第十四章 全等三角形 - 初中数学八年级上册 单元核心知识点+练习（人教版2024）

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第十四章 全等三角形 考点01 全等形、全等三角形及其相关概念 全等形的概念： 形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等三角形的概念： 形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的对应点。 能够重合的边叫做全等三角形的对应边。 能够重合的角叫做全等三角形的对应角。 用符号“≌”连接，读作全等于。表示△ABC≌△DEF。对应点必须写在对应的位置。考点02 三角形的性质全等三角形的性质：由全等三角形的性质及其相关概念可知：①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等。③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。考点03 全等三角形的判定边角边（SAS）： （1）概念：若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。（2）数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF（SAS）。注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。角边角（ASA）： （1）概念若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。（2）数学语言：如图，在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF。角角边（AAS）： （1）概念：若两个三角形的两个角及其其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。（2）数学语言：如图，在△ABC与△DEF中：∴△ABC≌△DEF。边边边（SSS）：（1）概念：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。斜边与直角边（HL）： （1）概念：直角三角形的斜边与其中一条直角边对应相等的两个三角形全等。（2）数学语言：如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：∴Rt△ABC≌Rt△DEF。考点04 尺规作图用直尺和圆规作三角形尺规作图作一个角等于已知角：尺规作图作一个角等于已知角：尺规作图作角的平分线：考点05 角的平分线角平分线的性质：性质1：平分角。∠AOC＝∠BOC等于∠AOB的一半。性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即PD＝PE角平分线的判定： （1）角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。（2）数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC考点06 证明文字几何题：证明几何文字命题的一般步骤：根据命题明确命题中的已知与求证。根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的已知与求证。经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。题型01 全等图形1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；故选：D．2．如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：全等图形形状相同，大小相等，A、两个图形形状不同，故选项不符合题意；B、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意；C、两个图形形状不同，故选项不符合题意；D、两个图形大小不等，故选项不符合题意．故选：B．3．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1+∠2＝ 　180°　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在△ABC与△EDF中，BC=DE∠C=∠DFE=90°AC=EF，∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠1＝∠ABC．∵∠ABC+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝180°．故答案为：180°．4．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　45°　 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在△ABC与△EDC中，AB=DE=2，∠ABC=∠D=90°BC=CD=1，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠1＝∠CED，∵∠CED+∠2＝45°，∴∠1+∠2＝45°，故答案为：45°．5．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　105　 °．【答案】105．【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，∵∠D′＝105°，∴∠D＝105°，∵∠B＝90°，∠C＝60°，∴∠A＝105°，∴∠A′＝105°，故答案为：105．题型02 全等三角形的性质1．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为（　　）A．70°B．50°C．60°D．30°【答案】B【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACB＝60°，∴∠B＝50°，∵△ABC≌△DEC，∴∠E＝∠B＝50°，故选：B．2．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为（　　）A．124°B．66°C．114°D．140°【答案】C【解答】解，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝40°，∵∠F＝26°，∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣40°﹣26°＝114°．故选：C．3．如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，DE与AC交于点F，若∠FCD＝∠FDC，则下列结论中错误的是（　　）A．∠BAD＝∠CAEB．AE∥BCC．∠B+2∠E+∠DAC＝180°D．AD＝AF【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，BC＝DE，AC＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），所以结论A正确，不符合题意；∵∠FCD＝∠FDC，∴∠E＝∠FDC，∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），所以结论B正确，不符合题意；∴∠B+∠BAE＝180°，∠E＝∠FDC＝∠C＝∠FAE＝∠BAD，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠CAE＝180°，∴∠B+2∠E+∠DAC＝180°，所以结论C正确，不符合题意；根据已知条件不能证明∠AFD＝∠ADF，∴AD＝AF不成立，所以结论D错误，符合题意；故选：D．