第十八章 分式 - 初中数学八年级上册 单元核心知识点+练习（人教版2024）

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第十八章 分式 考点01 分式的概念 分式的概念：一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式满足的三个条件：①式子一定是的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。考点02 分式有意义的条件与分式值为0的条件分式有意义的条件：即要求分式的分母不能为0。即中，B不为0。分式的值为0的条件：分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即中，A＝0，B≠0。考点03 分式的性质分式的性质的基本内容： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。即：（A、B、C均是整式且C≠0）分式的符号改变法则：分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。即：考点04 分式的约分与通分分式的约分：公因式的概念：一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。公因式的求法：因式分＝系数的最大公因数×相同式子的最低次幂。他们的乘积为公因式。最简分式的概念：分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。约分的步骤：①对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。②约去分子分母的公因式即可。分式的通分：通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。最简公分母的求法：最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。通分的步骤：①将所有能分解因式的分母分解因式。②求出最简公分母。③利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母。考点05 分式的基本运算分式的乘法：乘法运算法则：同分数的乘法运算法则，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。即：。（2）具体步骤：①对能因式分解的分子分母进行因式分解。②分子分母有公因式的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。分式的除法：除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。变成乘法运算。即：＝。分式的乘方的运算法则：。即把分式的分子分母分别乘方运算。分式的加减法运算法则：①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。即a±bc。②异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。即adbd±bcbd＝ad+bcbd。具体步骤：第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。第二步：加减：分母不变，分子相加减。第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。分式的混合运算：分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算乘方，在算乘除，最后算加减。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。考点06 整数指数幂负整数指数幂：1an。（a≠0）整数指数幂的运算性质：用科学记数法表示绝对值小于1的数：绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成a×10−n的形式，其中a的取值范围为1≤|a|＜10，n为正整数。n的确定方法：方法1：左边起到第一个不为0的数字前的所有0的个数，包括小数点前面的那个0。方法2：小数点向右移动到第一位非0数字后，小数点移动了几位n的值就是几。考点07 分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。注意只需要判断原方程即可，不能化简之后判断。解分式方程的基本步骤：①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程。②解整式方程：③检验：将解出的整式方程的解带入最简公分母中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的增根，原分式方程无解。④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。注意解分式方程一定要检验。列分式方程解应用题的基本步骤：①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的等量关系。②设：设出未知数。③列：列出分式方程。④解：解分式方程。⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。⑥答：写出答案。题型01 判断分式与分式方程1．