人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程第1课时教案

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程第1课时教案，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●置疑导入 创设情境，导入新课
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为25 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
（学生分析，根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列出方程）
分析：设江水的流速为v km/h，则轮船顺流航行的速度为(25＋v) km/h，逆流航行的速度为(25－v) km/h，顺流航行90 km所用的时间为 eq \f(90,25＋v) h，逆流航行60 km所用的时间为 eq \f(60,25－v) h.
可列方程 eq \f(90,25＋v)＝ eq \f(60,25－v).
思考：
(1)方程 eq \f(90,25＋v)＝ eq \f(60,25－v)与以前所学的整式方程有何不同？
(2)什么叫分式方程？
(3)如何解分式方程 eq \f(100,25＋v)＝ eq \f(60,25－v)呢？怎样检验所求未知数的值是原方程的解？
(4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和方法吗？
【教学与建议】教学：通过经历实际问题→列分式方程→置疑，发展学生分析问题和解决问题的能力．建议：小组讨论，归纳分式方程的概念及解法．
●复习导入
1．含有 未知数的等式 叫作方程．使方程左、右两边 相等 的未知数的值叫作方程的解．
2. 在x＝0，x＝1，x＝－1中，哪个是方程 eq \f(x3－x,x－1)＝0的解？为什么？
解：(1)当x＝0时，左边＝ eq \f(x3－x,x－1)＝ eq \f(0,－1)＝0，右边＝0，∴左边＝右边，
∴x＝0是方程 eq \f(x3－x,x－1)＝0的解．
(2)当x＝1时，左边式子 eq \f(x3－x,x－1)无意义，∴x＝1不是方程 eq \f(x3－x,x－1)＝0的解．
(3)当x＝－1时，左边＝ eq \f((－1)3－(－1),－1－1)＝ eq \f(0,－2)＝0，∴左边＝右边，
∴x＝－1是方程 eq \f(x3－x,x－1)＝0的解．
3．把 eq \f(1,2)的分子分母都加上同一个数， 能使分数的值变为 eq \f(1,4)吗？
解：设所求的数为x，则依据题意可列出方程 eq \f(1＋x,2＋x)＝ eq \f(1,4).
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．
【教学与建议】教学：通过复习整式方程和方程解的概念导入新课，直接进入本节课的难点：使分式的分母为零的值不是方程的解．建议：可先由学生讨论如何解这个方程，再在学生讨论的基础上分析，要把分式方程转化为整式方程．
· 命题角度1 判别分式方程
分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．
【例1】(1)下列是分式方程的是(B)
A．－ eq \f(2x,3)－3x＝6 B． eq \f(1,x－1)－1＝0 C． eq \f(x,2)－3x＝5 D．2x2＋3x＝－2
(2)下列方程中，a，b为已知数，x为未知数：
① eq \f(x,2)＋ eq \f(x,3)＝ eq \f(1,4)；② eq \f(2,x2)＋ eq \f(3,x)＝4；③ eq \f(x,a)＋ eq \f(a,b)＝x；④ eq \f(5,x2－1)＋2＝ eq \f(x－1,x2＋1)；⑤ eq \f(x2,x)＝0.
其中，是关于x的分式方程的是 ②④⑤ .
· 命题角度2 解分式方程
解分式方程的一般步骤：去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后验根．
【例2】(1) 分式方程 eq \f(3,x－2)＝1的解是(C)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝－5
(2)①当x＝ 2 时，式子 eq \f(1,x－1)－ eq \f(2,x－1)的值为－1；
②方程 eq \f(9,x)＝ eq \f(8,x－1)的解为 x＝9 .
· 命题角度3 利用分式方程的增根解题
由分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题．
【例3】(1)若关于x的分式方程 eq \f(3x,x－2)＝ eq \f(m＋3,x－2)＋1有增根，则m＝ 3 ；
(2)若关于x的分式方程 eq \f(1,x－4)＋ eq \f(m,x＋4)＝ eq \f(m＋3,x2－16)无解，则m的值为 －1或－ eq \f(1,3)或5 .
