初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线优秀同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十四章 全等三角形14.3 角的平分线优秀同步测试题，共4页。

知识点01 角平分线的尺规作图
作已知角的角平分线：
步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。
步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。
步骤三：连接OP即为角平分线

步骤一 步骤二 步骤三
证明上图中的OP是角平分线：
连接MP，NP
由作图过程可知，OM ON，MP NP。
在△OMP与△ONP中

∴△OMP≌△ONP
∴∠MOP＝
∴OP是∠AOB的角平分线。
【即学即练1】
1．尺规作图：如图，已知∠AOB，请作出它的角平分线OC（不写作图步骤，保留作图痕迹）．

知识点02 角平分线的性质
角平分线的性质：
性质1：平分角。
如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 。且他们都等于∠AOB的 。
性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 。
即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 。
【即学即练1】
2．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【即学即练2】
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
【即学即练3】
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（ ）
A．5：2B．2：5C．1：2D．1：5
【即学即练4】
5．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
知识点03 证明几何文字命题的一般步骤
证明几何文字命题的一般步骤：
根据命题明确命题中的 与 。
根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 与 。
经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。
【即学即练1】
6．求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
知识点04 角平分线的判定
角平分线的判定的内容：
角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。
数学语言：
点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 上。
即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD
∴∠AOC＝∠BOC
【即学即练1】
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线．
【即学即练2】
8．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．

题型01 角平分线的性质求线段长度或周长
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10B．16C．8D．5
【变式3】如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（ ）
A．8cmB．10cmC．11cmD．12cm
【变式4】如图，已知△ABC的面积是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长是 ．
题型02 角平分线的性质解决面积问题
【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
【变式2】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 ．
【变式3】如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：3：2，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（ ）
A．2：3：3B．3：3：2C．4：9：9D．9：9：4
【变式4】如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．无法确定
题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为6，则CD的长为 ．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（ ）
A．21B．80C．40D．45
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，画射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 ．
题型04 角平分线的判定
【典例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
【变式2】如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC＝AB+CD，求证：CE平分∠BCD．
【变式3】如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．
（1）求证：OP平分∠AOB；
（2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．
题型05 角平分线的性质在生活中的应用
【典例1】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．

【变式1】如图，有三条公路两两相交于A、B、C处，现计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请你在图中确定加油站的位置P．

【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．

1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝32°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．若OM＝ON，则∠OBC的度数为（ ）
A．32°B．29°C．18°D．16°
2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，ED⊥AB于点D，如果BC＝6，DE＝2，那么BE的长为（ ）
A．4B．6C．3D．5
4．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上D．AB边的中线上
5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
6．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（ ）
A．1：1：1B．7：6：5C．6：5：7D．5：6：7
7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△CDE的周长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，且S3＝8，则S1+S2的值可能为（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE，交AE的延长线于点G，FG与AC的延长线交于点M，与AD的延长线交于点N，连接BN．给出下列结论：①∠DEA＝∠F；②∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠BNF＝∠BAE+∠ACB．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是 ．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，∠CAB的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则BD＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=43，△ABD的面积为103，则线段AB的长为 ．
14．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
17．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠ABC的大小．
（2）若△ABC的面积为30，BD＝5，求AF的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①若∠A＝38°，求∠ADB的度数；
②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积．
20．已知直线m⊥n于点O，点A在直线m上，点B在直线n上．
（1）如图1，射线AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．问点A、B运动过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求∠ACB的大小．
（2）如图2，延长AB至E，AF是∠BAO内的一条射线，与直线n相交于点D，若∠EBD、∠FDB、∠BAD的平分线恰好交于点G，过点G作GH⊥AE于H，设∠BGH＝α，∠AGD＝β，试探究α和β满足的数量关系，并证明．
（3）如图3，延长AB至E，已知∠ABO、∠OBE的角平分线与∠BOQ的角平分线所在直线分别相交于M、N．在△BMN的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数．
教学目标
1. 掌握角平分线尺规作图的步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。
2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。
3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。
教学重难点
重点
角平分线的作图；
角平分线的性质与判定。
2. 难点
（1）角平分线的作图及其性质的应用。