人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定优秀第4课时课时训练

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定优秀第4课时课时训练，共4页。试卷主要包含了 尺规作图的基本定义， 用直尺和圆规作三角形等内容，欢迎下载使用。

知识点01 用直尺与圆规作三角形
1. 尺规作图的基本定义：
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。
2. 用直尺和圆规作三角形
【即学即练1】
1．“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，线段m，n及∠O．
求作：△ABC，使得其中的两边长分别为m，n，一内角等于∠O．
按以下作法作图：
①以点O为圆心，线段m的长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，线段m的长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 BD ＝ MN ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 ；
（3）还能再作出其他的三角形吗？试试吧!
【答案】（1）BD，MN；
（2）（3）见解析．
【解答】解：（1）BD，MN．
（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
知识点02 用直尺和圆规作一个角等于已知角
1. 尺规作图作一个角等于已知角：
【即学即练1】
2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【答案】B
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD和△C'O'D'中，
OD=OD'OC=OC'CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB，
故选：B．
【即学即练2】
3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：
①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F．
则正确的作图顺序是（ ）
A．①﹣②﹣③﹣④B．②﹣④﹣①﹣③
C．④﹣②﹣③﹣①D．④﹣③﹣②﹣①
【答案】C
【解答】解：作法：④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F．
②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D．
①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
【即学即练3】
4．尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图∠A′O′B′即为所求；
知识点03 用直尺和圆规作直线的平行线
2. 尺规作图作一个角等于已知角：
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上．在边AC求作点E，使得DE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【解答】解：图形如图所示．
题型01 作图步骤的判断与熟悉
【典例1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图：
①作射线EG；
②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q；
④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角；
⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F．
则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④⑤B．①③②⑤④C．①②③⑤④D．①⑤②③④
【答案】B
【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法可知，正确的排序为①③②⑤④．
故选：B．
【变式1】尺规作图：作一个角等于已知角．
如图1，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
下面是打乱顺序的作图步骤：
①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求．
②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′；
③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
⑤如图3，画射线O′A′．则正确的作图顺序为（ ）
A．⑤③④②①B．⑤④③②①C．⑤③②④①D．③④②⑤①
【答案】A
【解答】解：根据作一个角等于已知角的作图方法，正确的作图顺序为：⑤③④②①，
即⑤如图3，画射线O′A′．
③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′；
①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求．
故选：A．
【变式2】数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④B．④③①②C．③②④①D．②④③①
【答案】D
【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
【变式3】小郑在用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB时，具体的操作步骤是：
（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，以◆为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以★的长为半径作弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
（5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．下列说法不正确的是（ ）
A．◆表示任意长B．★与◆的长相等
C．▲与线段CD的长相等D．▲与★的长相等
【答案】D
【解答】解：（1）（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
（5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．
故选项ABC正确，
故选：D．
题型02 作图依据的判断
【典例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解答】解：由作图可得：
GH=MNOG=PMOH=PN，
∴△OGH≌△PMN（SSS），
∴∠AOB＝∠CPD，
故选：A．
【变式1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
【答案】C
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O＝∠O'
故选：C．
【变式2】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
【答案】C
【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
在△COD和△C'O'D'中，
OC=O'C'OD=O'D'CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
即这两个三角形全等的依据是SSS，
故选：C．
【变式3】如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解答】解：∵∠APM＝∠AOB，
∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行），
故选：B．
题型03 按要求作图
【典例1】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．
【答案】作图见解答过程．
【解答】解：如图：
△ABC即为所求．
【变式1】如图，在△ABC中，BC＝6．
（1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法）
（2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△ADO与△BCO中，
∠DAO=∠BOA=BO∠AOD=∠BOC，
∴△ADO≌△BCO（ASA），
∴AD＝BC＝6．
【变式2】如图，已知△ABC，点D是AC上一点．
（1）尺规作图：过点D作∠CDE＝∠CAB，交BC于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠ADE＝100°，且AE平分∠CAB，求∠DEA的度数．
【答案】（1）见解答．
（2）∠DEA＝40°．
【解答】解：（1）如图，∠CDE即为所求．
（2）∵∠CDE＝∠CAB，
∴DE∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝80°．
