人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法精品课时练习

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）18.3 分式的加法与减法精品课时练习，共9页。

知识点01 分式的加减法运算
分式的加减法运算法则：
①同分母的分式相加减：分母 ，分子 。
即 。
②异分母的分式相加减：先通分，变成 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。
即 ± ＝ 。
具体步骤：
第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。
第二步：加减：分母不变，分子相加减。
第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。
第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。
分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。
【即学即练1】
1．计算：
（1）ba−b+1a； （2）(a−2b)2ab−(a+2b)2ab； （3）x2−y(x−3)2−9−y(3−x)2； （4）a2−1a2−2a+4a−52a−a2
【即学即练2】
2．化简：
（1）2aa2−4+12−a； （2）x2x−1+11−x； （3）a2−2a+1a−1−(a−2)； （4）mm−n−nm+n+2mnm2−n2．
知识点02 分式的混合运算
分式的混合运算：
分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 ，在算 ，最后算 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。
【即学即练1】
3．化简下列各式：
（1）(1+1m)÷m2−1m2−2m+1 （2）(x+xx2−1)÷(2+1x−1−1x+1)
（3）m+12m2−2m⋅(2mm+1)2−(1m−1−1m+1)．
【即学即练2】
4．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（ ）
A．x+1x−1B．x+5x−1C．1D．xx−2
【即学即练3】
5．先化简再求值：（1−1x−1）÷x2−4x+4x2−1，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值．
【即学即练4】
6．若（1m−1n）÷2●的运算结果为整式，则“●”处的式子可能为（ ）
A．m﹣nB．m+nC．mnD．m2﹣n2
【即学即练5】
7．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买x千克（x＞0），乙每次用去y元（y＞0），而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且m≠n）．
（1）甲两次所购大米的平均单价是 m+n2 元/千克；
（2）求出乙两次所购大米的总量为多少千克？
（3）比较甲，乙所购大米的平均单价，哪一个较低？
题型01 分式的加减运算
【典例1】计算：
（1）a−ba+b+a+3ba+b； （2）3x+2yx2−y2+xy2−x2．
【变式1】计算：
（1）6x2−9−1x−3； （2）x2−y2x+y−4x(x−y)+y22x−y．
【变式2】计算：
（1）2xx2−1−1x−1； （2）x2+2x+1x+2+x2−1x−1−xx+2．
【变式3】计算：（1）2xx−1+1x+3−3x+5x2+2x−3； （2）5xx2+x−6+6x2−x−2+4x2+4x+3．
题型02 分式的混合运算
【典例1】计算：
（1）2x23y2⋅5y6x÷10x21y2； （2）(2a−b−1a+b)÷aba2−b2．
【变式1】计算：
（1）5a+3ba2−b2−2aa2−b2； （2）(x+3x2−3x−x−1x2−6x+9)⋅xx−9．
【变式2】计算
（1）1x−1−2xx2−1； （2）9−mm2−9+13−m；
（3）(1−1x)÷x2−2x+1x； （4）2a+1−a−1a÷a2−1a2+2a；
（5）x2−6x+9x−2÷(x+2−3x−4x−2)； （6）(a2a+1−a+1)÷a−1a2+2a+1．
题型03 求分式运算中的未知部分
【典例1】【新考向】如图是某同学关于分式的运算过程，其中“”部分不小心被擦掉了，则被擦去的部分是（ ）
A．xB．x+2C．x﹣2D．4﹣x2
【变式1】已知A为整式，计算Axy+y2−yx2+xy的结果为x−yxy，则A＝（ ）
A．x2﹣y2B．xy+y2C．x2D．x
【变式2】试卷上一个正确的式子(1a+b−1a−b)⋅⋆=2a+b被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ）
A．−ba−bB．a−b−bC．aa+bD．−aa+b
【变式3】如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ．
题型04 分式的化简求值
【典例1】先化简，再求值：(1−aa+2)÷a2−4a2+4a+4，其中a＝3．
【变式1】先化简，再求值：(a2+a−1a+2−a+2)÷a2+6a+9a+2，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值．
【变式2】先化简：(3a+2+a−2)÷a2−2a+1a+2，再从﹣2，1，5三个数中选取一个合适的数值作为a的值代入求值．
【变式3】先化简：(a−9a+3−a+3)÷2a−2a2a2+6a+9，再从不等式组2a+1＜5a+33≥−a+32的解集中选一个合适的整数代入求值．
题型05 根据分式的运算结果为整式求值
【典例1】若□x−y÷x2x2−y2运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．x﹣yB．x+yC．3x2D．1x2
【变式1】若 (1a−1b)÷2○的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（ ）
A．a﹣bB．a+bC．abD．a2﹣b2
【变式2】小明在化简分式mm−2−2m−2⋅□时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（ ）
A．m﹣1B．m﹣2C．mD．m+1
【变式3】若化简x−1x+2+3x+2•〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（ ）
A．x+1B．x+2C．x+3D．x+4
题型06 利用分式的运算解决实际问题
【典例1】小明家和小刚家到图书馆的路程都是3km，小明走的是平路，骑车的速度是2v（km/h）．小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v（km/h），在下坡路的骑车速度是3v（km/h）．如果他们同时出发， 先到图书馆．