下列代数式中，属于分式的是（　　）A．12B．a4+bC．2m−n4D．1x−2【答案】D【解答】解：A：分母为2，是常数，不是分式，不符合题意；B：分母为4，是常数，不是分式，不符合题意；C：分母为4，是常数，不是分式，不符合题意；D：分母为x﹣2，含有字母x，是分式，符合题意；故选：D．2．下列各式：3a，a+b7，x2+12y2，5，1x−1，x8π，x2x，分式有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：3a，1x−1，x2x是分式，故选：C．3．下列各式中，是分式方程的是（　　）A．16x25=1πB．2x=12C．x+y4−19=0D．2x+2x3【答案】B【解答】解：A．16x25=1π是一元一次方程，不符合题意；B．2x=12是分式方程，符合题意；C．x+y4−19=0是二元一次方程，不符合题意；D．2x+2x3是代数式，不符合题意．故选：B．4．下列关于x的方程①x−13=5，②1x=4x−1，③3−x3=x﹣1，④xa=1b−1中，是分式方程的有（　　）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解答】解：①x−13=5，③3−x3=x﹣1，④xa=1b−1属于整式方程；②1x=4x−1的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程．故选：A．题型02 分式有意义的条件1．若分式x−1x−2有意义，则x的取值范围是（　　）A．x＝2B．x≠2C．x＝1D．x≠1【答案】B【解答】解：若分式x−1x−2有意义，则x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：B．2．x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）A．2x−1xB．x−1x3+1C．x+1x2−9D．x+1|x|+1【答案】D【解答】解：A、当x＝0时，分式2x−1x无意义，不符合题意；B、当x＝﹣1时，分式x−1x3+1无意义，不符合题意；C、当x＝±3时，分式x+1x2−9无意义，不符合题意；D、|x|+1＞0时，分式x+1|x|+1一定有意义，符合题意；故选：D．3．若分式1x+1÷x−3x−2有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≠﹣1且x≠2B．x≠﹣1且x≠3C．x≠2且x≠3D．x≠﹣1且x≠2且x≠3【答案】D【解答】解：根据已知得，x+1≠0且x﹣3≠0且x﹣2≠0，所以x≠﹣1且x≠2且x≠3．故选：D．题型03 分式值为0的条件1．若分式|x|−3x−3的值为0，则x应满足的条件是（　　）A．x＝﹣3B．x＝3C．x≠3D．x＝±3【答案】A【解答】解：若分式|x|−3x−3的值为0，则|x|﹣3＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故选：A．2．对于分式|x|−3x+3，下列说法正确的是（　　）A．当x＝0时，分式无意义B．当x＝﹣3时，分式有意义C．当x＝±3时，分式的值为零D．当x＝3时，分式的值为零【答案】D【解答】解：A、当x＝0时，分母x+3＝0+3＝3≠0，分式有意义，故此选项不符合题意；B、当x＝﹣3时，分母x+3＝﹣3+3＝0，分式无意义，故此选项不符合题意；C、分式值为零需满足分子|x|﹣3＝0且分母x+3≠0，解得x＝3，故此选项不符合题意；D、当x＝3时，分子|3|﹣3＝0，分母3+3＝6≠0，分式值为零，故此选项符合题意．故选：D．题型04 求分式的值1．已知ba=14，则分式a2+b2b2的值是（　　）A．17B．54C．1716D．5【答案】A【解答】解：∵ba=14，∴a＝4b，∴a2+b2b2=(4b)2+b2b2=16b2+b2b2=17b2b2=17，故选：A．2．使分式3x−3x2−2x+1的值为整数，则整数x可取的个数为（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解答】解：∵3x−3x2−2x+1=3x−1，∴根据题意，得x﹣1＝±1或±3，解得x＝0或x＝2或x＝﹣2或x＝4，故选：C．3．若x+y＝2xy，则分式3x+3y−xyxy的值为（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解答】解：若x+y＝2xy，原式=3(x+y)−xyxy=3×2xy−xyxy =5xyxy ＝5，故选：D．4．若3x＝5，5y＝3，则xx+1+yy+1的值为（　　）A．12B．1C．32D．2【答案】B【解答】解：∵3x＝5，5y＝3，∴（3x）y＝5y＝3，∴3xy＝3，∴xy＝1，∴xx+1+yy+1=x(y+1)+y(x+1)(x+1)(y+1)=xy+x+xy+yxy+x+y+1=x+y+2x+y+2=1，故选：B．题型05 利用分式的性质进行变形1．下列各式从左到右变形正确的是（　　）A．−b−2a=b2aB．a+2a+3=23C．1−aa−1=1D．ba=b2a2【答案】A【解答】解：A.−b−2a=b2a，故选项A正确；B.a+2a+3无法约分，故选项B不正确；C.1−aa−1=−(a−1)a−1=−1，故选项C不正确；D.ba=b2ab，故选项D不正确．故选：A．2．下列等式成立的是（　　）A．−x+y2=x+y2B．x−3x2−9=1x−3C．x2−2xy+y2x−y=x−yD．xyx2−xy=xx−y【答案】C【解答】解：A.