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=12∠CAB=40°，
∴∠DEA＝40°．
【变式3】已知：∠α，∠AOB（如图）．
（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 40°或80° ．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）40°或80°．
【解答】解：（1）如图，∠BOC，∠BOC′即为所求；
（2）∵∠AOB＝60°，∠BOC＝∠BOC′＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°或∠AOC′＝∠AOB+∠BOC′＝80°．
故答案为：40°或80°．
1．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中，
OD=O'D'OC=O'C'CD=C'D'，
∴△ODC≌△O′C′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：A．
3．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一条线段等于已知线段
C．作已知直线的垂线
D．作角的平分线
【答案】B
【解答】解：已知三边作三角形，用到的基本作图是作一条线段等于已知线段，
故选：B．
4．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【解答】解：∵∠DPF＝∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选：A．
5．尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：
步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点 C、D；步骤2：作射线O′A′，以点O′为圆心，乙长为半径画弧，交O′A′于点C′；步骤3：以点C′为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；步骤4：经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
则甲、乙、丙所表示的内容为：（ ）
A．O，OC，CDB．O，OD，OCC．C，OD，CDD．D，OC，OC
【答案】A
【解答】解：步骤1：如图②，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点 C、D；
步骤2：作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
步骤3：以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
步骤4：经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
所以甲、乙、丙所表示的内容为O、OC、CD，
故选：A．
6．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
A．表示点EB．表示PQ
C．表示OQD．表示射线EF
【答案】D
【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
7．如图，若∠α＝29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 58° ．
【答案】58°．
【解答】解：由作法得∠AOB＝2∠α＝2×29°＝58°．
故答案为：58°．
8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 SSS ．
【答案】SSS．
【解答】解：连接EF．
由作图可知，
在△MOD和△FCE中，
MO=FCDO=ECDM=EF，
∴△MOD≌△FCE（SSS），
∴∠AOC＝∠NCB．
故答案为：SSS．
9．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：
（1）以 O 为圆心， 任意长 为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．
（2）画一条射线O′A′，以 O′ 为圆心， OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′，
（3）以点 C′ 为圆心 CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
（4）过点 D′ 画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．
（2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
（4）过点D′画射线O′B′′，则∠AO′B′＝∠AOB．
故答案为：O，任意长，O′，OC，C′，CD，D′．
10．如图，点C在∠AOB的OA边上，小明用尺规作出了∠ACD＝∠AOB．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，OE长为半径画MN，交OA于点M；②作射线CD，则∠ACD＝∠AOB；③以M为圆心，EF长为半径画弧，交MN于点D；④以O为圆心，任意长为半径画EF，分别交OA，OB于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ④①③② ．（填序号即可）
【答案】④①③②．
【解答】解：由题意知，正确的顺序是④①③②．
故答案为：④①③②．
11．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题：
（1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠EOF的度数为81°．
【解答】（1）解：如图，COF即为所求；
（2）解：∵∠COF＝∠AOC，∠AOC＝66°，∠BOD＝∠AOC，
∴∠COF＝66°，∠BOD＝66°，
∴∠FOB＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOD=66°×12=33°，
∴∠EOF＝48°+33°＝81°，
答：∠EOF的度数为81°．
12．如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作∠A＝∠1；
（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；
（3）连接MN．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
13．如图，△ABC中，F为AB边上一点，点D为BC延长线上一点．
（1）在图中按要求完成尺规作图：在BF右侧作∠BFG＝∠A，交BC于点G；（不写作法，保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，∠ACD的角平分线为CE，若∠AFG+∠ACE＝180°．则：
①AB与CE的位置关系是 AB∥CE ；
②∠BFG与∠B的数量关系是什么，请说明理由．
【答案】（1）见解答．
（2）①AB∥CE．
②∠BFG＝∠B，理由见解答．
【解答】解：（1）如图，∠BFG即为所求．
（2）①∵∠BFG＝∠A，
∴FG∥AC，
∴∠AFG+∠A＝180°．
∵∠AFG+∠ACE＝180°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE．
故答案为：AB∥CE．
②∠BFG＝∠B．
理由：∵∠ACD的角平分线为CE，
∴∠ACD＝2∠ACE＝2∠A．
∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴2∠A＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠B，
∴∠BFG＝∠B．
教学目标
1. 掌握作图的基本步骤，能够熟练的按要求作图；
2. 能够熟练的判断作图的作图依据；
3. 能够根据作图痕迹判断所作图形，并利用其性质熟练解决问题。
教学重难点
1. 重点
（1）作图的基本步骤及其依据判断；
（2）按照要求作图。
2. 难点
（1）作图的基本步骤的熟悉与应用；
（2）作图依据的判断及其证明；
（3）按照要求做图并解决问题。
已知
线段a，b，c
求作
△ABC，使其三边的长分别为a，b，c
作法
步骤：
（1）作线段BC＝a；
（2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A；
（3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。
依据
SSS证全等
已知
∠AOB
求作
∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB
作法
步骤：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。
依据
SSS证全等
已知
直线AB及直线外一点C
求作
过C作直线AB的平行线CD
作法
步骤：
（1）过C作一条直线与直线AB相交于点E；
（2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD；
（3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作，∠DEF即为所求作的角．