14.2.1 用“SAS”判定三角形全等课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定教课ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了课堂导入，情境引入，探究与应用，探究新知，一条边相等，一个角相等，①两个角相等，②两条边相等，合作探究，解2①全等等内容，欢迎下载使用。
有一位工匠师傅，不小心把一块漂亮的三角形玻璃摔碎了，手里只剩下一个角和两条边的碎片。他非常着急，因为他想配一块和原来一模一样的玻璃。这块破碎的玻璃还能“复原”吗？这就是我们今天要探索的数学奥秘。
? 开动脑筋想一想：只拿着“一个角和两条边”的碎片，能配出与原来完全一样的玻璃吗？要确定两个三角形全等，到底需要哪些关键信息呢？
锁定目标：三角形全等的判定！
核心思考：从“全部条件”到“部分条件”，如何用最少、最关键的元素来确定三角形的形状和大小，是我们本节课要解决的核心问题。
核心思考：寻找全等判定的“密码”我们知道一个三角形包含6个元素：3条边和3个角。如果要判定两个三角形全等，难道必须要这6个元素全部对应相等吗？最少需要知道几个元素对应相等，就能确定两个三角形全等呢？
1个条件？只给一条边或一个角，能画出唯一确定的三角形吗？
2个条件？如果是两条边、两个角或一边一角，能保证全等吗？
3个条件？三个元素的组合有哪些？这会不会是解开谜题的关键？
化身侦探！让我们一起动手探索、验证，找出判定三角形全等的第一个“密码”！
由全等三角形的定义可知,如果两个三角形满足三条边分别相等,三个角分别相等,那么这两个三角形全等.能否在上述六个条件中选择部分条件,简捷地判定两个三角形全等呢?
(1)先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
解:(1)画图略,不一定全等.
我们按照条件由少到多的顺序进行研究：
① 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与 △A'B'C' 满足一个条件（一边或一角分别相等）. 你画出的△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？
② 满足两个条件（两边、一边一角或两角分别相等）时，△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？
③一个角和一条边相等：
动手实践：绘制特定三角形请大家拿出纸、笔和尺子，尝试画一个三角形。具体要求为：确定两条边的长度分别是4厘米和6厘米，并且这两条边的夹角为60度。完成绘制后，与同桌交换作品对比，看看你们画出的三角形是否完全一样？能否重合？
? 核心绘制参数1. 边长设定：选取两条线段，长度严格为4厘米和6厘米。2. 角度限定：两条边相交形成的夹角必须为60°，注意区分夹角与其他外角。
关键点：边-角-边（SAS）的固定性
? 分步操作指南① 基础：先画一条6厘米的线段作为底边；② 定角：以一端点为顶点，用量角器画出60°角；③ 截边：在角的另一条边上截取4厘米线段；④ 收尾：连接剩余两个端点，形成三角形。
思考：为什么大家的图形会完全重合？
互动小结：当三角形的两条边及其夹角确定时，这个三角形的形状和大小就唯一确定了。这就是三角形全等判定中“边角边（SAS）”的基本原理。
探究发现：惊人的一致同学们在动手绘制和同桌对比后，是不是发现了一个有趣的现象？只要我们规定了三角形的两条边的长度，以及这两条边的夹角大小，无论谁来画，最终得到的三角形的形状和大小都是唯一的、完全重合的！
现象思考为什么会出现这样的结果呢？这说明当“两边+夹角”这三个关键要素确定后，三角形的其他要素（第三边长度、另外两个角的大小）就被唯一确定了，无法更改。
核心判定“密码”我们由此得出重要结论：两条边和它们的夹角这三个条件，足以“锁定”一个三角形的形状和大小。这就是三角形全等的第一个判定定理——“边角边”（SAS）的直观来源！
总结：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
(2)如图14-2-1,在△A'B'C'和△ABC中,∠A'=∠A,A'B'=AB,A'C'=AC.①直观判断△A'B'C'和△ABC是否全等;
②请对你的判断进行说明.
解:②如图,由∠A'=∠A可知,如果使点A'与点A重合,并且使射线A'B'与射线AB重合,那么射线A'C'与射线AC重合.再由A'B'=AB,A'C'=AC,可知点B',C'分别与点B,C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC.
两边一角两角一边三边三角
当满足三个条件时，△ABC 与△A'B'C' 全等吗？分哪几种情况？
②两边和其中一边的对角
如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？
三角形全等的判定公理 1有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”公理，英文缩写“SAS”）
几何语言表述（在△ABC和△DEF中）：AB = DE (已知 对应边相等)∠B = ∠E (已知 对应夹角相等)BC = EF (已知 对应边相等)∴ △ABC ≌ △DEF (SAS)
SAS公理的关键核心：“夹”字！夹角，是指由两条边共同组成，且被这两条边“夹”在中间的那个角。它是判定三角形全等的核心要素，找不对夹角，就无法正确应用SAS公理。
✔ 正确示范：认准“中间”在△ABC中，边AB和边AC的夹角是∠A。这个角的顶点是两条边的公共端点，且角的两边正好就是AB和AC，完美被“夹”在两条边中间。
结论：∠A 是 AB 与 AC 的夹角，符合SAS“夹”的定义。
✘ 错误示范：混淆“邻角”边AB和边BC的夹角是∠B，而不是∠A。∠A虽然和AB有关，但它不是AB与BC的公共角，也没有被这两条边“夹”在中间，所以不能作为夹角。
误区警示：不是任意相关的角都能算，必须是两条边的公共角且位于中间。
? 核心总结：夹角 = 两条边的公共端点形成的角，且角的两边就是这两条边。简言之：“两边夹一角”，缺一不可。
两个三角形全等的判定方法——边角边:　　　 　和它们的　　　　分别相等的两个三角形全等(可以简写成“　　　　”或“　　　　”). 
