初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程精品第1课时同步训练题

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知识点01 分式方程的概念
分式方程的概念：
分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。
注意只需要判断原方程即可，不能化简之后判断。
【即学即练1】
1．下列关于x的方程①x−13=5，②1x=4x−1，③3−x3=x﹣1，④xa=1b−1中，是分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：①x−13=5，③3−x3=x﹣1，④xa=1b−1属于整式方程；
②1x=4x−1的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程．
故选：A．
知识点02 解分式方程
解分式方程的基本思路：
去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 最简公分母 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。
解分式方程的基本步骤：
①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程。
②解整式方程：
③检验：将解出的整式方程的解带入 最简公分母 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 增根 ，原分式方程无解。
④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。
注意解分式方程一定要检验。
【即学即练1】
2．解分式方程xx−2−2=x−12−x时，去分母正确的是（ ）
A．x﹣2＝x﹣1B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1
【答案】D
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣2）去分母得：x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1，
故选：D．
【即学即练2】
3．解方程：
（1）x2−22−x−xx−2=1−x； （2）5x2−x=4x−1−3x．
【答案】（1）x＝1；
（2）x＝2．
【解答】解：（1）x2−22−x−xx−2=1−x，
方程可变形为x2−22−x+x2−x=1−x，
方程两边同乘2﹣x，得x2﹣2+x＝（1﹣x）（2﹣x），
解得x＝1，
检验：当x＝1时2﹣x≠0，
所以原分式方程的解是x＝1；
（2）5x2−x=4x−1−3x，
方程可化为5x(x−1)=4x−1−3x，
方程两边同乘x（x﹣1），得5＝4x﹣3（x﹣1），
解得x＝2，
检验：当x＝2时x（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解是x＝2．
【即学即练3】
4．关于x的分式方程1x+2=kx−1的解是x＝2，那么k的值是（ ）
A．4B．2C．12D．14
【答案】D
【解答】解：∵关于x的分式方程1x+2=kx−1的解是x＝2，
∴12+2=k2−1，
即k=14，
故选：D．
【即学即练4】
5．已知关于x的方程xx−1−2=−3k1−x解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≠1B．k≠13
C．k＞23且k≠1D．k＜23且k≠13
【答案】D
【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝3k，
∴x＝﹣3k+2，
∵关于x的方程xx−1−2=−3k1−x解为正数，
∴﹣3k+2＞0，且x＝﹣3k+2≠1，
∴k＜23且k≠13．
故选：D．
【即学即练6】
6．如果关于x的分式方程x−5x−4−k4−x=5无解，那么实数k的值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：原方程去分母得x﹣5+k＝5x﹣20，
整理得4x＝15+k，
若方程无解，那么它有增根x＝4，
则15+k＝16，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【即学即练7】
7．若关于x的方程x−1x−2=mx−2+2产生增根，则m的值是（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1＝m+2x﹣4，
根据题意得：x﹣2＝0，即x＝2，
代入整式方程得：2﹣1＝m+4﹣4，
解得：m＝1．
故选：C．
题型01 判断分式方程
【典例1】下列各式中，是分式方程的是（ ）
A．16x25=1πB．2x=12C．x+y4−19=0D．2x+2x3
【答案】B
【解答】解：A．16x25=1π是一元一次方程，不符合题意；
B．2x=12是分式方程，符合题意；
C．x+y4−19=0是二元一次方程，不符合题意；
D．2x+2x3是代数式，不符合题意．
故选：B．
【变式1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A．x+3x=3B．x3+3xπ=25
C．3x−1=4xD．x2+1x−1=2
