人教版（2024）八年级上册（2024）18.4 整数指数幂精品综合训练题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）18.4 整数指数幂精品综合训练题，共9页。

知识点01 整数指数幂
负整数指数幂：
一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 倒数 。即： 1an 。（a≠0）证明：
a2−4 = a−2 。
写成分数的形式计算：
即： a2a4 = = 1a2 。
∴=
整数指数幂的运算性质：
【即学即练1】
1．﹣3﹣2＝ −19 ，（﹣3）﹣2＝ 19 ，（−13）﹣2＝ 9 ．
【答案】−19；19；9．
【解答】解：﹣3﹣2=−19，（﹣3）﹣2=19，（−13）﹣2＝9，
故答案为：−19；19；9．
【即学即练2】
2．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a2b3（2a﹣1b3）＝2a2﹣1b3+3＝2ab6；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3，
＝a6b3c﹣3，
=a6b3c3；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2，
＝2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2），
＝8a4b6c﹣6，
=8a4b6c6．
【即学即练3】
3．若（x﹣1）0﹣2（2x﹣6）﹣2有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜3C．x≠1或x≠3D．x≠1且x≠3
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，且2x﹣6≠0，
解得：x≠1且x≠3，
故选：D．
【即学即练4】
4．已知10﹣2α＝3，10−β=15，求106α+2β的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵10﹣2α=1102α=3，10﹣β=110β=15，
∴102α=13，10β＝5，
∴106α+2β＝（102α）3•（10β）2，
＝（13）3×52，
=127×25，
=2527．
知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成 a×10−n 的形式，其中a的取值范围为 1≤|a|＜10 ，n为正整数。
n的确定方法：方法1：左边起到第一个不为0的数字前的所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
方法2：小数点向右移动到第一位非0数字后，小数点移动了几位n的值就是几。
【即学即练1】
5．人体一根头发的直径约为0.000052米，将数字0.000052用科学记数法表示为（ ）
A．0.52×10﹣4B．52×10﹣6C．5.2×10﹣6D．5.2×10﹣5
【答案】D．
【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5．
故选：D．
题型01 负整数指数幂的计算
【典例1】计算(35)−2的结果是（ ）
A．925B．−925C．−259D．259
【答案】D
【解答】解：(35)−2=1(35)2=1925=1÷925=1×259=259，
故选：D．
【变式1】计算：（﹣3）﹣3＝（ ）
A．27B．127C．−127D．﹣27
【答案】C
【解答】解：（﹣3）﹣3=−127，
故选：C．
【变式2】计算：（3ab−22a−1b）﹣1＝ 2b33a2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（3a22b3）﹣1
=2b33a2．
故答案为：2b33a2．
【变式3】将代数式27a−3b2c−3表示成只含有正整数指数幂的形式为 2b27a3c3 ．
【答案】2b27a3c3．
【解答】解：代数式27a−3b2c−3表示成只含有正整数指数幂的形式为：27a−3b2c−3=27×1a3⋅b2⋅1c3=2b27a3c3．
故答案为：2b27a3c3．
【变式4】已知a﹣1﹣b﹣1＝3，化简3a−ab−3ba−b(1−a)= 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵a﹣1﹣b﹣1＝3，
∴1a−1b=3，
∴b﹣a＝3ab，
∴a﹣b＝﹣3ab，
∴原式=3(a−b)−ab(a−b)+ab
=3×(−3ab)−ab−3ab+ab
=−10ab−2ab
＝5．
故答案为：5．
题型02 利用整数指数幂的计算求值
【典例1】已知，则m+2n的值＝ ﹣3 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴3m⋅32n＝3﹣3，
∴3m+2n＝3﹣3，
∴m+2n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值 ．
【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝，
y﹣n＝（yn）﹣1＝．
（x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝，
故答案为：．
【变式2】已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．
【分析】根据负整数指数幂的性质及完全平方公式对原式进行化简，然后代入即可得出答案．
【解答】解：由已知，，
∴a﹣2m+a﹣2n＝（a﹣m+a﹣n）2﹣2a﹣ma﹣n＝3．
【变式3】已知|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，求a﹣2b﹣5的值．
