数学北师大版1 菱形的性质与判定当堂检测题

北师大版2021年九年级上册：1.1 菱形的性质与判定 同步练习卷

一．选择题

1．若菱形的周长为16，一组对边之间的距离为2，则菱形两邻角的度数比为（　　）

A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1

2．菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．80 B．60 C．40 D．30

3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别相等 

B．两组对角分别相等 

C．两条对角线互相平分 

D．每一条对角线平分一组对角

4．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）

A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE平分∠ABC D．BE⊥AC

5．已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．6 B．18 C．24 D．30

7．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，则∠EAF为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点D的坐标为（　　）

A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，﹣2）

9．如图，E，F分别是菱形ABCD的边AB，AD的中点，且AB＝5，AC＝6．则EF的长为（　　）

A．4 B．5 C．5.5 D．6

10．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（　　）

①S△ABE＝S△OBF；

②四边形EBFD是菱形；

③四边形ABCD的面积为OC×OD；

④∠ABE＝∠OBE．

A．①② B．②④ C．②③ D．③④

二．填空题

11．若一菱形的两条对角线为3cm、4cm，则这个菱形的周长是 　   　cm．

12．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为 　   　．

13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　 　（限填序号）．

14．四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为8，面积为2，则∠ABC为 　       　度．

三．解答题

15．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠A＝∠C．

求证：四边形ABCD为菱形．

16．如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．

17．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是

E，F，且BE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

18．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积．

19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．

（1）求证：AM＝DM；

（2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长．

20．如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：

（1）求证：OB＝OD；

（2）求证：四边形ABCD是菱形；

（3）求AM的长．

参考答案

一．选择题

1．解：如图，过点A作AE⊥BC于E，取AB中点F，连接EF，

∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为16，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，

∵点F是AB中点，AE⊥BC，

∴AF＝BF＝EF＝2，

∵AE＝2，

∴AF＝EF＝AE，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴∠B＝30°

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠B＝180°，

∴∠DAB＝150°，

∴菱形两邻角的度数比为150°：30°＝5：1，

故选：B．

2．解：菱形的面积＝＝＝40，

故选：C．

3．解：由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；

而平行四边形不具备这样的性质；

其他A，C，B均是菱形和平行四边形共有的性质．

故选：D．

4．解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，

理由：∵DE∥BC，

∴∠DEB＝∠EBC，

∵∠EBC＝∠EBD，

∴∠EBD＝∠DEB，

∴BD＝DE，

∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DBFE是平行四边形，

∵BD＝DE，

∴四边形DBFE是菱形．

其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，

故选：C．

5．解：∵菱形ABCD中，∠D＝150°，

∴∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，

∴∠BAC＝15°，

故选：B．

6．解：∵E，F分别是AD、AC的中点，

∴CD＝2EF＝6，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，

∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，

故选：C．

7．解：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AB＝BC，∠B＝60°°，∠ACD＝∠ACB，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°＝∠ACB＝∠ACD，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴∠BAE＝∠CAF，

∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝60°，

故选：C．

8．解：∵A（0，3），B（4，0），

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DA＝AB＝5，

∴OD＝2，

∴点D（0，﹣2），

故选：D．

9．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC＝AC＝3，AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∴OB＝＝＝4，

∴BD＝2OB＝8，

∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF是△ABD的中位线，

∴EF＝BD＝4．

故选：A．

10．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，

∵E、F分别是OA、OC的中点，

∴AE＝EO＝FO＝CF，

∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；

∵EO＝OF，BO＝DO，

∴四边形EBFD是平行四边形，

又∵AC⊥BD

∴四边形EBFD是菱形，故②正确；

∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC•OD，故③错误；

∵四边形EBFD是菱形，

∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；

故选：A．

二．填空题

11．解：如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝AC，BO＝BD，AC⊥DB，AB＝BC＝AD＝DC，

∵AC＝3cm，BD＝4cm，

∴AO＝（cm），BO＝2（cm），

∴AB＝＝＝（cm），

∴菱形ABCD的周长＝4AB＝10cm，

故答案为10．

12．解：∵BD＝4，AC＝3BD，

∴AC＝12，

∴菱形ABCD的面积＝＝＝24，

故答案为：24．

13．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC，

因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；

故答案为：①．

14．解：如图1所示：当∠BAC为钝角，过A作AE⊥BC，

∵菱形ABCD的周长为8，

∴AB＝2，

∵面积为2，

∴AE＝1，

∴∠ABC＝30°，

当∠BAC为锐角是，过D作DE⊥AB，

∵菱形ABCD的周长为8，

∴AB＝2，

∵面积为2，

∴AE＝1，

∴∠A＝30°，

∴∠ABC＝150°，

故答案为：30或150．

三．解答题

15．证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△ABD和△CBD中

，

∴△ABD≌△CBD（AAS），

∴AB＝BC，AD＝DC，

∵AB＝AD，

∴AB＝BC＝DC＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

16．证明：∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，

∴∠ABD+∠ABE＝×180°＝90°，

即∠EBD＝90°，

又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

∴四边形AEBD是矩形．

∴OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠OBD＝∠DBC，

∴∠ODB＝∠DBC，

∴OD∥BC，

∵CD∥AB，

∴四边形OBCD是平行四边形，

∵OB＝OD，

∴平行四边形OBCD是菱形．

17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（ASA）；

（2）由（1）得：△ABE≌△ADF，

∴AB＝AD，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是菱形．

18．解：∵菱形ABCD的周长为20，BD＝，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AC⊥BD，EB＝ED＝BD＝2，EA＝EC，

∴EA＝＝＝，

∴AC＝2EA＝2，

∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝20．

19．（1）证明：连接BD，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AB∥CD，

∵EF⊥AC，

∴EF∥BD，

∴四边形EFDB是平行四边形，

∴DF＝EB，

∵E是AB中点，

∴AE＝EB，

∴AE＝DF，

∵AB∥CD，

∴∠EAM＝∠ADF，

在△AEM和△DFM中，

，

∴△AME≌△DFM（AAS），

∴AM＝DM；

（2）解：∵AB∥CD，

∴∠AEM＝∠F．

又∵∠FMD＝∠AME，∠AME＝∠AEM，

∴∠FMD＝∠F，

∴△DFM是等腰三角形，

∴DF＝DM＝AD．

∴AD＝2DF＝6，

∴菱形ABCD的周长为6×4＝24．

20．（1）证明：∵AE∥BF，

∴∠ADO＝∠CBO，

在△AOD和△COB中，

，

∴△AOD≌△COB（AAS），

∴OB＝OD；

（2）证明：∵OB＝OD，OA＝OC，

∴四边形ABCD为平形四边形，

∵OB＝OD＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝5，

∴OB2+OA2＝AB2，

∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，

∴AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（3）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC＝AB＝5，

∴BC•AM＝AC•BD，

即5AM＝×6×8，

∴AM＝．