4．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm，则DE等于（　　）A．3cmB．4cmC．5cmD．8cm【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△CDE，AB＝5cm，BD＝8cm，∴BC＝DE，CD＝AB＝5cm，∵点B、C、D在同一直线上，∴BC＝BD﹣CD＝8﹣5＝3（cm），∴DE＝BC＝3cm，即DE的长为3cm，综上所述，只有选项A正确，符合题意．故选：A．5．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　）A．12°B．18°C．24°D．36°【答案】A【解答】解：∵∠A：∠C＝4：3，∴设∠A＝4x°，∠C＝3x°，∴∠ABC＝180°﹣4x°﹣3x°＝180°﹣7x°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBC，AB＝BD，∴∠CBE＝∠ABD，∵AB＝DB，∴∠ADB＝∠A＝4x°，∴∠ABD＝180°﹣4x°﹣4x°＝180°﹣8x°，∴∠CBE＝180°﹣8x°，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴180°﹣7x°+180°﹣8x°＝180°，∴x＝12，∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝x°＝12°．故选：A．6．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　）A．20B．23C．24D．26【答案】C【解答】解：∵△BDE≌△CDA，∴DE＝DA，BE＝CA，∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA，∵AB＝14，AC＝10，∴BA+CA＝14+10＝24，即△BDE的周长为24，综上所述，只有选项C正确，符合题意，．故选：C．7．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AD＝AB＝2，∴∠BAD＝∠EAC＝90°∴△ABD的面积=12AB•AD=12×2×2＝2，∵△ABC的面积＝△ADE的面积，∴阴影的面积＝△ABD的面积＝2．故选：A．8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　3　 ；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，故答案为：3；（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．题型03 全等三角形的判定1．如图，∠1＝∠2，下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（　　）A．AC＝ADB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．∠3＝∠4【答案】B【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误，不符合题意；B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确，符合题意；C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误，不符合题意；D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误，不符合题意；故选：B．2．如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（　　）A．AD＝CBB．∠B＝∠DC．AB＝CDD．∠BAC＝∠DCA【答案】C【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，A、由SAS判定△ABC≌△CDA，故A不符合题意；B、由AAS判定△ABC≌△CDA，故B不符合题意；C、∠DAC和∠ACB，分别是DC和AB的对角，不能判定△ABC≌△CDA，故C符合题意；D、由ASA判定△ABC≌△CDA，故D不符合题意．故选：C．3．如图，∠1＝∠2，添加一个条件即可判定△ABD与△ACD全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　）A．添加AB＝AC，用“SAS”判定全等B．添加∠ADB＝∠ADC，用“AAS”判定全等C．添加∠B＝∠C＝90°，用“HL”判定全等D．添加BD＝CD，用“SAS”判定全等【答案】A【解答】解：A、所添条件及所用判定方法都正确，故A符合题意；B、判定方法是ASA，不是AAS，故B不符合题意；C、还需添加一直角边相等的条件，才能用HL判定△ABD与△ACD，故C不符合题意；D、∠1和∠2分别是BD和CD的对角，不能用SAS判定△ABD与△ACD，故D不符合题意．故选：A．4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，则a的值为（　　）A．3B．3或5C．3或154D．5【答案】C【解答】解：由题意得：BP＝3t，CQ＝at，∵BC＝8，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣3t，∵AB＝AC＝10，∴∠B＝∠C，∵点D为AB的中点，∴BD=12AB＝5，分两种情况：当△BDP≌△CQP时，∴BP＝CP，BD＝CQ，∴3t＝8﹣3t，5＝at，解得：t=43，a=154；当△BDP≌△CPQ时，∴BD＝CP，BP＝CQ，∴5＝8﹣3t，3t＝at，解得：t＝1，a＝3；综上所述：a的值为3或154，故选：C．5．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s．A．1B．1或3C．2或4D．1或4【答案】B【解答】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴7﹣2t＝8﹣3t，∴t＝1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴7﹣2t＝3t﹣8，∴t＝3，综上所述：t的值为1或3．故选：B．6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠EAB=AE∠A=∠D，∴△ABC≌△DEF（ASA）．7．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：△DEF≌△ABC．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵DA＝EB，∴DE＝AB，在△DEF和△ABC中，EF=BCDF=ACDE=AB，∴△DEF≌△ABC（SSS）．8．如图1，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由；（2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值．【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ，理由见解答过程；（2）x＝3cm/s，t＝1s或x=215cm/s，t=53s．