初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定综合训练题，共16页。试卷主要包含了工人师傅常用角尺平分一个任意角，已知，如图，AB⊥CD，且AB＝CD等内容，欢迎下载使用。
1．如图，AE＝CE，添加下列条件后不能判定△ABE≌△CDE的是（ ）
A．BE＝DEB．AB＝DCC．∠B＝∠DD．∠A＝∠C
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，即CM＝CN，通过三角形全等，可知过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
3．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为边BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG延长线于点E．有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝EF；③F为EG的中点；④∠ADC＝∠BDF；⑤G为CF的中点．其中正确的有（ ）
A．②③④B．①④⑤C．①②④D．①③⑤
4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD
5．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（ ）
A．44°B．66°C．88°D．92°
8．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（ ）
A．a+cB．b+cC．a﹣b+cD．a+b﹣c
9．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF
二．填空题
1．如图，△ACB中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝ 度．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，过点E作EF⊥AB，∠B＝∠EAF+∠BCD，AE＝CD．点G在BC上，且CG＝BE．给出以下结论：①AD＝CG；②AD＝2BF；③若DC∥FE，则∠AEF＝2∠BEF；④∠EAF＝∠CDG，其中一定成立的有 ．
3．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD．要使△ABC≌△ABD，还需增加一个条件可以是 ．
4．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
5．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是 （填序号）
三．解答题
1．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．连接DC，EC．
（1）求证：△ADC≌△BCE；
（2）求证：AD＝AF．
2．如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：△ABD≌△CBE．
3．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
4．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵AC与BD交于点E，
∴∠AEB＝∠CED，
在△ABE和△CDE中，
AE=CE∠AEB=∠CEDBE=DE，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
故A不符合题意；
∵“AE＝CE，AB＝DC，∠AEB＝∠CED”不符合全等三角形的判定定理，
∴添加条件“AB＝DC”后不能判定△ABE≌△CDE，
故B符合题意；
在△ABE和△CDE中，
∠B=∠D∠AEB=∠CEDAE=CE，
∴△ABE≌△CDE（AAS），
故C不符合题意；
在△ABE和△CDE中，
∠A=∠CAE=CE∠AEB=∠CED，
∴△ABE≌△CDE（ASA），
∴故D不符合题意，
故选：B．
2．【解答】解：在△MOC和△NOC中，
OM=ONCM=CNOC=OC，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC，
∵点M、N分别在OA、OB上，
∴射线OC是∠AOB的平分线，
故选：A．
3．【解答】解：∵CG⊥AD，
∵∠AGC＝∠BCA＝90°，
∴∠CAD+∠ACG＝∠BCE+∠ACG＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵AC＝CB，∠ACD＝∠CBE＝90°，
∴△ADC≌△CEB（ASA），
故①符合题意；
∵△ADC≌△CEB（ASA），
∴CD＝BE，
∵AD为边BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∴BD＝BE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BDF＝45°，
∴∠EBF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBF＝∠EBF，
∵BF＝BF，
∴△BDF≌△BEF（SAS），
∴DF＝FE，
故②符合题意；
∵FG⊥AC，
∴FD＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
故③不符合题意；
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ADC＝∠E，
∵△BDF≌△BEF，
∴∠BDF＝∠E，
∴∠ADC＝∠BDF，
故④符合题意；
如果G为CF的中点，
∴AD垂直平分CF，
∴DF＝DC，
∵DC＝BD，
∴DF＝BD，
∴∠BFD＝∠DBF，∠DFC＝∠DCF，
∴∠BFD+∠DFC＝∠DBF+∠DCF，
∴∠BFD+∠DFC=12×180°＝90°，
∵∠AGF＝90°，
∴∠BFG不可能等于90度，
∴G不是CF的中点，
故⑤不符合题意．
∴其中正确的有①②④．
故选：C．
4．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
5．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
6．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
7．【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°，
故选：D．
8．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵EF＝c，
∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，
故选：D．
9．【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，
共3+0+1＝4个，
故选：D．
10．【解答】解：在△ABC和△DEB中，
AC=BDAB=EDBC=BE，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB＝∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，
∠ACB=12∠AFB，
故选：C．
二．填空题
1．【解答】解：∵AD和BE是△ABC的两条高，
∴AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∵AD、BE交于点H，
∴∠BDH＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠HBD+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠HBD＝∠CAD，
在△HBD和△CAD中，
∠HBD=∠CAD∠BDH=∠ADCBH=AC，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABC，
∵∠DAB+∠ABC＝90°，
∴2∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45．
2．【解答】解：在AB上取一点H，使得FH＝BF，
∵EF⊥AB，
∴BE＝HE＝CG．
∴∠B＝∠BHE，∠BEF＝∠HEF．
∵∠BHE＝∠EAF+∠AEH，∠B＝∠EAF+∠BCD，
∴∠AEH＝∠BCD．
在△AEH和△DCG中，
AE=DC∠AEH=∠DCGEH=CG，
∴△AEH≌△DCG（SAS）．
∴AH＝DG，∠EAF＝∠CDG，故④正确；
∵∠B＝∠EAF+∠BCD＝∠CDG+∠BCD＝∠DGB，
∴BD＝DG＝AH．
∴AH﹣DH＝BD﹣DH，即AD＝BH，
若AD＝CG＝HE，
∴HE＝BH＝BE，三角形BEH为等边三角形，∠B＝60°，不一定成立，故①错误；
若DC∥FE，
∴∠BEF＝∠DCG＝∠AEH，
又∵∠BEF＝∠HEF，
∴∠AEF＝∠AEH+∠HEF＝2∠BEF，故③正确．
故答案为：②③④．
3．【解答】解：这个条件可以是AC＝AD，
由条件可知∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AB=ABAC=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
4．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
5．【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
BD=BC∠ABD=∠CBDBE=BA，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∴②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直于BC，
∴EF≠EC，
∴③错误；
④由③知AD＝AE＝EC，
∴④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题
1．【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
AC=BE∠A=∠BAD=BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）证明：由（1）知：△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，∠ADC＝∠BCE．
∴∠CDE＝∠CED．
∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED＝∠AFD，即∠ADF＝∠AFD，
∴AD＝AF．
2．【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠ECB，
在△ABD与△CBE中，
AB=CB∠A=∠BCEAD=CE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
3．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
4．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．