【答案】B
【解答】解：根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，A、C、D选项中都符合分式方程的定义，
故选：B．
【变式2】下列方程：①x−35=1；②3x=2，③1+x5+x=12，④x2+2x=5，是分式方程的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【答案】D
【解答】解：①的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
②③④的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：D．
题型02 解分式方程
【典例1】解分式方程1x−3−2=1−x3−x时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣2（x﹣3）＝1+xB．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x
C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣xD．﹣1+2（3﹣x）＝1+x
【答案】B
【解答】解：分式方程整理得：1x−3−2=x−1x−3，
去分母得：1﹣2（x﹣3）＝x﹣1．
故选：B．
【变式1】解分式方程：
（1）4xx2−9=1x+3； （2）62x−3+x3−2x=4．
【答案】（1）x＝﹣1；
（2）x＝2．
【解答】解：（1）4xx2−9=1x+3，
方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得4x＝x﹣3，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1；
（2）62x−3+x3−2x=4，
方程两边同时乘（2x﹣3），得6﹣x＝4（2x﹣3），
去括号，得6﹣x＝8x﹣12，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入2x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【变式2】解分式方程：
（1）3−2xx−2=x2−x−2； （2）7x2+x−6x2−1=3x−x2．
【答案】（1）x＝1；
（2）无解．
【解答】解：（1）3−2xx−2=x2−x−2，
去分母得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2），
去括号得：3﹣2x＝﹣x﹣2x+4，
移项合并同类项得：x＝1，
检验：把x＝1代入x﹣2得：1﹣2＝﹣1≠0，
∴x＝1是原方程的解；
（2）7x2+x−6x2−1=3x−x2，
去分母得：7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1），
去括号得：7x﹣7﹣6x＝﹣3x﹣3，
移项合并同类项得：4x＝4，
系数化为1得：x＝1，
检验：把x＝1代入x（x+1）（x﹣1）得：1×（1+1）×（1﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【变式3】解分式方程：
（1）2−xx−3+2=13−x； （2）1x−2−4x2−x−2=2x+1．
【答案】（1）原方程无解；（2）x＝1．
【解答】解：（1）2−xx−3+2=13−x，
2﹣x+2（x﹣3）＝﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3 时，分母x﹣3＝0，原方程无意义，
∴x＝3 是增根，原方程无解；
（2）1x−2−4x2−x−2=2x+1，
1x−2−4(x+1)(x−2)=2x+1，
（x+1）﹣4＝2（x﹣2），
x+1﹣4＝2x﹣4，
2x﹣x＝4﹣4+1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，x+1＝2≠0，原方程有意义，
∴x＝1是原方程的根．
题型03 根据分式方程的解求值或求范围
【典例1】已知关于x的方程a2a−x=13的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程a2a−x=13的解是x＝1，
∴a2a−1=13，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
【变式1】已知x＝1是分式方程2ax+3a−x=34的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【答案】D
【解答】解：把x＝1代入分式方程2ax+3a−x=34得：2a+3a−1=34，
去分母得：8a+12＝3a﹣3，
解得：a＝﹣3，
∵a﹣1＝﹣4≠0，
∴a的值为﹣3．
故选：D．
【变式2】已知关于x的分式方程1−mx−1−21−x=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m≤4且m≠3C．m≤0D．m≤0且m≠﹣1
【答案】B
【解答】解：方程1−mx−1−21−x=1的两边同时乘x﹣1，
得，1﹣m+2＝x﹣1，
解得x＝4﹣m，
∵方程的解为非负数，
∴4﹣m≥0，
∴m≤4，
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m≤4且m≠3，
