人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程第2课时教案设计

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程第2课时教案设计，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●复习导入
1．解方程：(1)1－ eq \f(x－3,2x＋2)＝ eq \f(3x,x＋1)；(2) eq \f(2,x－1)＝ eq \f(4,x2－1).
解：(1)x＝1；(2)原方程无实数根．
2．列方程解应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
3．工程问题等量关系式：工作总量＝ 工作效率×工作时间 .
4．(1)一件工作，甲单独做需要3 h完成，乙单独做需要4 h完成，则甲的工作效率为 eq \f(1,3) ，乙的工作效率为 eq \f(1,4) ，则甲乙合作 1÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,4))) h完成；
(2)一件工作，甲单独做需a h完成，乙单独做需要b h完成，则甲的工作效率为 eq \f(1,a) ，乙的工作效率为 eq \f(1,b) ，则甲乙合作 1÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))) h完成．
【教学与建议】教学：通过复习导入课题，激发学生对本节课的学习兴趣．建议：通过回顾与思考，加深对分式方程及工程问题的认识．
●情景导入
1．列方程解应用题的一般步骤是什么？
这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题同样适用．
2．乡村振兴，交通先行，某村准备修一条5 400 m长的道路．在修建600 m后，由于采用新的技术，现在每天修建道路的长度是原来的2倍．已知这条道路15天修建完成，求原来每天修建道路多少米．
(1)工程问题最基本的等量关系式是：工作时间＝ 工作总量÷工作效率 ；
(2)本题的等量关系式是 原来的修路时间＋现在的修路时间＝15 ；
(3)设用原来的技术每天修建道路x m，因为用原来的技术共修了600 m的道路，则原来的技术所用的时间＝ eq \f(600,x) ；
(4)因为采用新的技术后，现在每天修建道路的长度是原来的2倍，所以新的修建技术所用的时间＝ eq \f(5 400－600,2x) ；
(5)列出的方程为： eq \f(600,x)＋ eq \f(5 400－600,2x)＝15 .
【教学与建议】教学：利用解方程的步骤学习解工程问题的分式方程，使学生及时进入学习状态．建议：解决问题后归纳出列分式方程解应用题的步骤，体会工程问题基本等量关系式．
●置疑导入 从甲地到乙地有一条全长为720 km的普通公路和全长为600 km的高速公路．一辆小车在高速公路的平均速度比在普通公路的平均速度快40 km/h.若该车从甲地到乙地走高速公路所用的时间是走普通公路所用的时间的一半，求小车在高速公路上的平均速度．

(1)行程问题的基本关系式是 路程＝速度×时间 ；
(2)设小车在普通公路上的平均速度为x km/h，则小车在高速公路上的平均速度为 (x＋40) km/h;
(3)小车从甲地到乙地，走高速公路所用的时间是走普通公路所用时间的一半，所以等量关系式是 走高速公路所用的时间×2＝走普通公路所用的时间 ；
(4)走高速公路所用的时间为 eq \f(600,x＋40) h，走普通公路所用的时间为 eq \f(720,x) h;
(5)根据(3)中的等量关系，可列方程为 eq \f(600,x＋40)×2＝ eq \f(720,x) .
【教学与建议】教学：通过对比高速公路与普通公路的图片吸引学生的注意力，提出问题．建议：在出示例题的过程中，教师借助问题给学生展示时代的发展，使其增强对国家发展的成就感．
· 命题角度1 利用分式方程解决工程问题
工程问题常用的等量关系式：(1)工作量＝工作效率×工作时间；(2)各个工作者的工作量之和为1.
【例1】某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x个，可列方程： eq \f(240,x)＝ eq \f(240,1.5x )＋2 .
【例2】一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天．根据题意，得 eq \f(2,x)＋ eq \f(x,x＋3)＝1.解得x＝6.经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意．
答：规定日期是6天．
【例3】市政府计划对城区某道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造480 m的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
①求乙工程队每天能改造道路的长度；
②若甲队工作一天的改造费用为8万元，乙队工作一天的改造费用为6万元，如需改造的道路全长为8 000 m，如果安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造，求改造该段道路所需的总费用．
解：①设乙工程队每天能改造道路的长度为x m，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x m．根据题意，得 eq \f(480,x)－ eq \f(480,1.5x)＝2，解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为80 m；
②设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成．根据题意，得80×1.5m＋80m＝8 000，解得m＝40.则40×8＋40×6＝560（万元）.
