案为y=20x．
【点睛】此题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
【变式1-3】小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为______．

【答案】m=100n
【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式为m⋅OA=20×OB，则m=20×OBOA，5OA=n⋅OB，则n=5×OAOB，即可得到答案．
【详解】解：如图，

由图1可得m⋅OA=20×OB，则m=20×OBOA，
由图2可得5OA=n⋅OB，则n=5×OAOB，
∴mn=20×OBOA⋅5×OAOB=100，
故答案为：m=100n
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，准确列出等式是解题的关键．
【题型2 实际问题中的反比例函数图象】
【例2】（2025九年级·全国·专题练习）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：kmh）之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意可知时间y与行驶速度x之间的函数关系式为y=100xx>0，
∴函数图象大致是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，同时要注意自变量的取值范围．
【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流IA与电阻RΩ的关系图象，该图象经过点P880,0.25．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．当R>1000Ω时，I>0.22A
B．I与R的函数关系式是I=220R(R>0)
C．当880Ω1000时，I0，
∴V>0时，溶液浓度C随溶液体积V的增大而减少
所以，当稀释后溶液浓度不低于20%时，溶液体积V不高于75mL．
【变式3-2】（2026·河南·二模）如图1，取一根长150cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点O处并将其吊起来．在点O左侧10cm处挂一个物体，在点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），弹簧测力计的示数F（单位：N）也随之变化，下表记录了几组L和F的值．
(1)求出F关于L的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象；
(2)已知杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即物体所受重力×物体到点O的距离=对弹簧测力计的拉力×弹簧测力计到点O的距离，求点O左侧所挂物体所受的重力；
(3)若使弹簧测力计的示数不超过5N，则L的取值范围为 ．
【答案】(1)F=80L，图像见解析
(2)点O左侧所挂物体所受的重力为8N
(3)16≤L≤75
【分析】（1）根据表格信息可得FL=1×80=80，进一步可得解析式，再描点画图即可；
（2）设重力为G，可得10G=80，进一步可得答案；
（3）根据80L≤5及木棒的中点为O可得答案．
【详解】（1）解：由题意，得：FL=1×80=80，
∴F=80L，
如图，
（2）解：设重力为G，
∴10G=80，
解得：G=8N．
（3）解：∵弹簧测力计的示数不超过5N，
∴80L≤5，
解得：L≥16，
∵O为一根长150cm的匀质木杆的中点，
∴L≤75，
综上：16≤L≤75．
【变式3-3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R=R1+R2，已知R1= 5Ω，实验测得当R2=25Ω时，I=0.3A．
(1)求I关于R的函数表达式．
(2)经测试，当电流在0.1~0.25之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻R2的取值范围．
【答案】(1)I=9RR>0
(2)31Ω≤R2≤85Ω
【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）设函数表达式为I=kR​，先求得R，再结合I=0.3A，求出I关于R的函数表达式；
（2）先得出R=9I，再得出R2=R−5，然后分别求出当I=0.1A与I=0.25A时R的值，从而可分别求得R2的值，结合反比例函数的增减求解即可．
【详解】（1）解：设函数表达式为I=kR​，
∵R1=5Ω，R2=25Ω，
∴R=R1+R2=5Ω+25Ω=30Ω，
∵I=0.3A，
∴0.3=k30​，
解得：k=9，
∴I关于R的函数表达式为I=9RR>0；
（2）解：∵I=9RR>0，
∴R=9I，
∵R=R1+R2，R1=5Ω，
∴R2=R−R1=R−5，
当I=0.1A时，R=90.1=90Ω，
∴R2=90−5=85Ω，
当I=0.25A时，R=90.25=36Ω，
∴R2=36−5=31Ω，
∵I=9RR>0，
∴I随R的增大而减小，
∴31Ω≤R2≤85Ω．
【题型4 工程工作类反比例函数的应用】
【例4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．