【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下：∵点P，Q的运动的速度都是3cm/s，∴当运动的时间t＝1时，AP＝BQ＝3cm，∵AB＝10cm，∴BP＝AB﹣AP＝7（cm），∵AC＝7cm，∴AC＝BP＝7cm，∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，在△ACP与△BPQ中，AP=BQ∠A=∠B=90°AC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠C＝∠BPQ，在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°，∴∠BPQ+∠APC＝90°，∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，∴PC⊥PQ；（2）∵点P运动的速度是3cm/s，点Q的运动速度为x cm/s，运动的时间为t s，∴AP＝3t cm，BQ＝xt xm，∵AC＝7cm，AB＝10cm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm，又∵∠CAB＝∠DBA，∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AP＝BQ，AC＝BC时，△ACP≌△BPQ（SAS），由AC＝BC，得：7＝10﹣3t，解得：t＝1，由AP＝BQ，得：3t＝xt，解得：x＝3，∴相应的x与t的值为：x＝3cm/s，t＝1s；②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP（SAS），由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t，解得：t=53，由AC＝BQ，得：7＝xt，将t=53代入7＝xt，得：x=215，∴相应的x与t的值为：x=215cm/s，t=53s，综上所述：相应的x与t的值为x＝3cm/s，t＝1s或x=215cm/s，t=53s．9．如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG．（1）如图1，求证：△BDG≌△CEF．（2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形．（△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．）【答案】（1）见解答；（2）△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE．【解答】（1）证明：∵FE⊥BC，GD⊥BC，∴∠BGD＝∠CFE＝90°，∵BF＝CG，∴BF+FG＝FG+CG，即BG＝CF，在△BDG和△CEF中，∠B=∠CBG=CF∠BGD=∠CFE，∴△BDG≌△CEF（ASA）；（2）解：∵△BDG≌△CEF，∴BD＝CE，DG＝EF，在△BEF和△CDG中，BF=CG∠BFE=∠CGDEF=DG，∴△BEF≌△CDG（SAS）；∴BE＝CD，在△BCE和△CBD中，BC=CBBE=CDCE=BD，∴△BCE≌△CBD（SSS）；∴∠EBC＝∠DCB，∵∠OBC＝∠OCB∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC∴∠EBO＝∠DCO，在△BOE和△COD中，BE=CD∠EBO=∠DCOBO=CO，∴△BOE≌△COD（SAS）；在△BAD和△CAE中，∠A=∠A∠ABD=∠ACEBD=CE，∴△BAD≌△CAE（AAS），综上所述，图中全等的三角形为△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE．题型04 直角三角形的全等判定1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）A．AE＝DFB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AB＝DC【答案】D【解答】解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=CDBE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：D．2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）A．AASB．HLC．SASD．ASA【答案】B【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，∴∠BEC＝∠BFC＝90°，在Rt△BCF和Rt△CBE中，BE=CFBC=CB，∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．故选：B．3．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴∠AEB＝∠BDC＝90°，在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB=BCBE=CD，∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．4．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，点B、E、C、F在同一条直线上，且BE＝FC，求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝FC，∴BE+EC＝FC+EC，即BC＝FE，∵∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DEBC=FE，∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS）．∴EA＝FC，BE＝AF．∴EF＝EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS）．∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．题型05 全等三角形的判定与性质1．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA，故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA，∵AB＝DC，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴AD＝DE，故②正确；③∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠CDE＝50°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴D为BC中点，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝30°，故④不正确．∴正确的有①②③，共3个，故选：C．3．