初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定第4课时习题

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1．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，
则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，
故选A．
2．如图，已知直线l1，小明用直尺和圆规作出了l1的平行线l2，在作图痕迹中，弧MN是（ ）
A．以D为圆心，AC为半径的弧B．以E为圆心，BC为半径的弧
C．以D为圆心，BC为半径的弧D．以E为圆心，AC为半径的弧
【答案】B
【详解】在作图痕迹中，弧MN是以E为圆心，BC为半径的弧．
故选：B．
3．如图，已知∠AOB与∠EO′F，分别以O和O′为圆心，以同样长为半径画弧，交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，交弧A′B′于点H，作射线OH．下列结论不正确的是（ A ）
A．∠EO′F=12∠AOBB．∠AOB>∠EO′F
C．∠HOB=∠EO′FD．∠EO′F+∠AOH=∠AOB
【答案】A
【详解】解：由题意可知，∠HOB=∠EO'F，则选项C符合题意；
∵∠AOB=∠HOB+∠AOH，
∴∠AOB=∠EO′F+∠AOH，则选项D符合题意；
∵∠AOB>∠HOB，∠HOB=∠EO'F，
∴∠AOB>∠EO′F，则选项B符合题意；
假设∠EO′F=12∠AOB正确，则∠EO′F=12∠EO′F+∠AOH，
∴∠EO′F=∠AOH，
又∵∠HOB=∠EO′F，
∴∠HOB=∠AOH，但根据已知条件不能得出这个结论，
∴假设不成立，即选项A不符合题意；
故选：A．
4．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线l及l外一点P，作直线m，使得m∥l，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）．
某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线OP交直线l于点O，作∠MPN=∠COD．作法步骤如下：
①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点C，交直线OP于点D；
②以点P为圆心，以CD长为半径作弧，交OP于点N；
③以点N为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点M；
④过点M，P作直线m，则直线m即为所求．
则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以OC长为半径作弧，交OP于点N．
故选B．
5．如图，若∠α=38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为______．
【答案】76°
【详解】解：由尺规作图可知，∠AOB=2∠α，
∵∠α=38°，
∴∠AOB=2×38°=76°．
6．如图，在三角形ABC中，点D在AC边上，连接BD，点E是AD上一点．请用尺规作图法在AB上找一点F，作射线EF，使得EF∥BD．（保留作图痕迹，不写作法）
【详解】解：如图，射线EF即为所求．
7．如图，在△ABC中，∠A=45°．尺规作图：在AB上求作一点D，使得∠ADC=90°（保留作图痕迹，不写作法）
【详解】解：如图，点D即为所求作：
由作图可知∠ACD=∠A=45°，
∴∠ADC=180°−∠A−∠ACD=90°．
8．如图，直线AB与MN相交于点A，AC平分∠NAB．
(1)利用尺规：过点B作直线BD∥MN，交AC于点D；
(2)若∠ABD=120°，求∠ADB的度数．
【详解】（1）解：BD∥MN，如图所示；
（2）解：由（1）得BD∥MN，
∴∠BAD=180°−∠ABD=180°−120°=60°，
∵AC平分∠NAB，
∴∠NAD=12×60°=30°，
∵BD∥MN，
∴∠ADB=∠NAD=30°．
9．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一个定点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在射线DM上方作∠DEF=∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作图痕迹，不写过程和结论）
(2)在（1）问条件下，若BD=AF，求证：AC∥FE
【详解】（1）解：如图，∠DEF即为所求作的角；
（2）证明：∵DM∥BC（已知）
∴∠B=∠FDE
∵BD=AF
∴BD−AD=AF−AD
∴AB=FD
在△ABC和△FDE中
∠B=∠FDE∠C=∠DEFAB=FD
∴△ABC≌△FDEAAS
∴∠BAC=∠DFE
∴AC∥FE.
10．（1）在如图1所示的方格纸中，A，B，C为3个格点，点C在直线AB外．
①借助格点，过C点画出AB的垂线m和平行线n；
②连接AC和BC，若图中每个最小正方形的边长为1，则三角形ABC的面积是_________．
（2）如图2为一副三角尺，其中∠α=60°，∠β=45°，用直尺和圆规作出∠ABC=15°．（在图2外面作图，保留作图痕迹，不写作法）
【详解】解：（1）①如图，直线m、n即为所求，
；
②如图，
三角形ABC的面积是12×4×3=6，
故答案为：6；
（2）如图，∠ABC即为所求，
11．如图①，点P在∠AOB的内部，PM∥OA交OB于点M．
(1)请用尺规作图过点P作PN∥OB交OA于点N；
(2)在（1）所作图形中，∠MPN与∠AOB有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如果点P在∠AOB的外部，其它条件不变，请在图②中画出图形并判断以上结论是否成立；
(4)请尝试用文字语言表述（2）、（3）中得出的结论．
【详解】（1）解：如图所示，射线PN即为所求；
（2）解：∠MPN=∠AOB，理由，
∵PM∥OA，
∴∠AOB=∠PMB，
∵PN∥OB，
∴∠MPN=∠PMB，
∴∠MPN=∠AOB；
（3）解：以上结论不成立，理由，
如图，
∵PM∥OA，
∴∠MPN+∠PNO=180°，
∵PN∥OB，
∴∠PNO=∠AOB，
∴∠MPN+∠AOB=180°；
（4）当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补．
12．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下从正面看到的图形，上课时椅背与凳面垂直，腿托AD与凳面成70°夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1（安装在点B处）可以控制椅背以12°/s的速度顺时针旋转，按下开关2（装在点A处）可以控制腿托以16°/s的速度顺时针旋转．
(1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托AD所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)午休时小明想要在图1的状态下将椅子调到最舒适的状态（腿托与椅背平行），于是他同时按下开关1、2，请帮小明计算按下开关多久后可以达到最舒适的状态？
【详解】（1）解：（1）如图所示，直线AD即为所求；
∵∠DAB=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴直线AD即为所求．
（2）设按下开关ts后可以达到最舒适的状态．
当CB∥AD时，∠ABC=∠DAB，
∴70°+16°t=90°+12°t，
解得：t=5，
答：按下开关5秒后可以达到最舒适的状态．