(1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）．
①请直接写出y与x的函数关系式；
②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？
(2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．
【答案】(1)①y=300000x；②50天
(2)7500 m3
【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令y=6000求得x即可；
（2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送x+2500立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得：
300000=xy，即y=300000x；
②令y=6000时，则x=3000006000=50（天）．
答：该公司完成全部运输任务需要50天．
（2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送x+2500立方米，
由题意得，300000x=300000x+2500+10
解得x1=7500，x2=−10000（不合题意，舍去）
检验：当x=7500时，75007500+2500≠0
所以，x=7500是原分式方程的解．
答：该公司原计划每天运送土石方为7500m3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键．
【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路．
(1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？
(2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？
【答案】(1)v=1200t(t>0)
(2)提前10天
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确列出反比例函数关系式是解题的关键．
（1）根据工作效率=工作量÷工作时间，列出关系式即可；
（2）将v=40和v=30代入（1）中求得的解析式，求出t值，作差后即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，得v=1200t(t>0)，
（2）解：当v=40时，则40=1200t，
解得：t=30，
当v=30时，则30=1200t，
解得：t=40，
∵40−30=10(天)，
∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程．
【变式4-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数y（天）是每天完成的工程量x(m/天）的反比例函数，其图象经过点(375,8)．
(1)求这一函数的解析式；
(2)已知该志愿者团队每天能够清理河道500m，清理完这条河道一共需要多少天？
【答案】(1)y=3000x；
(2)清理完这条河道一共需要6天．
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当x=500时，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx，
∵点375,8在函数图象上，
∴k=375×8=3000，
∴所求函数解析式为y=3000x；
（2）解：当x=500时，y=3000500，
∴y=6，
答：清理完这条河道一共需要6天．
【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，a与t之间的关系如表所示：
细心的小明发现：每天运输的吨数a（吨）与运输的天数t（天）成反比例．
(1)求出每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数关系式；
(2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数．
【答案】(1)a=600t
(2)3天
【分析】本题考查反比例函数的应用．
（1）根据“每天运输的吨数×运数的天数=货物总量”写出t与a的关系；
（2）将a=200代入t与a的关系，求出对应t的值即可．
【详解】（1）解：∵600×1=300×2=150×4=600，
∴at=600，
∴a=600t，
即每天运输的吨数a与运输的天数t之间的函数关系式为a=600t；
（2）解：当a=200时，200t=600，
解得t=3，
即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天．
【题型5 行程问题类反比例函数的应用】
【例5】（25-26八年级上·新疆·月考）一艘船计划装载900吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成．
(1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围：
(2)若要求在1.5至2小时之间（包括1.5小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围．
【答案】(1)y=900x，00；
（2）解：当x=10时，则y=16010=16，
∴可以采购16副护腕．
【变式6-3】近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
(2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
(3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？
【答案】(1)y=9x，首付款为3万元
(2)每月应付0.45万元
(3)他每月至少应付0.3万元，可在期限内结清余款
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答；
（1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于k的绝对值，由图可知1.8×5=9，即可求出解析式．
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值．
（3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围．
【详解】（1）解：由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y=kx，
把(5,1.8)代入关系式得1.8=k5，
∴k=9，
∴y=9x，
∴12−9=3（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）解：当x=20时，y=920=0.45（万元），
答：每月应付0.45万元；
（3）解：当x=30时，y=0.3，
答：他每月至少应付0.3万元，可在期限内结清余款．
【题型7 表格类反比例函数的应用】
【例7】（24-25七年级上·河南安阳·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：时）与出水速度v（单位：吨/时）之间的关系如下表：
请结合表格解答下列问题：
(1)池子中原有水 吨；
(2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？
(3)用式子表示t与v之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时．
【答案】(1)10
(2)出水速度是随着时间的增大而减少；
(3)水口打开5小时，出水速度是2吨/时．
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
（1）利用表格数据即可作答；
（2）根据表格数据可知，出水速度是随着时间的增大而减少；
（3）根据（1）知t=10v，令v=2，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵10×1=8×1.25=5×2=4×2.5=10，
∴池子中原有水10吨；
故答案为：10；
（2）解：由表格知，出水口打开后，出水速度越大，所用时间越短，
∴出水速度是随着时间的增大而减少；
（3）解：由（1）知，tv=10，
∴t=10v，
令v=2，则t=10v=5，
∴水口打开5小时，出水速度是2吨/时．
【变式7-1】（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表：
已知学生等待时间不超过30分钟．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度；
(3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？
【答案】(1)y=100x1≤x≤30
(2)12.5
(3)10
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：
（1）观察表格发现：1×100=2×50=5×20=10×10=20×5=100，然后设y=kx，把x=1，y=100代入求解即可；
（2）把x=8代入（1）中所求函数关系式，即可求解；
（3）把y=10代入（1）中所求函数关系式，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）解：观察表格发现：1×100=2×50=5×20=10×10=20×5=100，
则设y=kx，
∴100=k1，
解得k=100，
∴y=100x1≤x≤30；
（2）解：当x=8时，y=1008=12.5，
∴学生的满意度为12.5；
（3）解：当y=10时，10=100x，
解得x=10，
草图如下：
由图象知：当1≤x≤10时，y≥10，
∴最多可以让学生等待10分钟．
【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·月考）“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻R，经过测量发现，电阻R的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度kBAC之间的变化关系如下表：
(1)根据表中数据，求电阻R的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度kBAC之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于20mg/100ml且小于80mg/100ml时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻R的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？
【答案】(1)
R=40k
(2)
当测酒仪中核心部件电阻R的阻值在50