【分析】直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，再利用负整数指数幂的性质代入计算得出答案．
【解答】解：∵|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，
∴b﹣2＝0，a+b﹣1＝0，
解得：b＝2，a＝﹣1，
∴a﹣2b﹣5＝（﹣1）﹣2×2﹣5
＝1×
＝．
题型03 根据式子有无意义求值
【典例1】若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣2B．x≠0C．x≠12D．x=12
【答案】C
【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，
解得：x≠12．
故选：C．
【变式1】若（x﹣2）0+（6﹣2x）﹣1有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＞3C．2＜x＜3D．x≠2且x≠3
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0且6﹣2x≠0，
解得：x≠2且x≠3，
故选：D．
【变式2】若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4B．x＜3C．x≠4或x≠3D．x≠4且x≠3
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，
∴x−4≠02x−6≠0，
解得x≠4且x≠3．
故选：D．
【变式3】若（x+1）0无意义，则整式x2﹣x的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：根据题意可知，x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴x2﹣x＝（﹣1）2﹣（﹣1）＝1+1＝2．
故答案为：2．
题型04 比较大小
【典例1】已知a=(13)−2，b=(−3)2，c=90，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＝b＞c
【答案】D
【解答】解：根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则可得：
a=(13)−2=9，b＝（﹣3）2＝9，c＝90＝1，
∴a＝b＞c，
故选：D．
【变式1】已知a=(−2)0，b=(−2)−2，c=(12)−1，那么a，b，c的大小关系（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【答案】D
【解答】解：a＝1，b=14，c＝2，
∴c＞a＞b，
故选：D．
【变式2】若a=3−2，b=−32，c=(−12)−2，d=(−13)0，则它们的大小关系是（ ）
A．b＜a＜d＜cB．a＜b＜c＜dC．b＜a＜c＜dD．c＜a＜d＜b
【答案】A
【解答】解：∵a=3−2=−19，b＝﹣32＝﹣9，c=(−12)−2=4，d=(−13)0=1，
∴它们的大小关系是：b＜a＜d＜c，
故选：A．
【变式3】若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c=(−13)−2，d=(−15)0，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a＜b＜d＜cB．b＜a＜d＜cC．a＜d＜c＜bD．c＜a＜d＜b
【答案】A
【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2=19，c=(−13)−2=9，d=(−15)0=1，
∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c．
故选：A．
题型05 用科学记数法表示较小的数
【典例1】用科学记数法表示0.0000456，正确的是（ ）
A．4.56×10﹣5B．45.6×10﹣6
C．4.56×105D．0.456×10﹣4
【答案】A．
【解答】解：0.0000456＝4.56×10﹣5．
故选：A．
【变式1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.000028m这个数用科学记数法表示是（ ）
A．0.28×10﹣5B．2.8×10﹣5C．2.8×10﹣6D．﹣2.8×105
【答案】B．
【解答】解：0.000028＝2.8×10﹣5．
故选：B．
【变式2】通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（ ）
A．0.74×10﹣4B．7.4×10﹣4C．7.4×10﹣5D．74×10﹣6
【答案】C
【解答】解：0.000074＝7.4×10﹣5．
故选：C．
【变式3】某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣9B．0.18×10﹣10
C．18×10D．1.8×10﹣10
【答案】D．
【解答】解：0.00000000018＝1.8×10﹣10．
故选：D．
1．下列计算正确的是（ ）
A．00＝1B．（﹣2）0＝﹣1C．30＝1D．（﹣1）0＝0
【答案】C
【解答】解：A、00＝1，因为0的0次幂无意义，所以该等式不成立，不符合题意；
B、（﹣2）0＝1≠﹣1，原计算错误，不符合题意；
C、30＝1，正确，符合题意；
D、（﹣1）0＝1≠0，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
2．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣8B．1.4×10﹣7C．0.14×10﹣6D．1.4×10﹣9