在证明两个三角形全等时,如果已知两组边分别相等,那么可根据题意去寻找两组相等边的夹角相等,利用“SAS”证明两个三角形全等.
如图，由∠A' =∠ A 可知：
① 使点 A 与点 A' 重合并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合.
② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合.
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
分析：要运用SAS公理证明三角形全等，关键是梳理“边—角—边”的逻辑结构。需先明确两个三角形的对应顶点，再依次列出两条对应边和它们的夹角条件，最后推导出全等结论。
导问：我们已经掌握了SAS全等判定公理，那么如何用严谨的数学符号语言，把证明过程规范地书写出来呢？
规范书写格式：在 △ABC 和 △DEF 中：AB = DE （已知/已证，对应边）∠B = ∠E （已知/已证，两边的夹角）BC = EF （已知/已证，对应边）∴ △ABC ≌ △DEF (SAS)? 核心要点：书写时务必将“角”的条件写在中间，两条“边”的条件分列两侧，形成直观的SAS结构；结论处必须注明判定依据。
角是两边的“夹角”是关键
思路剖析1. 锁定已知：题目给出两组对应边相等，即 OA = OC，OB = OD。2. 对照公理：根据SAS判定定理，已知两边，还缺少“两边的夹角相等”这一关键条件。3. 寻找夹角：OA与OB的夹角是∠AOB，OC与OD的夹角是∠COD。4. 关键证明：∠AOB 与 ∠COD 是对顶角，根据“对顶角相等”可得 ∠AOB = ∠COD。结论：三组条件（OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD）齐备，满足SAS，可证△OAB ≌ △OCD。
题目呈现如图，AC与BD相交于点O，已知 OA = OC，OB = OD。求证：△OAB ≌ △OCD。本题是对SAS全等判定定理的基础应用，核心在于如何从图形中挖掘隐含的“夹角相等”条件，体会几何证明中“找条件、补条件、证结论”的思维过程。
核心提示在利用SAS证明全等时，必须注意角是“两边的夹角”。对顶角、公共角、直角是几何证明中最常见的隐含等角条件，要善于观察图形特征。
教材典题)如图14-2-2,AC=AD,AB平分∠CAD,求证:∠C=∠D.
如图14-2-3,AC=BD,∠CAB=∠DBA,求证:BC=AD.
在△ABC 与 △ A′B′C′ 中，
∴△ABC ≌△A′B′C′ （SAS）
例 1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D.
可以证明 △ABC≌△ABD.
证明：∵AB 平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB . 在△ABC 和△ABD中，
∴△ABC ≌△ABD （SAS）
∴∠CAB =∠DAB.
分析：要证明△OAB ≌ △OCD，需依据全等三角形判定定理寻找条件。已知OA=OC，OB=OD，且∠AOB与∠COD是对顶角，可得∠AOB=∠COD，恰好满足“边角边（SAS）”的判定条件。
例1如图，已知OA = OC，OB = OD，∠AOB与∠COD是对顶角，求证：△OAB ≌ △OCD。
证明：在 △OAB 和 △OCD 中，OA = OC (已知)∠AOB = ∠COD (对顶角相等)OB = OD (已知)∴ △OAB ≌ △OCD (SAS)
【分析思路】1. 锁定已知条件：题目直接给出 AC=AD（一组对应边相等），∠CAB=∠DAB（一组对应角相等）。2. 挖掘隐藏条件：观察图形结构，AB 是 △ACB 和 △ADB 的公共边，因此 AB=AB（第二组对应边相等）。3. 匹配全等判定：两组边（AC=AD，AB=AB）及其夹角（∠CAB=∠DAB）分别相等，符合“边—角—边（SAS）”判定定理。4. 得出最终结论：依据 SAS 判定，可证得 △ACB ≌ △ADB。
题目呈现：如图，已知线段 AC=AD，且 ∠CAB=∠DAB，试证明 △ACB 与 △ADB 全等。这是一道典型的利用“边角边”判定全等的基础题型，关键在于发现图形中隐含的公共边条件，将分散的已知信息串联起来。
我们知道,如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等,那么这两个三角形全等吗?
活动2　理解“SSA”不能判定两个三角形全等
如图14-2-4,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,那么△ABC和△ABD全等吗?