如图，点C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论①∠AOB＝60°；②PQ∥AE；③OC平分∠AOE；④OC+OD＝OE，下面的结论正确的有（　　）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCEDC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA＝∠CEB，∠CAD＝∠CBE，∵∠BPO＝∠APC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故①正确，符合题意；又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，即∠PCD＝∠QCE，在△CDP和△CEQ中，∠PDC=∠QECDC=EC∠PCD=∠QCE，∴△CDP≌△CEQ（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故②正确，符合题意；过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△BCE≌△ACD，∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，∴12×BE×CM=12×AD×CN，∴CM＝CN，∴OC平分∠AOE，故③正确，符合题意；在OE上截取EH＝OC，连接DH，CH，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAO＝∠CBO，∵∠CBO+∠CEB＝∠ACB＝60°，∴∠CAO+∠CEO＝60°，∴∠AOE＝120°，∵OC平分∠AOE，∴∠EOC＝60°＝∠ABC，∵∠CQO＝∠EQD，∴∠OCD＝∠HED，在△OCD和△HED中，OC=EH∠OCD=∠HEDCD=ED，∴△OCD≌△HED（SAS），∴OD＝HD，∵∠AOB＝∠DOH＝60°，∴△DHO是等边三角形，∴OH＝OD，∵OE＝EH+OH，∴OE＝OC+OD，故④正确，符合题意；故选：D．4．【问题背景】已知△ABC是等边三角形，AB＝6．【初步发现】（1）如图1，点E为BC上一点，点F为AC上一点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点G，求∠AGF的度数；【拓展延伸】（2）如图2，点M是BC延长线上一点，连接AM，CN平分∠ACM交MN于点N，∠AMN＝60°，求CN﹣CM的值．【答案】（1）∠AGF＝60°；（2）6．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABC=∠CBE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠ABG+∠CBF＝60°，∴∠AGF＝∠ABG+∠GAB＝60°；（2）点M是BC延长线上一点，连接AM，CN平分∠ACM交MN于点N，∠AMN＝60°，如图2，作MH∥AC交CN于H，∴∠HMC＝∠ACB＝60°，∠ACN＝∠MCN＝60°，∴△HCM为等边三角形，∴HC＝CM＝HM，∵∠CMH＝60°，∠AMN＝60°，∴∠AMC＝∠NMH，∠NHM＝∠ACM＝120°，在△AMC和△NMH中，∠ACM=∠NHM=120°CM=HM∠AMC=∠NMH，∴△AMC≌△NMH（ASA），∴NH＝AC＝6，∴CN﹣CM＝CN﹣CH＝NH＝6．5．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD=90°CE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．6．数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的．（1）【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE，CD．这一图形称为“手拉手模型”．求证：△ABE≌△ACD，请你完善下列过程．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（ 　等式的性质　 ）①．即∠2＝∠3．…∴△ABE≌△ACD（ 　SAS　 ）②．（2）【类比推理】如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射线上取点D，使∠ADB＝∠ACB，求∠BDC的度数．（提示：可构建手拉手模型，在BD上找一点E，使AE＝AD）【答案】（1）①等式的性质；②SAS；（2）42°．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠1＝∠DAE﹣∠1（等式的性质）①，即∠2＝∠3，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠2=∠3AD=AE，∴△ABE≌△ACD（SAS）②，故答案为：①等式的性质；②SAS；解：在BD上取一点E，使AE＝AD，设AC于BD相交于点F，如图所示：∴∠AED＝∠ADB，在△ADE中，∠EAD＝180°﹣（∠AED+∠ADB）＝180°﹣2∠ADB，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，在△ABF中，∠ABE+∠AFB+∠BAC＝180°，在△CDF中，∠ACD+∠CFD+∠BDC＝180°，又∵∠AFB＝∠CFD，∴∠BDC＝∠BAC＝42°．7．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE．（1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE；（2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长；（3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数．【答案】（1）证明见解答；（2）10；（3）60°．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°，∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM，∵AD＝AE，AM＝AM，∴△ADM≌△AEM（SAS），∴DM＝EM，∴△BDM的周长＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10；（3）解：如图，延长DH到点I，使IH＝DH，连接FD，FI，FE，CI，由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD，∵点H为底边BC的中点，FH⊥DH，∴BH＝CH，FD＝FI，∵∠BHD＝∠CHI，∴△BHD≌△CHI（SAS），∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI，∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE，∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD，即∠ECF＝∠CBA＝30°，∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF，∴∠ACB＝∠FCI＝30°，∴∠ECF＝∠ICF＝30°，∵BD＝CI，BD＝CE，∴CE＝CI，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CIF（SAS），∴FI＝FE＝FD，∵AF＝AF，AD＝AE，∴△AFD≌△AFE（SAS），∴∠EAF=∠DAF=12∠DAE=12×120°=60°．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以2cm/s和x cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．