高效课堂 教学设计
1．理解分式方程的概念．
2．了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．
3．理解分式方程验根的必要性，掌握解分式方程验根的方法．
▲重点
分式方程的解法．
▲难点
分式方程的解题步骤及验根．
◆活动1 新课导入
1．只含有 一 个未知数，并且未知数的指数是 1 的整式方程叫作一元一次方程．
2．解一元一次方程的一般步骤有： 去分母 、 去括号 、移项、 合并同类项 、系数化为1.
3．解方程： eq \f(x＋1,6)＝ eq \f(2x－5,4)＋1.
解：去分母，得2(x＋1)＝3(2x－5)＋12.
去括号，得2x＋2＝6x－15＋12.
移项，得2x－6x＝－15＋12－2.
合并同类项，得－4x＝－5.
系数化为1，得x＝ eq \f(5,4).
◆活动2 探究新知
1．教材P164 思考以上的内容．
提出问题：
(1)观察方程 eq \f(90,30＋v)＝ eq \f(60,30－v)有什么特征？
(2)它与我们学过的整式方程有什么不同？
(3)什么叫作分式方程？
学生完成并交流展示．
2．教材P164 思考．
提出问题：
(1)你知道怎么解方程 eq \f(90,30＋v)＝ eq \f(60,30－v)吗？
(2)能否将分式方程化为整式方程再进行计算？将分式方程化为整式方程的关键步骤是什么？
(3)解分式方程中，得到的整式方程的解一定是分式方程的解吗？
(4)解分式方程的一般步骤是什么？
学生完成并交流展示．
3．教材P164 探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1． 分母中 含有未知数的方程叫作分式方程．
2．解分式方程的基本思路是将分式方程化为 整式方程 ，具体做法是 去分母 .
3．解分式方程时， 去分母 后所得的整式方程的解有可能使原方程中 分母 为0，因此解分式方程需验根．将整式方程的解代入 最简公分母 ，如果 最简公分母 的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P165 例1.
例2 教材P166 例2.
例3 符号 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))称为二阶行列式，规定它的运算法则为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，请你根据上述规定求出等式 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1( 2 1,\f(1,1－x) \f(1,x－1)))＝1中x的值．
解：由题意，得 eq \f(2,x－1)－ eq \f(1,1－x)＝1，解得x＝4.检验：当x＝4时，x－1≠0，∴x的值为4.
例4 若关于x的方程 eq \f(1,x－2)＋ eq \f(k,x＋2)＝ eq \f(3,x2－4)无解，求k的值．
解：k＝－1或－ eq \f(3,4)时，原分式方程无解．
练习
1．教材P166 练习．
2．解下列方程：
(1) eq \f(x,x－1)＝ eq \f(3,2x－2)－2；
解：方程两边乘2x－2，得2x＝3－2(2x－2)，解得x＝ eq \f(7,6).
检验：当x＝ eq \f(7,6)时，2x－2≠0.∴原分式方程的解为x＝ eq \f(7,6)；
(2) eq \f(1,x－2)＋2＝ eq \f(1－x,2－x).
解：方程两边乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
3．如果关于x的方程1＋ eq \f(x,2－x)＝ eq \f(2m,x2－4)的解也是不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2)＞x－3，,2(x－3)＞x－9))的一个解，求m的取值范围．
解：解分式方程，得x＝－m－2.∵x≠±2，∴－m－2≠±2，∴m≠－4且m≠0.解不等式组，得－3＜x＜5，∴－3＜－m－2＜5，解得－7＜m＜1，∴m的取值范围为－7＜m＜1，且m≠－4且m≠0.
◆活动5 课堂小结
1．分式方程的概念．
2．分式方程的解法．
1．作业布置
(1)教材P169 习题18.5第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思