【变式1】（1）已知b＞a＞0，分式ab的分子分母都加上1，说明所得分式a+1b+1的值是增大了还是减少了？
（2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？
②谁的购买方式平均单价较低？
【变式2】【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价x甲、x乙，比较x甲、x乙的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
1．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需t小时，如果该车的速度每小时增加v千米，那么从A城到B城需要（ ）小时．
A．60tvB．60tv+60C．vtv+60D．vt60
2．如果A=2a2−1，B=1a−1−1a+1，那么代数式A与B之间的关系是（ ）
A．A+B＝0B．A•B＝0C．A＝BD．A＝2B
3．已知x−4x2−5x+6=Ax−2−Bx−3，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（ ）
A．6B．7C．10D．13
4．将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为xx+y，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ ）
A．不改变B．缩小为原来的12
C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍
5．若Ma+b÷aa2−b2运算的结果不是分式，则M不可能的是（ ）
A．abB．a2C．a2﹣abD．1a
6．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
A．aa+bB．ba+bC．ha+bD．ha+h
7．已知1a−1b=3，则2aba−b+7ab的值等于（ ）
A．−12B．12C．−15D．15
8．若常数M，N满足3a−1a2−1=Ma−1+Na+1，则M2﹣N2＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
9．若Ax+Bx+1+Cx+2（A、B、C均为常数）的计算结果为x2+2x(x+1)(x+2)，则A+B+2C的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知实数x，y，z满足x+y＝﹣z，xyz＝1，若1x+1y+1z=−1，则x2+y2+z2＝（ ）
A．0B．1C．2D．12
11．如图，把R1、R2两个电阻并联起来，则线路AB的电阻R与R1、R2有关系1R=1R1+1R2，那么R＝ ．
12．已知x+1x=3，(x−1x)2值是 ．
13．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将2x−1x2−x分式分解：2x−1x2−x=2x−1x(x−1)=x+x−1x(x−1)=xx(x−1)+x−1x(x−1)=1x−1+1x，若5x−4mx2−3x+1可以分式分解为px−1+q2x−1（其中m、p、q是常数）．则p＝ ，q＝ ．
14．已知y1=1x−1，且y2=11−y1，y3=11−y2，y4=11−y3⋯yn=11−yn−1请计算 y2015＝ ．（用含x的代数式表示）
15．阅读下面的材料，并解答问题：分式2x+8x+2（x≥0）的最大值是多少？解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2(x+2)x+2+4x+2=2+4x+2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以1x+2的最大值是12，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2（x≥0）的最大值是4．根据上述方法，试求分式2x2+5x2+1的最大值是 ．
16．计算：
（1）a2a−2+42−a； （2）(2mm+2−mm−2)÷mm2−4．
17．某同学在化简(2a+1−1)÷a2−2a+1a+1时，出现错误，错误的化简过程如下：这位同学的错误出现在第 ② 步．请你写出这道题的正确解答过程，并从﹣1，1，﹣2三个数字中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
18．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食，两次粮食的单价不同，甲每次购100kg，乙每次购粮用去100元．根据题意，解决下列问题：
（1）若设两次粮食的价格分别为x元/kg，y元/kg，且x≠y，则甲两次购粮的平均价格M1＝ 元/kg，乙两次购粮的平均价格M2＝ 元/kg．
（2）若规定：谁两次购粮的平均价格低，则谁的购粮方式合算．你认为甲、乙谁的方案好？
19．已知A=C9−x2，B=3x3−x．
（1）若A﹣B＝3，求代数式C；
（2）在（1）的条件下，是否存在x的值使得A+B＝﹣3，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
20．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“关联分式”．
（1）请判断分式2x+3与分式2x+5是否为“关联分式”，并说明理由；
（2）小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴(1x2+y2+1)N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小明的方法求分式x−3x+2的“关联分式”；
（3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式xy的“关联分式”： ；
②用发现的规律解决问题：若3m+5mx+n是3n−1mx+m的“关联分式”，求实数m，n的值．
教学目标
掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟练的应用。
掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运算。
教学重难点
重点
分式的加减运算与混合运算。
2. 难点
（1）求分式运算中的未知部分；
（2）分式的化简求值以及利用化简结果为整式进行求值。
（+122−x）÷x−4x−2
=16−x22−x⋅x−2x−4
＝4+x
水果单价6元/千克
质量
金额
甲
5千克
30元
乙
5千克
30元
水果单价4元/千克
质量
金额
甲
5千克
元
乙
千克
30元
解：原式=(2a+1−a+1a+1)÷(a−1)2a+1①
=2−a+1a+1⋅a+1(a−1)2②
=3−a(a−1)2③