（1）如图1，当x＝3时，设点P运动时间为t s，当点P在AC上，点Q在BC上时，①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝ 　（6﹣2t）　 cm，CQ＝ 　（8﹣3t）　 cm；②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由；（2）请问：当x＝4时，以点P、E、C为顶点的三角形与以点Q、F、C为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的t值；若不能，请说明理由．【答案】（1）①（6﹣2t），（8﹣3t）；②全等，理由见解答；（2）可能，1或73或6．【解答】解：（1）①由题意得：AP＝2t cm，BQ＝3t cm，则CP＝（6﹣2t）cm，CQ＝（8﹣3t）cm，故答案为：（6﹣2t），（8﹣3t）；②当t＝2时，△PEC与△QFC全等，理由如下：当t＝2时，CP＝6﹣2×2＝2（cm），CQ＝8﹣3×2＝2（cm），∴CP＝CQ，∵∠ACB＝90°，∴∠PCE+∠QCF＝90°，又∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，∴∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠PCE+∠CPE＝90°，∴∠CPE＝∠QCF，在△PEC和△CFQ中，∠CPE=∠QCF∠PEC=∠CFQ，CP=QC ∴△PEC≌△CFQ（AAS）；（2）当x＝4时，△PEC与△QFC有可能全等，分三种情况：①当点P在AC上，点Q在BC上时，△PEC≌△CFQ，如图，则PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣4t，解得t＝1；②如图，∵点P与点Q重合，∴△PEC与QFC全等，∴CP＝CQ，∴6﹣2t＝4t﹣8，解得t=73；③当点P在BC上，点Q到点A时，△PEC≌△CFQ，如图，则PC＝CQ，∴2t﹣6＝6，∴t＝6；综上，符合条件t值为1或73或6．题型06 角的平分线1．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠PDB＝30°，点D在边OB上，且DP＝6，则CP的长度为（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C，∴CP＝EP，在Rt△DEP中，∠PDB＝30°，DP＝6，∴EP=12DP＝3，∴CP＝3，即CP的长度为3，故选：C．2．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　）A．1：1：1B．7：6：5C．6：5：7D．5：6：7【答案】D【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等，设点O到AB的距离为a，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB⋅a2：BC⋅a2：AC⋅a2 ＝AB：BC：AC＝5：6：7，故选：D．3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　）A．△ABC三边中线的交点B．△ABC三个角的平分线的交点C．△ABC三边高线的交点D．△ABC三边垂直平分线的交点【答案】B【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示：∴OP＝OQ，OQ＝OR，∴OP＝OQ＝OR，∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置，∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上．故选：B．4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　）A．5：2B．2：5C．1：2D．1：5【答案】B【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA，∴S1S2=12×DA×AB12×DE×BC=ABBC=25．故选：B．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，DF=DBDC=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，AD=ADCD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．6．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积．【答案】（1）40°；（2）见解析；（3）△ABE的面积为15．【解答】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°，∵EH⊥BD，∠CEH＝50°，∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°．（2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，∴EM＝EH，由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD，由条件可得EN＝EH，∴EM＝EN，又∵点E在∠CAF的内部，∴AE平分∠CAF；（3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，由（2）已得：EM＝EH＝EN，设EM＝EH＝EN＝x，∵S△ACD＝24，∴S△ACE+S△DCE＝24，∴12AC⋅EN+12CD⋅EH=24，即12x(AC+CD)=24，∴AC+CD=48x，∴x＝3，∴EM＝3，∵AB＝10，∴△ABE的面积为12AB⋅EM=12×10×3=15．7．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）如图（2），点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，求∠AMD的度数；（3）如图（3），①求点F的坐标；②在y轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，3）；（2）45°；（3）①F（0，1.5）；②（0，5）或（0，﹣2）．【解答】解：（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，（a+b）2≥0，|a﹣b+6|≥0，∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，∴a＝﹣3，b＝3，∴A（﹣3，0），B（3，3）；（2）设AM交y轴于点N，如图所示：∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，∴设∠EDM＝∠FDM＝α，∠FAM＝∠OAM＝β，∴∠EDF＝2α，∠OAF＝2β，在Rt△OAF中，∠OFA＝90°﹣∠OAF＝90°﹣2β，∴∠DFB＝∠OFA＝90°﹣2β，∵ED∥AB，∴∠EDF+∠DFB＝180°，∴2α+90°﹣2β＝180°，∴α﹣β＝45°，在Rt△OAN中，∠ONA＝90°﹣∠OAM＝90°﹣β，∴∠DNM＝∠ONA＝90°﹣β，∴∠FDM+∠DNM＝α+90°﹣β＝90°+（α﹣β）＝135°，在△DMN中，∠AMD＝180°﹣（∠FDM+∠DNM）＝45°；（3）①连接OB，过点B作BH⊥y轴于点H，如图3所示，∵A（﹣3，0），B（3，3），C（4，0），∴OA＝3，BH＝OH＝3，OC＝4∴S△AOB=12OA•OH=12×3×3=92，设点F的坐标为（0，t），则OF＝t，∴S△AOF=12OF•OA=3t2，S△BOF=12OF•BH=3t2，又∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，∴3t2+3t2=92，解得：t＝1.5，∴点F点坐标为（0，1.5）；②存在．