故选：B．
【变式3】已知关于x的分式方程1−mx−1−2=21−x的解是正数，则m的值可能是（ ）
A．﹣3B．3C．5D．6
【答案】A
【解答】解：∵原方程为1−mx−1−2=21−x，且1﹣x＝﹣（x﹣1），
∴1−mx−1−2=−2x−1．
1−mx−1+2x−1−2=0，
即3−mx−1−2=0，
∴3−mx−1=2．
∴3﹣m＝2（x﹣1），
∴5﹣m＝2x，
∴x=5−m2，
∵解为正数，
∴5−m2＞0，即5﹣m＞0，
∴m＜5，
又∵x≠1，
∴5−m2≠1，即5﹣m≠2，
∴m≠3，
综上，m＜5且m≠3．
故选：A．
【变式4】若关于x的不等式组8−2x3＞24x≥a−2有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程ay−3−63−y=1的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣15 ．
【答案】﹣15．
【解答】解：解不等式组得：a−24≤x＜1．
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴这3个整数解为﹣2、﹣1，0，
∴−3＜a−24≤−2，
解得：﹣10＜a≤﹣6，
解分式方程得：y＝a+9，
∵分式方程的解为正数，
∴y＞0且y﹣3≠0．
由y＞0得a+9＞0，
∴a＞﹣9；
由y﹣3≠0得a+9﹣3≠0，即a≠﹣6．
结合不等式组和分式方程的条件，a的取值范围为﹣9＜a≤﹣6且a≠﹣6，
∴整数a为﹣8，﹣7，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣8+（﹣7）＝﹣15．
故答案为：﹣15．
题型04 分式方程的增根与无解
【典例1】若关于x的分式方程33−x+axx−3=2无解，则a的值是（ ）
A．3或2B．1C．1或3D．1或2
【答案】D
【解答】解：原方程去分母可得：
3﹣ax＝2（3﹣x），
3﹣ax＝6﹣2x，
（a﹣2）x＝﹣3，
根据题意，原分式方程无解，
①当a﹣2＝0时，即a＝2时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；
②当原分式方程最简公分母x﹣3＝0时，即x＝3，是原分式方程的增根，也符合题意，
此时，3（a﹣2）＝﹣3，
解得a＝1；
∴a的值是1或2，
故选：D．
【变式1】若关于x的方程3−2xx−3+2+mx3−x=−1无解，则m的值为（ ）
A．3B．−53C．3或−53D．﹣1或−53
【答案】D
【解答】解：∵3−2xx−3+2+mx3−x=−1无解，
∴去分母得：3﹣2x﹣2﹣mx＝﹣x+3，解得（m+1）x＝﹣2，
∵当m+1＝0时，即m＝﹣1，方程无解；
∵由分式方程无解，得x﹣3＝0，解得：x＝3，
∴把x＝3代入整式方程得：3﹣6﹣2﹣3m＝0，解得：m=−53，
∴方程无解则m的值为﹣1或−53．
故选：D．
【变式2】若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2有解，则m的值为（ ）
A．m≠4且m≠﹣6B．m≠﹣4且m≠﹣6
C．m≠1且m≠﹣4且m≠6D．m≠1且m≠4且m≠6
【答案】C
【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
整理得，（m﹣1）x＝﹣10，
∵分式方程 2x−2+mxx2−4=3x+2有解，
∴m﹣1≠0且x﹣2≠0且x+2≠0，
∴m≠1且−10m−1≠2且−10m−1≠−2，
∴m≠1且m≠﹣4且m≠6，
故选：C．
【变式3】解关于x的分式方程5+xx−2=m2−x，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．2或﹣2
【答案】B
【解答】解：分式方程的分母为x﹣2和2﹣x＝﹣（x﹣2），
令分母为零，得增根x＝2．
方程两边同乘x﹣2去分母，得：5（x﹣2）+x＝﹣m．
将增根x＝2代入整式方程：5×（2﹣2）+2＝﹣m，
即0+2＝﹣m，解得m＝﹣2．
故选：B．
【变式3】若关于x的分式方程x+m4−x2+xx−2=1有增根，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6
【答案】A
【解答】解：x+m4−x2+xx−2=1，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m﹣4＝2，
∴m＝6，
当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2，
∴m＝2，
∴m的值是6或2，
故选：A．
1．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．3+x2=1−x3B．x+15+a=2+x
C．3+xπ+x2=1D．5−x2+x=1
【答案】D
【解答】解：A.3+x2=1−x3，是整式方程，不符合题意；
B.x+15+a=2+x，是整式方程，不符合题意；
C.3+xπ+x2=1，是整式方程，不符合题意；
D.5−x2+x=1，是分式方程，符合题意；
故选：D．
2．把分式方程23x−6=53x化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．3xB．3（x﹣6）C．3x（x﹣2）D．3x（3x﹣6）
【答案】C
【解答】解：把分式方程整理可得：23(x−2)=53x，