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为560万元．
· 命题角度2 利用分式方程解决行程问题
掌握行程问题常用的等量关系是解决此类问题的关键．
【例4】马小虎的家距离学校1 800 m，一天马小虎从家去上学，出发10 min后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200 m的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，则马小虎的速度为 80 m/min .
【例5】为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4 000 m到达烈士纪念馆．学校要求八(1)班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，八(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10 min到达．分别求八(1)班和其他班步行的平均速度．
解：八(1)班步行的平均速度：100 m/min；其他班步行的平均速度：80 m/min.
高效课堂 教学设计
1．会分析题意，找到等量关系．
2．掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤．
3．体会分式方程的数学模型对解决实际问题的重要作用．
▲重点
利用分式方程解决实际问题．
▲难点
列分式方程表示实际问题中的等量关系．
◆活动1 新课导入
1．回顾列方程解应用题的步骤．
2．解方程：(1) eq \f(x－3,x－2)＋1＝ eq \f(3,2－x)；(2) eq \f(2,x－1)＝ eq \f(4,x2－1).
3．列方程解应用题的一般步骤是什么？
◆活动2 探究新知
1．教材P167 例3.
提出问题：
(1)本题的等量关系是什么？
(2)这个题目应该怎么设？设乙队单独施工1个月能完成总工程的 eq \f(1,x)，那么乙队施工半个月完成总工程的多少？
(3)根据题目的已知能不能得出甲队施工半个月能完成总工程的多少？两队施工半个月能完成总工程的多少？
(4)根据上面的分析能否列出方程？列出的方程是什么？
(5)这是一个分式方程，应该怎样解这个分式方程呢？对解出的答案是否需要检验呢？如何检验？
学生完成并交流展示．
2．教材P167 例4.
提出问题：
(1)列分式方程解决实际问题有什么方法技巧？
(2)列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是否相同？关键步骤是什么？解出分式方程后要注意什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意；(2)找：找出 等量 关系；(3)设：设 未知数 ，一般设所求的量；(4)列：列分式方程；(5)解：解分式方程；(6)验：先检验求出的解是否是 原方程 的解，再检验解是否符合题意；(7)答：写出答案．
◆活动4 例题与练习
例1 某工人原计划在规定时间内恰好加工1 500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1 500个零件，比原计划提前了5个小时，问原计划每小时加工多少个零件？
解：设原计划每小时加工x个零件．
根据题意，得 eq \f(1 500,2x)＋5＝ eq \f(1 500,x)，解得x＝150.
检验：当x＝150时，2x≠0，∴x＝150是原分式方程的解．
答：原计划每小时加工150个零件．
例2 甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，有一动车和特快列车分别从A，B同时出发，相向而行．动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
解：设特快列车的平均速度是x km/h，则动车的平均速度是(x＋54)km/h，
根据题意，得 eq \f(360,x＋54)＝ eq \f(360－135,x)，解得x＝90.
经检验，x＝90是原分式方程的解，且符合题意．
则x＋54＝144.
答：特快列车的平均速度是90 km/h，动车的平均速度是144 km/h.
练习
1．教材P168 练习第1，2题．
2．甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成，那么乙队单独完成总量需要(D)
A．6天 B．4天 C．3天 D．2天
3．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行100 km所用时间与以最大航速逆流航行80 km所用的时间相等．设江水的流速为 v km/h，则可列方程为(C)
A． eq \f(100,v＋30)＝ eq \f(80,v－30) B． eq \f(100,30－v)＝ eq \f(80,30＋v)
C． eq \f(100,30＋v)＝ eq \f(80,30－v) D． eq \f(100,v－30)＝ eq \f(80,v＋30)
4．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
解：设原计划每天铺设管道x m．由题意，得 eq \f(120,x)＋ eq \f(300－120,(1＋20%)x)＝30，解得x＝9.经检验，x＝9是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道9 m．
◆活动5 课堂小结
1．探究列分式方程解决实际问题的步骤．
2．列分式方程解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P169 习题18.5第3，4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思