∵OA+OC＝3+4＝7，∴S△ABC=12AC•OH=12×7×3＝10.5，∵点F点坐标为（0，1.5），∴OF＝1.5，分两种情况讨论如下：（ⅰ）当点P在点F上方时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图3①所示：设PF＝a，∴S△APF=12PF•OA=3a2，S△BPF=12PF•BH=3a2，∴S△ABP＝S△APF+S△BPF＝3a，∵S△ABP＝S△ABC，∴3a＝10.5，∴a＝3.5，∴PF＝a＝3.5，∴OP＝PF+OF＝3.5+1.5＝5，此时P点坐标为（0，5）；（ⅱ）当点P在点F上方时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图3②所示：设PF＝a，同（ⅰ）得：S△APF=3a2，S△BPF=3a2，∴S△ABP＝S△APF+S△BPF＝3a，∵S△ABP＝S△ABC，∴3a＝10.5，∴a＝3.5，∴PF＝a＝3.5，∴OP＝PF+OF＝3.5﹣1.5＝2，此时P点坐标为（0，﹣2），综上所述：y轴上存在点P，使得S△ABP＝S△ABC，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）．题型07 尺规作图1．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D．④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F．则正确的作图顺序是（　　）①﹣②﹣③﹣④B．②﹣④﹣①﹣③C．④﹣②﹣③﹣①D．④﹣③﹣②﹣①【答案】C【解答】解：作法：④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F．②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D．①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　）A．80°B．85°C．90°D．95°【答案】D【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°，由作图过程可得：AP平分∠BAC，∴∠BAF=12∠BAC=35°，∴∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝95°．故选：D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P．连接AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则点D到直线AB的距离是（　　）A．5B．4C．3D．2【答案】C【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，∴点D到直线AB的距离是3．故选：C．4．如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于12MN的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则BF的长为（　　）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：如图，由基本作图可知，BP平分∠ABC，∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝4，∴DF＝DE＝4，∵∠ACB＝45°．∴∠CDF＝90°﹣45°＝45°＝∠ACB，∴CF＝DF＝4，∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8，故选：C．5．如图，在△ABC中，AB＝CB，点E是BC中点，点D是AB延长线上一点．（1）尺规作图：作∠CBD的平分线BP；（2）判断BP与AC的位置关系，并说明理由；（3）过点E作直线FG，分别交AC于点F，交BP于点G，补全图形，并说明CF＝BG．【答案】（1）见解析；（2）结论：BP∥BC，理由见解析；（3）见解析．【解答】（1）解：如图，射线BP即为所求；（2）解：结论：BP∥AC．理由：∵BP平分∠CBD，∴∠PBC＝∠PBD，∴BC＝BA，∴∠A＝∠C，∵∠CBD＝∠A+∠C，∴∠A＝∠PBD，∴PB∥BC；（3）解：图形如图所示．证明：∵BG∥CF，∴∠C＝∠EBG，∠EFC＝∠EGB，∵点E是BC的中点，∴EC＝EB，∴△ECF≌△EBG（AAS），∴CF＝BG．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下：①若∠A＝38°，求∠ADB的度数；②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示：（2）①∵∠C＝90°，∠A＝38°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣38°＝52°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=12∠ABC＝26°，∴∠ABD＝180°，∴∠ADB＝180°﹣38°﹣26°＝116°；②过点D作DH⊥AB于点H，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DH＝CD＝2，∴△ABD的面积=12AB•DH=12×5×2＝5．教学目标熟练掌握全等三角形全章知识点；熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。教学重难点重点（1）全等三角形的性质；（2）全等三角形的判定；（3）角平分线的性质与判定。2. 难点（1）全等三角形判定的综合应用；（2）角平分线性质的应用。已知线段a，b，c求作△ABC，使其三边的长分别为a，b，c作法步骤：（1）作线段BC＝a；（2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A；（3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。依据SSS证全等已知∠AOB求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB作法步骤：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。依据SSS证全等已知直线AB及直线外一点C求作过C作直线AB的平行线CD作法步骤：（1）过C作一条直线与直线AB相交于点E；（2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD；（3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。已知∠AOB求作作∠AOB的平分线作法步骤：（1）以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。（2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。（3）连接OP即为角平分线