∴23x−6=53x的最简公分母是3x（x﹣2），
∴把分式方程23x−6=53x化为整式方程，方程两边需要同时乘以3x（x﹣2），
故选：C．
3．将分式方程xx−2−22−x=3化为整式方程，正确的是（ ）
A．x﹣2＝3B．x+2＝3
C．x﹣2＝3（x﹣2）D．x+2＝3（x﹣2）
【答案】D
【解答】解：去分母得：x+2＝3（x﹣2），
故选：D．
4．下列关于方程2x+1+3x−1=6x2−1的说法不正确的是（ ）
A．各分式的最简公分母是（x+1）（x﹣1）
B．去分母，得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6
C．解这个分式方程转化成的整式方程，得x＝1
D．原方程的解是x＝1
【答案】D
【解答】解：∵方程的最简公分母是（x+1）（x﹣1），
∴A选项的说法不符合题意；
∵去分母，得整式方程为：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
∴B选项的说法不符合题意；
∵去分母，得整式方程为：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
去括号得：2x﹣2+3x+3＝6，
移项得：2x+3x＝6﹣3+2
合并同类项得：5x＝5，
∴x＝1，
∴C选项的说法不符合题意；
∵检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
∴D选项的说法符合题意，
故选：D．
5．分式方程2x+ax+1=2的解为x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：把x＝2代入原方程2x+ax+1=2，
得：1+a3=2，
解得：a＝3．
故选：C．
6．已知关于x的分式方程ax−3−1=13−x的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣4B．a≤﹣4
C．a＞﹣4且a≠﹣1D．a≥﹣4且a≠﹣1
【答案】C
【解答】解：方程ax−3−1=13−x可化为ax−3−1=−1x−3，
a﹣（x﹣3）＝﹣1，
a﹣x+3＝﹣1，
﹣x＝﹣4﹣a，
解得：x＝a+4，
∵原分式方程的解为正数，
∴x＞0且x≠3，
即a+4＞0且a+4≠3，
解得：a＞﹣4且a≠﹣1．
故选：C．
7．数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程mx−5=1，让同学们讨论该分式方程的解．A同学说：当m＜﹣5时，方程的解为负数；B同学说：当m＞﹣5时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（ ）
A．A，B同学都答对B．A，B同学都答错
C．只有A同学答对D．只有B同学答对
【答案】C
【解答】解：解分式方程得：x＝m+5，
当m＜﹣5时，x＝m+5＜0，解为负数，A同学说法正确；
当m＞﹣5时，x＝m+5＞0且m≠0时，解为正数，B同学说法错误，
故选：C．
8．若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为（ ）
A．1B．12C．1或12D．﹣1或−12
【答案】C
【解答】解：原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，
整理得（2a﹣1）x＝3a，
当2a﹣1＝0，a=12时，
0x=32无解，则原方程无解，符合题意，
当a≠12时，
若原方程无解，那么它有增根x＝3，
则3（2a﹣1）＝3a，
解得：a＝1，
综上，a的值为1或12，
故选：C．
9．若关于x的分式方程xx−2+m+12−x=2的解的取值范围为x≤3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤3C．m≥0且m≠1D．m≤0且m≠1
【答案】C
【解答】解：原方程整理得：xx−2−m+1x−2=2．
解得x＝3﹣m．
∵方程的解的取值范围为x≤3，
∴3﹣m≤3，
∴m≥0．
∵分母不能为0，即x﹣2≠0，
把x＝3﹣m代入得3﹣m﹣2≠0，
解得m≠1．
∴m的取值范围是m≥0且m≠1，
故选：C．
10．关于x的不等式组x−a≤0x−1≥4x−83的解集为x≤a，且关于y的分式方程y−ay−2−2y−52−y=1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【解答】解：解不等式组得x≤ax≤5，
∵不等式组的解集为x≤a，
∴a≤5，
原分式方程可化为：y−ay−2+2y−5y−2=1，
解得y=3+a2，
∵分式方程的解为正整数，
∴3+a2＞03+a2≠2，
解得a＞﹣3，a≠1，
∴a的取值范围：﹣3＜a≤5，且a≠1，
∵分式方程的解为正整数，
∴3+a＝2或3+a＝4或3+a＝6或3+a＝8，
解得a＝﹣1，a＝1，a＝3，a＝5，
∵a≠1，
∴所有满足条件的整数a的和为：7．
故选：C．
11．当x＝ 13 时，分式2xx−1的值比分式x−1x的值大1．
【答案】13．
【解答】解：∵分式2xx−1的值比分式x−1x的值大1，
∴列方程，得2xx−1−x−1x=1，
方程两边同时乘x（x﹣1），得2x2﹣（x﹣1）2＝x（x﹣1），
整理，得3x＝1，
解得：x=13，
检验：把x=13代入x（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x=13．