【答案】B．
【解答】解：0.00000014＝1.4×10﹣7．
故选：B．
3．下列计算结果中值最小的是（ ）
A．（﹣2）3B．﹣（+2）C．﹣|3|D．(−13)−2
【答案】A．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，﹣（+2）＝﹣2，﹣|3|＝﹣3，(−13)−2=9，
∴﹣8＜﹣3＜﹣2＜9，
∴（﹣2）3＜﹣|3|＜﹣（+2）＜(−13)−2，
∴最小的数是：（﹣2）3．
故选：A．
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．（﹣2）﹣3与23B．（﹣2）﹣2与2﹣2
C．33与（−13）3D．（﹣3）﹣3与（13）3
【答案】D
【解答】解：A．（﹣2）﹣3=−18与23＝8，两数不是相反数，故此选项不合题意；
B．（﹣2）﹣2=14与2﹣2=14，两数不是相反数，故此选项不合题意；
C．33＝27与（−13）3=−127，两数不是相反数，故此选项不合题意；
D．（﹣3）﹣3=−127与（13）3=127，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
故选：D．
5．若a＝﹣22，b＝2﹣2，c=(12)−2，d=(12)0，则（ ）
A．b＜a＜d＜cB．a＜b＜d＜cC．a＜c＜b＜dD．a＜b＜c＜d
【答案】B
【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2=14，c=(12)−2=4，d=(12)0=1，
∵﹣4＜14＜1＜4，
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
6．若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜2C．x≠3或x≠2D．x≠3且x≠2
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，
∴x−3≠03x−6≠0，
解得：x≠3且x≠2．
故选：D．
7．若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（ ）
A．0B．1
C．0或1D．以上都不对
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣2）2x＝1，
∴x＝0时，原式＝1，
当x﹣2＝1时，x＝3，此时（x﹣2）2x＝16＝1，
当x﹣2＝﹣1时，x＝1，此时（x﹣2）2x＝（﹣1）﹣2＝1，
综上所述：x的值为3或1或0．
故选：D．
8．若32x+1=13，则（x+2）2023的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2022D．2024
【答案】B
【解答】解：由题意可知：2x+1＝﹣1，
∴x＝﹣1，
∴原式＝（﹣1+2）2023＝1，
故选：B．
9．若a＝22033，b=(18)1022，则a2b等于（ ）
A．21000B．22011C．2﹣1011D．（12）1000
【答案】A
【解答】解：∵a＝22033，b=(18)1022，
∴a2＝（22033）2＝24066，b＝（2﹣3）1022＝2﹣3066，
∴a2b＝24066×2﹣3066＝24066﹣3066＝21000．
故选：A．
10．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①lg216＝4，②lg28＝4，③lg319=−2．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解答】解：由题意得：
①∵24＝16，
∴lg216＝4，
故①正确；
②∵23＝8，
∴lg28＝3，
故②不正确；
③∵3﹣2=19，
∴lg319=−2，
故③正确；
所以，正确的是①③，
故选：B．
11．−12024+(12)−2= 3 ．
【答案】3．
【解答】解：原式＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
12．计算：（﹣2a﹣2b3）÷（a3b﹣1）3＝ −2b6a11 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝（﹣2a﹣2b3）÷（a9b﹣3）
＝﹣2a﹣2﹣9b3﹣（﹣3）
＝﹣2a﹣11b6
=−2b6a11．
故答案为：−2b6a11．
13．若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2025）2＝0，则m﹣1+n0＝ 32 ．
【答案】32．
【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣2025）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣2025＝0，
∴m＝2，n＝2025，
∴m﹣1+n0＝2﹣1+20250=32．
故答案为：32．
14．利用负整数指数幂将2m+n写成不含分母的形式为 2（m+n）﹣1． ．
【答案】2（m+n）﹣1．
【解答】解：由题意可得：2m+n=2(m+n)−1，
∴利用负整数指数幂将2m+n写成不含分母的形式为2（m+n）﹣1，
故答案为：2（m+n）﹣1．
15．将（3m3n﹣3）3•（﹣mn﹣3）﹣2的结果化为只含有正整数指数幂的形式为 27m7（1n）3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（3m3n﹣3）3•（﹣mn﹣3）﹣2
＝27m9n﹣9•（m﹣2n6）
＝27m7（1n）3．
故答案为：27m7（1n）3．