−x+y2=−x−y2，故原等式不成立，不合题意；B.x−3x2−9=1x+3，故原等式不成立，不合题意；C.x2−2xy+y2x−y=x﹣y，原等式成立，符合题意；D.xyx2−xy=yx−y，故原等式不成立，不合题意；故选：C．3．将分式x+yx−y中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）A．不变B．扩大为原来的3倍C．扩大为原来的6倍D．扩大为原来的9倍【答案】A【解答】解：∵分式x+yx−y中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，∴新分式为 3x+3y3x−3y=3(x+y)3(x−y)=x+yx−y，∴分式的值不变．故选：A．4．如果把xy(x−2y)2中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值（　　）A．不变B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【答案】A【解答】解：根据题意得：3x⋅3y(3x−6y)2=9xy9(x−2y)2=xy(x−2y)2．即如果把xy(x−2y)2中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值不变．故选：A．题型06 判断最简分式与求最简公分母1．下列各项是最简分式的是（　　）A．48aB．a2bbC．yx−yD．a+ba2−b2【答案】C【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下：A：48a，分子4和分母8a有公因数4，可约分为12a，不是最简分式，不符合题意；B：a2bb，分子和分母有公因式b，可约分为a2，不是最简分式，不符合题意；C：yx−y，分子y和分母x﹣y没有公因式，是最简分式，符合题意；D：a+ba2−b2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），与分子有公因式a+b，可约分为1a−b，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．下列各式中，是最简分式的是（　　）A．7ab4πB．x2−y2(x+y)2C．−x−y2x+2yD．a2+b2a+b【答案】D【解答】解：A、7ab4π不是分式，不符合题意；B、x2−y2(x+y)2=(x+y)(x−y)(x+y)2=x−yx+y，不是最简分式，不符合题意；C、−x−y2x+2y=−(x+y)2(x+y)=−12，不是最简分式，不符合题意；D、a2+b2a+b是最简分式，符合题意；故选：D．3．分式22x−4，32x的最简公分母是（　　）A．2xB．2x（2x﹣4）C．2x﹣4D．2x（x﹣2）【答案】D【解答】解：22x−4，32x的最简公分母为2x（x﹣2），故选：D．4．分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是（　　）A．x2﹣y2B．x2+xyC．（x2﹣y2）（x2+xy）D．x（x+y）（x﹣y）【答案】D【解答】解：根据分式的最简公分母的定义可知：分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是x（x+y）（x﹣y），故选：D．题型07 分式的约分与通分1．化简2x2y+2xy26x2y2=x+y()，括号内应填（　　）A．6xyB．3yC．3xyD．3x【答案】C【解答】解：2x2y+2xy26x2y2=2xy(x+y)6x2y2 =x+y3xy ∴括号内应填3xy．故选：C．2．约分：（1）−36xy2z36yz2； （2）8−2m16−m2； （3）m2+4+4m2m+m2．【答案】（1）﹣6xyz；（2）24+m；（3）m+2m．【解答】解：（1）−36xy2z36yz2＝﹣6xyz（2）8−2m16−m2=2(4−m)(4−m)(4+m) =24+m；（3）m2+4+4m2m+m2=(m+2)2m(2+m) =m+2m．3．若将分式3mm+n与3n2(m−n)通分，则分式3mm+n的分子应变为（　　）A．6m2﹣6mnB．6m﹣6nC．2（m﹣n）D．2（m﹣n）（m+n）【答案】A【解答】解：分式3mm+n与3n2(m−n)的最简公分母为2（m+n）（m﹣n），所以分式3mm+n分子分母都乘以2（m﹣n），此时分子变为6m2﹣6mn．故选：A．4．通分：（1）x(2x−4)2，16x−3x2，2xx2−4； （2）−18x4y，23x2y3z，56xz2．【答案】见解答．【解答】解：（1）x(2x−4)2=x4(x−2)2=3x2(x+2)12x(x+2)(x−2)2，16x−3x2=−13x(x−2)=−4(x+2)(x−2)12x(x+2)(x−2)2，2xx2−4=24x2(x−2)12x(x+2)(x−2)2；（2）−18x4y=−3y2z224x4y3z2，23x2y3z=16x2z24x4y3z2，56xz2=20x3y324x4y3z2．题型08 分式的运算与化简求值1．计算：（1）2x23y2⋅5y6x÷10y21x2； （2）x+2x2−6x+9÷13−x⋅x−3x+2．【答案】（1）7x36y2；（2）﹣1．【解答】解：（1）原式=2x23y2⋅5y6x⋅21x210y=7x36y2；（2）原式=x+2(x−3)2⋅(3−x)⋅x−3x+2＝﹣1．2．计算．（1）2x2x+y−x+y； （2）4x2−4+2x+2+12−x．