故答案为：13．
12．当a＝8时，分式a−2b2a−b2的值为−23，则b的值为 ﹣7 ．
【答案】﹣7．
【解答】解：当a＝8时，a−2b2a−b2=8−2b2×8−b2=8−2b16−b2=−23，
∴3（8﹣2b）＝﹣2（16﹣b2），
∴24﹣6b＝﹣32+2b2，
∴b2+3b﹣24＝0，
∴（b+7）（b﹣4）＝0，
解得b＝﹣7或b＝﹣4，
检验：当b＝﹣7时，16﹣b2≠0，是原方程的解；
当b＝4时，16﹣b2＝0，不是原方程的解．
∴b＝﹣7，
故答案为：﹣7．
13．若关于x的分式方程mx−6x−3=1的解为整数，则整数m的值有 3 个．
【答案】3．
【解答】解：解关于x的分式方程mx−6x−3=1得，
x=3m−1，
当m＝﹣2时，x=3−2−1=−1；
当m＝0时，x=30−1=−3；
当m＝2时，x=32−1=3；
当m＝4时，x=34−1=1；
∵x≠3，
∴整数m的值是﹣2，0，4共3个，
故答案为：3．
14．已知关于x的分式方程m+4x+1=2x+2与1x−1=2x的解相同，则m的值是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：解方程1x−1=2x，
∴x＝2（x﹣1），
∴x＝2，
经检验x＝2时x（x﹣1）＝2≠0，
∴x＝2是方程1x−1=2x的解，
把x＝2代入方程m+4x+1=2x+2，
得m＝5，
故答案为：5．
15．观察下面的变形规律：
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，⋯
解答下面问题：
若1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(x+999)(x+1000)=1x+1000，则x的值为 998 ．
【答案】998．
【解答】解：由题意，方程1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+⋯+1(x+999)(x+1000)=1x+1000，
化为1x+1−1x+1000=1x+1000，即1x+1=2x+1000，
方程两边同乘（x+1）（x+1000）得x+1000＝2x+2，
解得x＝998，
经检验x＝998是原方程的解．
故答案为：998．
16．解方程
（1）x+14x2−1=32x+1−44x−2；
（2）1x+3−23−x=12x2−9．
【答案】（1）x＝6；（2）无解．
【解答】解：（1）原分式方程去分母得：2（x+1）＝6（2x﹣1）﹣4（2x+1），
去括号得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4，
移项、合并同类项得：﹣2x＝﹣12，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0，
所以x＝6是分式方程的解；
（2）原分式方程去分母得：x﹣3+2（x+3）＝12，
去括号得：x﹣3+2x+6＝12，
移项，合并同类项得：3x＝9，
系数化为1得：x＝3，
经检验：x＝3不是原方程的解，
∴原分式方程无解．
17．已知关于x的分式方程1x−1+mx(x−1)(x+2)=2x+2．
（1）已知m＝2，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】（1）x＝﹣4；
（2）3或﹣3或1．
【解答】解：（1）把m＝2代入方程1x−1+mx(x−1)(x+2)=2x+2得：
1x−1+2x(x−1)(x+2)=2x+2．
方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得
（x+2）+2x＝2（x﹣1），
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，（x+2）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣4是分式方程的解，
即当m＝2时，方程的解是x＝﹣4；
（2）1x−1+mx(x−1)(x+2)=2x+2，
方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得
（x+2）+mx＝2（x﹣1）①，
整理得：（m﹣1）x＝﹣4②，
有三种情况：
第一种情况：当x+2＝0，即x＝﹣2时，分式方程无解，
把x＝﹣2代入①，得﹣2m＝﹣6，
解得：m＝3；
第二种情况：当x﹣1＝0，即x＝1时，分式方程无解，
把x＝1代入①，得3+m＝0，
解得：m＝﹣3；
第三种情况：②（m﹣1）x＝﹣4，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
所以该分式方程无解时，m的值是3或﹣3或1．
18．已知分式：(1a−3−1a2−9)÷a2+2aa−3．
（1）化简已知分式；
（2）若分式方程1x+3=6x−2的解为a，求已知分式的值．
【答案】（1）1a(a+3)；（2）14．
【解答】解：（1）原式＝[1a−3−1(a−3)(a+3)]×a−3a(a+2)
=a+2(a−3)(a+3)×a−3a(a+2)
=1a(a+3)；
（2）分式方程可化为6x+18＝x﹣2，解得x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原分式方程的解，
∴a＝﹣4，
∴原分式的值为1−4×(−4+3)=14．
19．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：