16．（1）−|−2|+(−12)−2−2÷20250；
（2）−2−1−(23)2024×(−32)2025．
【答案】（1）0；
（2）1．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+4﹣2÷1
＝﹣2+4﹣2
＝0；
（2）原式=−12−(23)2024×(−32)2024×(−32)
=−12−(23)2024×(32)2024×(−32)
=−12−(23×32)2024×(−32)
=−12−1×(−32)
=−12+32
＝1．
17．一块正方体铁块的棱长为0.2m．
（1）这块正方体铁块的体积是多少m3（用科学记数法表示）？
（2）如果有一种小正方体铁块的棱长为2×10﹣2m，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以紧密的摆成棱长为0.2m的大正方体铁块？
【答案】（1）8×10﹣3立方米；（2）1000块．
【解答】解：（1）根据题意可知，0.23＝0.008＝8×10﹣3（立方米），
答：这块正方体铁块的体积是8×10﹣3立方米；
（2）（2×10﹣2）3＝23×10﹣6＝8×10﹣6（立方米），
8×10﹣3÷（8×10﹣6）＝1×103＝1000（个），
答：需要1000块这样的小正方体铁块．
18．（1）计算（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1）．
（2）已知m2﹣5m﹣1＝0，求m4+1m2的值．
【答案】（1）y−xxy；（2）27．
【解答】解：（1）（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1）
=(1x2−1y2)÷(1x+1y)
=y2−x2x2y2÷y+xxy
=(y+x)(y−x)x2y2×xyy+x
=y−xxy；
（2）∵m2﹣5m﹣1＝0，
∴m2﹣5m＝1，
∴m2−5mm=1m，
∴m−5=1m，
∴m−1m=5，
∴(m−1m)2=m2−2+1m2=25，
∴m2+1m2=27，
∴m4+1m2=m2+1m2=27．
19．已知（|x|﹣4）x+1＝1，求整数x的值
小红与小明交流如下：
小红：因为a0＝1（a≠0），
所以x+1＝0且|x|﹣4≠0，所以x＝﹣1．
小明：因为1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以x＝±5
你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为a0＝1（a≠0），
所以x+1＝0且|x|﹣4≠0，所以x＝﹣1．
因为1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以x＝±5
当|x|﹣4＝﹣1，
解得：x＝±3，此时（|x|﹣4）x+1＝（﹣1）4或（﹣1）﹣2其结果都为1，
综上所述：x的值可以为：﹣1，±3，±5．
20．【实践与探究】
【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在an＝b中，a、b、n三者的关系．
同学甲：在an＝b中，已知a、n，求b，这是我们学过的乘方运算，其中b叫做a的n次方．
如：（﹣2）3＝﹣8，则﹣8是﹣2的3次方．
同学乙：在an＝b中，已知b、n，求a，这是我们学过的开方运算，其中a叫做b的n次方根，
如：（±2）2＝4，则±2是4的二次方根（即平方根）；
（﹣2）3＝﹣8，则﹣2是﹣8的三次方根（即立方根）．
老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算：
（1）81的四次方根等于 ±3 ，﹣32的五次方根等于 ﹣2 ；
同学丙：老师，在an＝b中，如果已知a和b，那么如何求n呢？又是一种什么运算呢？
老师：这个问题问的好，已知a、b，可以求n，它是一种新的运算，称为对数运算．
这种运算的定义是：若an＝b（a＞0，a≠1），则n叫做以a为底b的对数，记作：n＝lgab．
例如：23＝8，则3叫做以2为底8的对数，记作lg28＝3．
结合上面的学习，请你计算：
（2）lg327＝ 3 ，3−64+lg4116= ﹣6 ；
随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么lga（M•N）＝lgaM+lgaN．
（3）请利用上述性质计算：lg57+lg517．
【答案】（1）±3，﹣2；（2）3，﹣6；（3）lg57+lg517=0．
【解答】解：（1）∵（±3）4＝81，
∴81的四次方根等于±3，
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴﹣32的五次方根等于﹣2；
故答案为：±3，﹣2；
（2）∵33＝27，
∴lg327＝3，
∵(4)−2=116，(−4)3=−64，
∴3−64+lg4116=−4+(−2)=−6；
故答案为：3，﹣6；
（3）∵lga（M•N）＝lgaM+lgaN，
∴lg57+lg517=lg5(7×17)=lg51=0．
教学目标
掌握并区分整数指数幂的所有计算，并能够在整数指数幂的计算中熟练应用。
掌握科学记数法表示较小的数的方法，并能够熟练的表示较小的数。
教学重难点
重点
整数指数幂的计算；
科学记数法表示较小的数。
2. 难点
（1）负整数指数幂的计算；
（2）利用整数指数幂的计算求值以及根据式子有无意义求值。
整数指数幂
（指数均为整数，底数不为0）
运算法则
逆运算
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
分式的乘方
0指数幂
指数运算
21＝2
22＝4
23＝8
…
31＝3
32＝9
33＝27
…
新运算
lg22＝1
lg24＝2
lg28＝3
…
lg33＝1
lg39＝2
lg327＝3
…