初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）1 认识一元二次方程优质第1课时学案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）1 认识一元二次方程优质第1课时学案设计，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，知识要点，典例精析等内容，欢迎下载使用。
第1课时 一元二次方程
【学习目标】
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
学习重点：理解一元二次方程的概念.
学习难点：理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
【复习导入】
1. 什么叫方程？我们学过哪些方程？
什么叫一元一次方程？
想一想：什么是一元二次方程呢？
【合作探究】
探究点：一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
思
考：问题中有哪些等量关系？
解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为 m，
根据题意，可得方程：
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .
根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙 m.
根据题意，可得方程：
议一议
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程. 那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ①
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ②
(x + 6)2 + 72 = 102 ③
【知识要点】
一元二次方程的概念：
一元二次方程的一般形式：
想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
【典例精析】
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
B. 3x² - 5xy + y² = 0
C (x - 1)(x - 2) = 0 D 4x²- 1 = (2x + 3)²
练一练
1. 判断下列方程是否为一元二次方程？
x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36；
(3)x + 3y = 36；
(5) x + 1 = 0；
(7)ax2 + bx + c = 0；
【典例精析】
例2 a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？
(1)ax2－x = 2x2 (2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
【典例精析】
例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.


当堂反馈
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A.x－2y＝2024B.x2＋1＝2x
C.x2－2y＋1＝0D.x2－2x＋1＝0
2.将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式(a＞0)后，一次项系数为( )
A.4B.－4C.－1D.1
3.两个连续奇数的平方和为130，若设较小的数为x，则可列方程为 .
4.[高频易错]若方程(m－1)x｜m｜＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，
则m的值为 .
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式(a＞0)，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)3x2－1＝2x；
(2)x(x－2)＝4x2－3x.
6.根据下列问题，列出一元二次方程，并化为一般形式.
(1)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm；
(2)如图，某中学有一块矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为1m的两条互相垂直的道路(阴影部分)，余下的四块矩形小场地建成草坪.若矩形场地的长与宽之比为2∶1，并且四块草坪的面积之和为144m2，设这块矩形场地的宽为xm.
参考答案
【合作探究】
探究点：一元二次方程的相关概念
问题1：
解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为( 8 - 2x)m，宽为( 5 - 2x) m，
根据题意，可得方程：( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.①
问题2：
解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：x + 1，x + 2，x + 3，x + 4.
根据题意，可得方程：x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. ②
问题3：
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙
6 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙x + 6 m.
根据题意，可得方程：(x + 6)2 + 72 = 102.③
议一议
特点：1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是2；3.整式方程．
知识要点
一元二次方程的概念：
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c为常数，a ≠ 0).
其中，ax2称为二次项，a称为二次项系数；bx称为一次项，b称为一次项系数；c称为常数项.
想一想
当 a = 0 时， bx＋c = 0，不符合定义；
当 a ≠ 0， b = 0 时，ax2＋c = 0，符合定义；
当 a ≠ 0， c = 0 时，ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a ≠ 0，b = c =0 时，ax2 = 0，符合定义．
例题精析
例1 C
判断 （1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）错 （6）对
（7）错 （8）
例题精析
例2
解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = - 1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
思考：ax + b = 0 (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2
典例精析
例3 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 - 8x，系数是 - 8；常数项是 - 10.
当堂反馈
1. D 2. B 3. x2＋(x＋2)2＝130 . 4. －1 .
5.解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3，
一次项系数为－2，常数项为－1.
(2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3，
一次项系数为－1，常数项为0.
6.解：(1)根据题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5000，
化为一般形式为4x2＋260x－1000＝0.
(2)由题意得(2x－1)(x－1)＝144，
化为一般形式为2x2－3x－143＝0.
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点