人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线课后复习题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线课后复习题，共16页。试卷主要包含了已知，如图，在中，已知等内容，欢迎下载使用。
知识点1 作角平分线（尺规作图）
1．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到的平分线，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
3．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（ ）
A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都不对D．甲、乙都对
5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（ ）
A．图1B．图2C．图3D．图4
7．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________．
8．已知：（如图所示）．求作：的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（由作图，得到条件________）
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C．（由作图，得到条件________）
（3）作射线，射线即为所求．（写出平分的原因：__________________）
9．如图，在中，已知．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连接并延长交于点D，则_________．
知识点2 角平分线的性质定理
10．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（ ）
A．3B．4C．2.5D．2
11．下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（ ）
A．21B．24C．27D．30
13．如图，平分，垂直于点，的面积等于，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm．
16．如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________．
17．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____．
18．如图，是的角平分线，已知cm，cm，则_________．
知识点3 角平分线的判定定理
19．如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（ ）
A．B．C．D．
20．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点B．重心
C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点
21．如图，中，，，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
22．如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______．
23．如图，中，平分，平分．
（1）和的数量关系________；
（2）若，连接，则________度．
24．小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°．
知识点4 角平分线的实际运用
25．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
26．如图，在中，，平分，，，则的长为______．
27．如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____．

28．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等．
(1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）；
(2)你的作图依据是 ．
29．在中，是边上的点（不与点，重合），连接．
(1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）．
(2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值．
30．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题：
经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比．
过点作于点于点，过点作于点．
平分，且点，于点，
∴___________，
∴___________，
又∵___________，
∴．
(1)请你补全小海同学的证明过程；
(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！
甲方案
将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线．
乙方案
用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线．
14.3 角的平分线
参考答案及解析
知识点1 作角平分线（尺规作图）
1．A
【分析】本题主要考查了尺规作图及全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹得出，，利用证明，得出，即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，
由尺规作图可知，，，
在和中，，
∴，
∴．
∴得到的依据是．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查的知识点是角平分线的尺规作图，坐标与图形的性质，解题关键是了解第一象限的角平分线上点的特征．
根据作图方法可得点在第一象限的角平分线上，根据第一象限的角平分线上点的特征即可得解．
【详解】解：依题意得，点在第一象限的角平分线上，
点的横坐标、纵坐标相等，
，
即．
故选：．
3．A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，结合作图得又因为，故，即可作答．
【详解】解：观察作图过程得
∵，
∴，
∴，
故选：A，
4．D
【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键．
根据角平分线的判定定理解题即可．
【详解】解：甲方案：由图可知，点到的两边距离相等，
∴平分；
乙方案：由图可知，在和中，
∴≌，
∴，
∴平分；
∴甲、乙都对．
故选：D ．
5．B
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题.
求出的度数，角平分线的定义，得到的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，尺规作图．根据作图痕迹，运用相关知识逐一进行判断即可．
【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线；
图2中，由作图可知，
∴，，
∴，
∴，
∴为的平分线；
图3为过点O作，则射线不一定是的平分线；
图4中，由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线．
故选：C．
7．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：观察作图痕迹，得出平分，
则，
观察作图痕迹，得出是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
则，
故答案为：．
8． ∵，，，∴，∴．
【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质；
（1）由作图可得答案；
（2）由作图可得答案；
（3）证明即可得到结论．
【详解】解：（1）由作图可得：；
故答案为：
（2）由作图可得：；
故答案为：
（3）∵，，，
∴，
∴；
∴射线即为所求．
故答案为：∵，，，∴，∴．
9．
【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理；
先利用三角形内角和定理求出，再根据作图知平分，求出，再利用三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
由作图知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
知识点2 角平分线的性质定理
10．D
【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案．
【详解】解：如图，过F点作于H点，
，，
，
由作图知，平分，
，
，
，
点到的距离为2．
11．C
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断．
【详解】解：点到、两边距离相等，
点在的角平分线上，
由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意．
12．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由题知，因为平分交于，
所以点到和的距离相等．
因为于点，且，
所以点到和的距离都是，
所以
因为，，
所以
故选：A
13．C
【分析】本题考查了角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于，然后根据的面积=的面积+的面积，列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵平分垂直于于E点，
∴点D到的距离等于的长度，
∵，
∴
，
∵的面积等于90，
∴，
解得．
故选：C．
14．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
故选：A．
15．3
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是的角平分线，，，
∴．
即点到的距离是．
16．
【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：是的角平分线，，，
，
∵，，，
∴，
解得，，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键；
过点分别作，，垂足分别为点，，根据角平分线的性质得到，表示面积，，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为点，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，，
∵cm，cm，
∴，
故答案为：．
知识点3 角平分线的判定定理
19．B
【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解．
【详解】解：∵到，的距离均为米，
∴是的角平分线，
∵，
∴
故选：B．
20．A
【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】解：∵点P到三边的距离相等，
∴点P是三条角平分线的交点，
故选A．
21．A
【分析】本题主要考查三角形内角和及角平分线的判定定理，熟练掌握三角形内角和及角平分线的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可得平分，进而问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴；
故选A．
22．/度
【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题．
【详解】解：于点，于点，且，
，
，
，
故答案为：．
23． 50
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键．
（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得；
（2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得．
【详解】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
（2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
又∵点在的内部，
∴是的角平分线，
∴，
故答案为：50．
24．
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识，
连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案．
【详解】解：连接，过点M作于点H，
由题意可得：，，
∠EOM=∠MOB，
点E，F对应的刻度分别为，
EF=EM=5cm，
∴ME⊥OE，
，
∠EOM＝∠EOF，
∴∠EOM＝∠EOF＝∠MOB
∴∠AOB=66，
∠EOB=44．
故答案为：．
知识点4 角平分线的实际运用
25．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
．
故选：B．
26．
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解．
【详解】解：作于点，如图：
∵，
∴，
∵平分，，，
∴．
∵，，
故，
即．
故答案为：．
27．8
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．
角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为F，
是的角平分线，，
，
，，
，
．
故答案为：8．
28．(1)如图，点即为所求．
(2)到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可；
（2）利用角平分线的判定解答即可．
【详解】（1）略
（2）略
29．(1)
(2)9
【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点．
是的平分线，，，
．
，，
．
（2）解：，
．
，
．
，，平分，
∴由（1）知，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题．
30．(1)，，
(2)成立，证明见解析
【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键．
（1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案；
（2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：
平分，且于点，于点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）解：成立．
已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点．
求证：．
证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：
平分，，，
∴，
∴，
又∵，
∴＝．