【答案】（1）x2+y2x+y；（2）1x+2．【解答】解：（1）2x2x+y−x+y=2x2x+y−(x−y) =2x2x+y−x2−y2x+y =x2+y2x+y；（2）4x2−4+2x+2+12−x=4(x+2)(x−2)+2(x−2)(x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2) =4+2x−4−x−2(x+2)(x−2) =x−2(x+2)(x−2) =1x+2．3．分式化简：（1）(3mm−1−mm+1)⋅m2−1m； （2）x2−2x+12x−4÷(12−x−1)．【答案】（1）2m+4；（2）−x−12．【解答】解：（1）原式＝（3mm−1−mm+1）•(m+1)(m−1)m=3mm−1•(m+1)(m−1)m−mm+1•(m+1)(m−1)m ＝3（m+1）﹣（m﹣1）＝3m+3﹣m+1＝2m+4；（2）原式=(x−1)22(x−2)÷−1−(x−2)x−2=(x−1)22(x−2)÷−(x−1)x−2 =−(x−1)22(x−2)•x−2x−1 =−x−12．4．化简：(2a−1+1)÷a2+aa2−2a+1，并选择一个合适的数代入求值．【答案】a−1a，当a＝100时，99100（除a≠﹣1，0，1外，其余的数均可，答案不唯一）．【解答】解：(2a−1+1)÷a2+aa2−2a+1=2+a−1a−1÷a(a+1)(a−1)2 =a+1a−1×(a−1)2a(a+1) =a−1a．当a＝100时，原式=a−1a=100−1100=99100．（除a≠﹣1，0，1外，其余的数均可，答案不唯一）．5．化简求值．先化简(4x−2−x+2)+x2−2xx2−4x+4，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式=4−(x−2)2x−2+x(x−2)(x−2)2=−x2+4xx−2+xx−2 =−x2+5xx−2．当x＝0时，上式＝0．6．先化简，再求值：1−x2x2−4÷(x+1−3x+3x+2)，其中x的值从不等式−17(x−5)≥37的非负整数解中任选一个．【答案】−1x−2，当x＝0时，原式=12．【解答】解：原式=1−x2x2−4÷[(x+1)(x+2)x+2−3x+3x+2]=1−x2x2−4÷x2−1x+2 =−x2−1(x+2)(x−2)•x+2x2−1 =−1x−2，由不等式−17（x﹣5）≥37，得到x≤2，∴不等式的非负整数解为x＝0，1，2，∴当x＝0时，原式=−10−2=12．题型09 解分式方程1．解分式方程2xx−2−3=3x−12−x时，去分母正确的是（　　）A．2x﹣3＝3x﹣1B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1【答案】D【解答】解：2xx−2−3=3x−12−x，方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．故选：D．2．解方程：（1）xx+1−1=1x−2； （2）2x−2−4x2−4=1x+2．【答案】（1）x=12；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）＝x+1，解得：x=12，检验：当x=12时，（x+1）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x=12；（2）去分母得：2（x+2）﹣4＝x﹣2，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴分式方程无解．3．解分式方程：（1）3−2xx−2=x2−x−2； （2）7x2+x−6x2−1=3x−x2．【答案】（1）x＝1；（2）无解．【解答】解：（1）3−2xx−2=x2−x−2，去分母得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2），去括号得：3﹣2x＝﹣x﹣2x+4，移项合并同类项得：x＝1，检验：把x＝1代入x﹣2得：1﹣2＝﹣1≠0，∴x＝1是原方程的解；（2）7x2+x−6x2−1=3x−x2，去分母得：7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1），去括号得：7x﹣7﹣6x＝﹣3x﹣3，移项合并同类项得：4x＝4，系数化为1得：x＝1，检验：把x＝1代入x（x+1）（x﹣1）得：1×（1+1）×（1﹣1）＝0，∴x＝1是原方程的增根，∴原方程无解．题型10 分式方程的解与特殊解1．关于x的分式方程1x+2=kx−1的解是x＝2，那么k的值是（　　）A．4B．2C．12D．14【答案】D【解答】解：∵关于x的分式方程1x+2=kx−1的解是x＝2，∴12+2=k2−1，即k=14，故选：D．2．已知关于x的方程xx−1−2=−3k1−x解为正数，则k的取值范围是（　　）A．k≠1B．k≠13C．k＞23且k≠1D．k＜23且k≠13【答案】D【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝3k，∴x＝﹣3k+2，∵关于x的方程xx−1−2=−3k1−x解为正数，∴﹣3k+2＞0，且x＝﹣3k+2≠1，∴k＜23且k≠13．故选：D．3．已知关于x的分式方程kx+1+x+kx−1=1的解为负数，则k的取值范围是（　　）A．k＜12且k≠0B．k≤12且k≠0C．k≥−12且k≠0D．k＞−12且k≠0【答案】D【解答】解：去分母得：kx﹣k+x2+（k+1）x+k＝x2﹣1，整理得：（2k+1）x＝﹣1，当2k+1＞0，且k≠0时，方程解为负数，此时k的范围为k＞−12且k≠0，故选：D．