人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法教课内容课件ppt

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法教课内容课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了还有其他解法吗，理论依据，ab＝0，平方差公式，2因式分解得，因式分解法，直接开平方法，配方法，公式法，基本思路等内容，欢迎下载使用。
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
1．了解因式分解法．2．掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法（重点、难点）．
①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2．
∴x1＝2，x2＝1．
问题 请用两种不同方法解下面的一元二次方程：　　　　　　　　　　x2－3x＋2＝0．
②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2．
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2．
问题 设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程．
10x－4.9x2＝0．
你能用配方法或公式法解方程10x－4.9x2＝0吗？
是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10－4.9x)＝0，
降次：把方程化为两个一次方程，得x＝0或10－4.9x＝0，
思考 解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0．
例1 (教材p13例4)解方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0．
解法一用到了整体思想，解法二用到了十字相乘法．
解：（1）解法一：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．
于是得x－2＝0，或x＋1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1．
解法二：整理，得x2－x－2＝0，
因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．
解：（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0．
因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0．
于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，
方法总结 用因式分解法解一元二次方程的步骤
注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根．
1．移项：将方程的右边化为0；
2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解．
针对训练 用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.
（3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.即(1－x)(3x－9)＝0.∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x1＝1，x2＝3.
1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（　　）A．(x－1)(x－2)＝3 　 　 　　 B．2(x－1)2＝x2－1C．x2＋2x－1＝0 　　　　　 D．x2＋4x＝2
解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合．
3．解下列方程：（1） （2）
解：（1）化为一般式x2－2x＋1＝0．因式分解，得(x－1)(x－1)＝0．∴x－1＝0，∴x1＝x2＝1．
(2x＋11)(2x－11)＝0．
∴2x＋11＝0，或2x－11＝0，
4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．（1）尝试．分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋ )(x＋ )；
（2）应用． 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0．
解：（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0，
∴x－4＝0，或x＋1＝0，
∴x1＝4，x2＝－1．
如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0
将方程左边因式分解，右边＝0
1．移项；2．分解；3．转化；4．求解
第2课时 一元二次方程解法的灵活选用
1．能根据方程的特征，体会方程的不同解法．2．能用配方法、公式法、因式分解法解对应形式的一元二次方程（重点）．
解一元二次方程的方法：
将二次方程化为一次方程，即降次．
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．
10x－4.9x2＝0化为一般式为4.9x2－10x＝0．
∵a＝4.9，b＝－10，c＝0．
∴b2－4ac＝(－10)2－4×4.9×0＝100．
10x－4.9x2＝0，
x(10－4.9x)＝0，
x＝0或10－4.9x＝0，
一元二次方程解法的比较
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．
总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
例 用适当的方法解方程：（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)； （2）(5x＋1)2＝1；
分析：该式左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快．
解：变形得(3x－5)(x＋5)＝0．
即3x－5＝0，或x＋5＝0．
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法．
例 用适当的方法解方程：（3）x2－12x＝4； （4）3x2＝4x＋1．
分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法．
解：整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．
∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，
分析：二次项系数为1，可用配方法．
解：配方，得x2－12x＋62＝4＋62，
即(x－6)2＝40．
方法总结 一元二次方程的解法选择基本思路
1．一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；
2．若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；
3．化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．
针对训练 若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
1．将下列序号填到对应的横线上．①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)．适合运用直接开平方法：___________________；适合运用因式分解法：___________________ ；适合运用公式法：___________________ ；适合运用配方法：___________________ ．
2．按题目要求的方法解下列方程：
3．用适当方法解下列方程：（1）(2x＋3)2－25＝0； （2）x2＋5x＋7＝3x＋11；
解：化简，得4x2＋12x＋9－25＝0，整理，得x2＋3x－4＝0，分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0，解得x1＝1，x2＝－4．
解：化简，得x2＋2x＝4，配方法，得x2＋2x＋1＝5，即(x＋1)2＝5，
4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0．
解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0．
∵a＝5，b＝－1，c＝－4，
b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
因式分解法：方程左边提公因式，得