初中数学北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定第2课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定第2课时教案，共9页。教案主要包含了归纳总结，教材例题等内容，欢迎下载使用。
课题
第2课时 矩形的判定
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P14-15
教学目标
1.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。
2.能够运用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。
3.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
教学重难点
重点：矩形判定定理的证明和应用。
难点：学生独立完成证明的过程，发展合情推理能力。
教学准备
多媒体课件、平行四边形活动框架。
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
上节课我们学习了矩形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在矩形？

师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是矩形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习矩形的判定。（教师板书课题： 第2课时 矩形的判定）
教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。
2.实践探究，学习新知
【探究1】
做一做：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。
教师活动：操作活动框架，并问：随着∠α的变化，两条对角线的的长度将发生怎样的变化？
学生回答：随着∠α的变化，两条对角线的长度一条变长，另一条变短。
师生活动：组织学生探究当两条对角线的长度相等时，平行四边形的特征，并进行猜想什么条件的平行四边形是矩形。
教师活动：我们可以发现：对角线相等的平行四边形是矩形。同学们能证明这个结论吗？
已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD。
求证：▱ABCD是矩形。
师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC。
又∵BC=CB，AC=DB，
∴△ABC≌△DCB。
∴∠ABC=∠DCB。
∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°。
∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°。
∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）。
【归纳总结】
定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言：如图，在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形。
【探究2】
想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角。反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
教师活动：多媒体动画演示四边形的内角是直角的个数，学生观察后得出猜想。
学生活动：猜想得到结论：三个角是直角的四边形是矩形。
教师提问：同学们能证明这个结论吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。
求证：四边形ABCD是矩形。
师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。
∴AD∥BC，AB∥CD。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∴四边形ABCD是矩形。
【归纳总结】
定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言：如图，在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
议一议：（小组交流）
教师活动：你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎么检查？
学生活动：先用绳子测量四边形的两组对边是否相等，相等则是平行四边形；再用绳子测量对角线是否相等，相等则是矩形。
教师追问：说明一下检查方法的合理性。
学生回答：对角线相等的平行四边形是矩形。
【教材例题】
例2 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求▱ABCD的面积。
教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4。
∴OA=OB=OC=OD=4。
∴AC=BD=2OA=2×4=8。
∴▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，
∴BC===4。
∴S▱ABCD=AB·BC =4×4=16。
引导学生考虑满足什么条件的平行四边形是矩形，教学时也可以根据实际情况进行适当的调整。当活动框架变化到两条对角线相等时，这个内角看上去是直角，此时平行四边形看上去是矩形。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。
利用多媒体引导学生通过逆向思考矩形的性质提出猜想“有三个角是直角的四边形是矩形”，并进行证明，发展学生合作交流意识、合情推理能力。
当学生知道判定方法后,自然引入实际应用,即教科书中的“议一议”，鼓励学生利用矩形的判定定理解决问题，让学生体会数学与生活的联系。
对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。可能会有学生没有证明▱ABCD是矩形，却想当然地认为它是矩形而直接计算。对此，教师应适时地加以启发引导。
3.学以致用，应用新知
考点1 对角线相等的平行四边形是矩形
例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A. ∠BAD=90° B. ∠BAD=∠ABC
C. ∠BAO=∠OBA D. ∠BOA=90°
答案：D
变式训练 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA的中点，有下列四个推断，
①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ可能不是四边形；
②若AC=BD，则四边形MNPQ一定是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形MNPQ一定是矩形；
④若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ也是菱形。
所有正确推断的序号是_________。
答案：②③
考点2 有三个角是直角的四边形是矩形
例2 依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）。

A B C D
答案：B
变式训练 如图，▱ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由。
解：四边形EFGH是矩形。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC。
∴∠DAB+∠ABC=180°。
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB=∠BAD，∠EBA=∠ABC。
∴∠EAB+∠EBA=∠BAD+∠ABC=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°。
∴∠AEB=90°。
∴∠HEF=90°。
同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°。
∴四边形EFGH是矩形。
通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件。
通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理。
4.随堂训练，巩固新知
1. 如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）
A. 菱形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 不能确定
答案：C
2. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB＝CD B. AD＝BC
C. AB＝BC D. AC＝BD
答案：D
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的四边形是矩形
答案：C
4. 已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。
求证：四边形BEDF是矩形。
证明：在▱ABCD中，AB=CD。
∵M是AD边的中点，
∴MA=MD，且MB=MC，
即△ABM≌△DCM。
∴∠A=∠D。
又∵∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°。
∴四边形ABCD是矩形。
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC。
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE为矩形。
解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACB。
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴∠B=∠EDC，AB=DE。
∴∠ACB=∠EDC。
∴△ADC≌△ECD。
（2）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°。
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，即AE平行且等于DC。
∴四边形ADCE是平行四边形。
而∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形。
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
矩形的判定：
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P16习题1.5中的T1、T2、T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第2课时 矩形的判定
一、定义法
二、对角线相等
三、有三个角是直角
提纲掣领，重点突出。
教后反思
在探究矩形的判定定理过程中，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急。此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法。还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。
反思，更进一步提升。