题型11 分式方程的增根与无解1．若关于x的方程3−2xx−3+2+mx3−x=−1无解，则m的值为（　　）A．3B．−53C．3或−53D．﹣1或−53【答案】D【解答】解：∵3−2xx−3+2+mx3−x=−1无解，∴去分母得：3﹣2x﹣2﹣mx＝﹣x+3，解得（m+1）x＝﹣2，∵当m+1＝0时，即m＝﹣1，方程无解；∵由分式方程无解，得x﹣3＝0，解得：x＝3，∴把x＝3代入整式方程得：3﹣6﹣2﹣3m＝0，解得：m=−53，∴方程无解则m的值为﹣1或−53．故选：D．2．若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2有解，则m的值为（　　）A．m≠4且m≠﹣6B．m≠﹣4且m≠﹣6C．m≠1且m≠﹣4且m≠6D．m≠1且m≠4且m≠6【答案】C【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2）整理得，（m﹣1）x＝﹣10，∵分式方程 2x−2+mxx2−4=3x+2有解，∴m﹣1≠0且x﹣2≠0且x+2≠0，∴m≠1且−10m−1≠2且−10m−1≠−2，∴m≠1且m≠﹣4且m≠6，故选：C．3．若关于x的方程x−1x−2=mx−2+2产生增根，则m的值是（　　）A．2B．0C．1D．﹣1【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：x﹣1＝m+2x﹣4，根据题意得：x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程得：2﹣1＝m+4﹣4，解得：m＝1．故选：C．题型12 分式方程与实际应用1．为了丰富课余生活，济宁学院附属中学精心打造了图书阅览室，小明第一时间结合自身兴趣，制定了一份详尽的阅读计划．原计划在规定时间内看完一本共480页的小说，但由于这本书情节曲折、故事精彩，小明每天多看了20页，这样到规定时间还多看了一本120页的中篇小说，如果设小明原计划每天看x页，那么可以得到的方程为（　　）A．480+120x=480x+20 B．480+120x+20=480xC．480x+20=120x+20+480xD．480+120x+20=480+120x【答案】B【解答】解：由题意得：480+120x+20=480x，故选：B．2．C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约34ℎ．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　）A．1350x−1350x−300=34B．1350x+300−1350x=34C．1350x−1350x+300=34D．1350x−300−1350x=34【答案】D【解答】解：根据题意，得1350x−300−1350x=34．故选：D．3．中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的53倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒．（1）甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？（2）超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了14后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？【答案】（1）甲种月饼的进货单价为25元，乙种月饼的进货单价为15元；（2）甲种月饼至少要购进66盒．【解答】解：（1）设乙种月饼的进货单价为x元，则甲种月饼的进货单价为53x元，根据题意得：900x−100053x=20，解得：x＝15，经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意，∴53x=53×15＝25（元）．答：甲种月饼的进货单价为25元，乙种月饼的进货单价为15元；（2）设甲种月饼购进y盒，则乙种月饼购进（100﹣y）盒，根据题意得：50×14y+50×0.8×[（1−14）y﹣5]+5×5+30（100﹣y）﹣[25y+15（100﹣y）]≥1490，解得：y≥66，∴y的最小值为66．答：甲种月饼至少要购进66盒．4．从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025年被称为人形机器人的“量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续11年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破19万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2900kg，则至少购进A型机器人多少台？【答案】（1）A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料；（2）至少购进A型机器人17台．