高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念优秀学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的概念优秀学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，教材知识梳理，质疑辨析，教材例题变式，教材拓展延伸，课外作业等内容，欢迎下载使用。
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；
2.理解复数的相关概念；
3.理解复数相等的充要条件.
【教材知识梳理】
一．复数的有关概念
1.复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ ．
2.复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
3.复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
二．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 且 ．
三．复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0Ｗ.))))
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【质疑辨析】(对的打“√”，错的打“×”)
（1）复数的实部是1,虚部是.（ ）
（2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.( )
（3）设（，），若，则为纯虚数．( )
（4）若，则.（ ）
（5）实数集是复数集的子集．( )
【答案】
一．1.虚数单位 －1 3.z＝a＋bi(a，b∈R) 二.a＝c b＝d
【质疑辨析】
（1）× （2）× （3）× （4）× （5）√
【教材例题变式】
例1.（源于P69例1）当实数m为何值时，复数z＝eq \f(m2＋m－6,m)＋(m2－2m)i：
(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？
【答案】(1)当，即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当，即m＝－3时，复数z是纯虚数．
归纳总结：解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.
【教材拓展延伸】
例1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4, 2－3i，－eq \f(1,2)＋eq \f(4,3)i, 5＋eq \r(2)i, 6i.
【答案】复数4,2－3i，－eq \f(1,2)＋eq \f(4,3)i,5＋eq \r(2)i,6i的实部分别是4,2，－eq \f(1,2)，5,0；虚部分别是0，－3，eq \f(4,3)，eq \r(2)，6.
其中4是实数；2－3i，－eq \f(1,2)＋eq \f(4,3)i,5＋eq \r(2)i,6i是虚数，其中6i是纯虚数．
归纳总结:
1.复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实数，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
2.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
例2.(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值.
【答案】(1)由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))
(2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋am＋2＝0，,2a＋m＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,m＝－2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\r(2)，,m＝2\r(2)，))所以a＝±eq \r(2).
归纳总结：
1.复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．
2.解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
【课外作业】
基础过关
1．已知复数，则的实部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，故实部为.
2．已知为虚数单位，复数，则z的虚部是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【详解】复数，则z的虚部是.
3．若复数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，则，解得.
4．已知复数，其中，若是实数，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【详解】因为复数，且是实数，则.
5．若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】复数为纯虚数，等价于，且，
，且可推出，但，不一定得到，且，
所以 “复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件．
6．（多选）若复数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为虚数不能比较大小，若复数，则说明与均为实数，所以且.
7．已知为虚数单位，则___________．
【答案】
【详解】.
8．若复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
【答案】1或－3
【详解】复数的实部为，虚部为.则，解得或.
9．已知实数m满足，求m及x的值．
【答案】，.
【详解】实数m满足，则，
∴，解得，.
能力提升
10．若复数，，，，则θ等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由复数相等的定义可知，∴，.
∴.
11．（多选）下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小D．若，则
【答案】BCD
【详解】由复数的定义可知A命题正确；
形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；
若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；
两个虚数不能比较大小，故D命题错误．
12．（多选）已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．若纯虚数，则 B．若为实数，则，
C．若，则或 D．若，则m的取值范围是
【答案】ABC
【详解】对于A，复数是纯虚数，则，A正确；
对于B，若为实数，则，则，，B正确；
对于C，若，则，则，
解得或，C正确；
对于D，若，则，且，则，D错误.
13．已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为______.
【答案】3
【详解】解：复数（为虚数单位），，则，解得.
14．已知（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，若，则________．
【答案】0
【详解】由题知，，整理得，所以.
15．当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
【答案】（1）由题意复数，
当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即且时，所给复数是虚数.
（3）当，即时，所给复数是纯虚数.
16．若关于的方程总有一个实根，求此实根的取值范围．
【答案】设为方程的实根，则，
即，所以
由①②消去，得．
令，，
则．
所以，此实根的取值范围是．