人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念优质导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念优质导学案，共5页。学案主要包含了概念讲解，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
学习目标
1.理解复数代数表示的几何意义.
2.理解复数的模，共轭复数的概念，并会用于求解相关问题.
学习活动
目标一：理解复数代数表示的几何意义.
任务：类比实数的几何意义，理解复数的几何意义，能在复平面坐标中表示复数.
问题：
回忆复数相等的充要条件是什么？由此你认为复数由什么唯一确定？
参考答案：（1）若复数与相等当且仅当且；（2）复数由一个有序数对（a,b）唯一确定.
类比实数与数轴上的点的一一对应关系以及实数有序数对与平面直角坐标系中点的关系，复数在几何中用什么来表示？
参考答案：复数z=a+bi是由有序实数对（a，b）唯一确定的，复数也是“二维数”，因此在平面上我们可以建立直角坐标系，用点Z（a，b）来表示复数z=a+bi.
【概念讲解】
相关概念：如图，点Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数z＝a＋bi可以用点Z（a,b）表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
例如，复平面内的原点(0,0)表示0，实轴上的点（2，0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2，3）表示-2+3i.
几何意义：按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系.
这是复数的一种几何意义.
思考：在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对（2,3）来表示，而有序实数对与复平面是一一对应的.如何用平面向量来表示复数z=3+2i？
参考答案：如图，设复平面内的点Z表示复数z=3+2i，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定;反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
【归纳总结】
如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定;反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ，并规定，相等的向量表示同一个复数.
练一练：
建立复平面，画出Z点位置，并画出.
z=2+5i ；(2)z=－3+2i.
参考答案：
目标二：理解复数的模，共轭复数的概念，并会用于求解相关问题.
任务1.类比向量的模及模长计算公式，推导出复数的模及模长公式.
问题：设复数z＝a＋bi，则什么是复数z的模，如何表示？其模长公式是什么？
【归纳总结】
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即，其中.
注：如果b=0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|（a的绝对值）.
练一练：
设复数.
（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；
（2）求复数的模，并比较它们的模的大小.
参考答案：
如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为.
（2），.所以.
任务2.在复平面表示共轭复数，并利用共轭复数求解有关问题.
问题：观察练一练中的复数的实部和虚部，以及其在复平面中的图象，你有什么发现？
参考答案：
二者实部相同，虚部相反，且在复平面中图像关于实轴对称.
【概念讲解】
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi，那么.特别的，实数a的共轭复数仍是a本身.
注意：互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
思考：设，其共轭复数，则（1）等于什么？（2）若或且z≠0，你能发现什么特点？
【归纳总结】
1.；
2.若,则z为实数；
3.若且z≠0,则z为纯虚数.
练一练：
设复数，若与互为共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于
第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
解：与互为共轭复数，，解得，，
，复数在复平面内对应的点，位于第一象限．
故选：．
学习总结
任务：根据下列关键词，构建知识导图.
关键词：“复平面”、“复数的几何意义”、“共轭复数”.