【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg材料，根据题意列分式方程得，1000x+30=800x，整理得，200x＝24000，解得x＝120，经检验，x＝120是所列方程的解，当x＝120时，x+30＝150，答：A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料；（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，150a+120×（20﹣a）≥2900，解得a≥503，∵a是整数，∴a≥17，∴a的最小值为a＝17，答：至少购进A型机器人17台．5．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，如表是两个工程队的施工规则．（1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？（2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：36x−3＝2+36−2x2x，解得：x=92，经检验，x=92是方程的解，且符合题意，∴甲工程队完成施工任务需要的天数为2+36−2x2x=2+36−2×922×92=5（天），答：甲工程队完成施工任务需要5天；（2）乙工程队应采取B方案，理由如下：由题意可知，甲工程队完成施工任务所需的时间为t1=18m+18n=18(m+n)mn，乙工程队完成施工任务所需的时间为t2=3612(m+n)=72m+n，∴t1−t2=18(m+n)mn−72m+n=18(m+n)2−72mnmn(m+n)=18(m−n)2mn(m+n)，∵m≠n，∴mn（m+n）＞0，（m﹣n）2＞0，∴18(m−n)2mn(m+n)＞0，∴t1＞t2，∴乙工程队应采取B方案．题型13 负整数指数幂与0次幂1．计算20+2﹣1的结果为（　　）A．1B．3C．32D．52【答案】C【解答】解：原式＝1+12=32．故选：C．2．如果a＝20250，b＝3﹣2，c＝（﹣3）2，那么a、b、c三数的大小关系为（　　）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a【答案】B【解答】解：a=20250=1，b=3−2=132=19，c=(−3)2=9，∵19＜1＜9，∴b＜a＜c，故选：B．3．若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c=(−13)−2，d=(−15)0，则a、b、c、d的大小关系是（　　）A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b【答案】A【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2=19，c=(−13)−2=9，d=(−15)0=1，∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c．故选：A．4．计算：(−1)2025+(13)−1−(π−1)0+|−2|．【答案】见试题解答内容【解答】解：(−1)2025+(13)−1−(π−1)0+|−2|＝﹣1+3﹣1+2＝3．5．计算：|−5|+(−1)2024−(5π−3)0+(12)−2．【答案】9．【解答】解：原式＝5+1﹣1+4＝9．题型14 科学记数法表示较小1．利用微纳技术制造的某零件直径为0.0000000007米，用科学记数法表示为（　　）A．7×10﹣10B．0.7×10﹣9C．7×109D．0.7×1010【答案】A．【解答】解：0.0000000007＝7×10﹣10．故选：A．2．国家质检总局出台了国内销售的纤维制品甲醛含量标准，从2003年1月1日起正式实施．该标准规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤的制品，甲醛含量应在0.000075mg/cm3以下，0.000075用科学记数法表示应写成（　　）A．75×10﹣7B．75×10﹣6C．7.5×10﹣6D．7.5×10﹣5【答案】D【解答】解：0.000075＝7.5×10﹣5．故选：D．3．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　）A．1.2×10﹣8mB．1.2×10﹣9mC．0.12×10﹣10mD．1.2×10﹣10m【答案】A【解答】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m．故选：A．教学目标熟练掌握分式全章知识点；熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。教学重难点重点（1）分式有意义的条件和分式值为0的条件；（2）分式的基本性质与基本运算；（3）整数指数幂及科学记数法表示较小的数；（4）解分式方程及其分式方程与实际应用题。2. 难点（1）分式的化简求值；（2）解分式方程及其分式方程的实际应用。整数指数幂（指数均为整数，底数不为0）运算法则逆运算同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方积的乘方分式的乘方0指数幂甲工程队第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天．乙工程队A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t1天；B方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米．特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且m≠n．