①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程x+1x+2−1=3x−2是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程x−ax−2−2x=1是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程x+1x+2−1=3x−2是“相似方程”；理由见解答；
（2）不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程x−ax−2−2x=1是“相伴方程”．理由见解答．
【解答】解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程x+1x+2−1=3x−2是“相似方程”；
理由：解一元一次方程得：x＝﹣1，
解分式方程得：x＝﹣1，
∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝x与分式方程x+1x+2−1=3x−2是“相似方程”；
（2）不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程x−ax−2−2x=1是“相伴方程”．
理由：解（2﹣a）x+2＝x得：x=2a−1，
当a＝﹣1时x的整数解为x＝﹣1，
当a＝0时x的整数解为x＝﹣2，
当a＝2时x的整数解为x＝2，
当a＝3时x的整数解为x＝1，
解分式方程x−ax−2−2x=1得：x=4a，且4a≠2，
当a＝1时，x的整数解为x＝4，
当a＝4时，x的整数解为x＝1，
当a＝﹣1时，x的整数解为x＝﹣4，
当a＝﹣2时，x的整数解为x＝﹣2，
当a＝﹣4时，x的整数解为x＝﹣1，
综上所述：不存在实数a，使关于x的一元一次方程（2﹣a）x+2＝x与分式方程x−ax−2−2x=1是“相伴方程”．
20．给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax−b=k的解是x=ka−b成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程ax−b=k的一个“k相关系数”．
例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程3x−2=1的解是x=13−2=11=1成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程ax−b=1的一个“1相关系数”．
（1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③(12，12)中， ① （只填号）是关于x的分式方程ax−b=k的“1相关系数”；
（2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程ax−b=k的一个“1相关系数”，求t的值；
（3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程ax−b=k的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值．
【答案】（1）①；
（2）t＝1；
（3）c＝﹣2或c＝﹣3．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝0时，使得关于x的分式方程1x=1的解是x=11−0=11=1成立，
所以数对（1，0）是关于x的分式方程ax−b=k的一个“1相关系数”，故①正确；
当 a＝﹣2，b＝3时，使得关于x的分式方程.−2x−3=1的解是x=−12，
x=1−2−3=−15，
所以数对 （2，﹣3）不是关于x的分式方程ax−b=k的一个“1相关系数”；故②错误；
当a=12，b=12时，使得关于x的分式方程12x−(12)=1的解是x=13，
x=112−12无意义，
所以数对(12，12)不是关于x的分式方程ax−b=k的一个“1相关系数”；故③错误；
故答案为：①；
（2）根据定义，分式方程t−2x−(2+t)=1的解为x=1t−2−(2+t)=−14，
故t−2−14−(2+t)=1，
解得t＝1；
（3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程ax−b=k的一个“1相关系数”，
得关于x的分式方程c+dx−d=1的解是x=1c+d−d=1c，
回代方程，得c2+cd﹣d＝1，
整理，得 （c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0，
∴（c﹣1）（c+d+1）＝0，
∵c≠±1且c≠0，
∴c+d+1＝0，
∴c＝﹣d﹣1，
∵方程 dy﹣c+1＝0的解为y=c−1d，
∴y=−d−2d=−1−2d，
∵方程有整数解，
∴d＝±1，d＝±2，
当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）；
当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）；
故c＝﹣2或c＝﹣3．
教学目标
分式方程的概念；
解分式方程。
教学重难点
重点
解分式方程。
2. 难点
（1）解分式方程的基本步骤；
（2）根据分式方程的解求值或求范围；
（3）分式方程的增根与无解。